行列式的来源及应用

YibinUniversity本科生毕业论文题目行列式的来源及应用二级学院数学学院专业数学与应用数学学生姓名谢艳红学号100203067年级2010级指导教师刘敏职称教授教务处制表2014年5月3日行列式的来源及应用作者:谢艳红(宜宾学院数学学院10级励志班四川宜宾644000)指导老师:刘敏摘要:本文从行列式的来源及行列式的应用两个方面展开探讨.本文首先根据历史上各位数学家对行列式进行研究的先后顺序,介绍了行列式的来源和行列式的发展历史;然后通过例题展示了行列式在解线性方程组,向量空间相关理论,特征值与特征向量的求法,微分中值定理以及解析几何等方面的应用.关键字:线性方程组向量空间解析几何范得蒙行列式引言:行列式是高等代数课程中重要的内容之一,而且它作为一个基础工具,在数学中有广泛的应用.从古至今,有许多位优秀的数学家对行列式以及行列式的应用进行了呕心沥血的研究,取得了令人瞩目的成就,这在行列式的发展史上具有重要意义.本文重点展示了行列式的应用.行列式的应用十分广泛,在高等代数课程中有许多内容与行列式有关,许多问题更是需要借助行列式这一基础工具才能解决.而行列式在初等代数,数学分析以及解析几何中的应用也越来越多,运用行列式可以更为方便和快速的解决部分难题.对于考研的同学来说,清楚而灵活地掌握行列式应用方法,可以在考研过程中达到事半功倍的效果.1、行列式的来源行列式和矩阵理论是伴随着线性线性方程组研究而引入和发展的.行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的,他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作,意思是”解行列式问题的方法”,书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述.欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家,微积分学奠基人之一–莱布尼兹(Leibnitz,1693年).他在研究线性方程组的解法时,开始用指标的系统集合来表示线性方程组的系数,并得到现在称为结式的一个行列式.大约在1729年马克劳林开始用行列式的方法解含有42个未知数的线性方程组,还使用了现在所称的克莱姆法则.克莱姆在1750年发表了《线性代数分析导言》,把这个法则表示出来,这是解线性方程组的重要基本公式.1764年,贝祖(Bezout)证明了系数行列式等于零是方程组有非零解的条件.这些关于行列式的早期工作大都是为了解方程组而利用行列式,以求得紧凑简单的表达式.对行列式理论做专门研究(不单纯作为工具)的第一人是范德蒙德(eVandermond).1772年,他建立了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的方法,就对行列式本身进行研究这一点而言,他是这门理论的奠基人.拉普拉斯在1772年的论文《对积分和世界体系的探讨》中,证明了范德蒙德提出的一些规则,并推广了他的展开行列式的方法,用第r行中所含的元素和它们的余子式的集合来展开行列式,这个方法现在仍以他的名字来命名.这就是关于行列式著名的拉普拉斯展开定理.德国数学家雅克比(Jacobi)也于1841年总结并提出了行列式的系统理论.另一个研究行列式的是法国最伟大的数学家柯西,他大大发展了行列式的理论,他把元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记法,与此同时发现两行列式相乘的公式及改造并证明了拉普拉斯的展开定理.2、行列式的应用1.2行列式在解线性方程组中的应用我们知道行列式最早来源于解线性方程组,那么在解线性方程组时就不得不提到一个重要的法则—克莱姆法则.克莱姆法则给出了仅用行列式解n元线性方程组的方法,在理论上有重要价值.1.1.2用克莱姆法则解线性方程组如果n元线性方程组nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121111的系数行列式0212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD则方程组存在唯一解,,,2,1,njDDxjj其中njDj,,2,1是将D的第j列的元素换成nbbb,,,21的行列式,即:.1,1,111,111,111nnjnnjnnnjjjaabaaaabaaD例11求解线性方程组.164278,11694,1432,14321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx解这个方程组的方程个数与未知量个数相等,且有0126427811694143211111D所以可以用克莱姆法则求解,计算得到,0,1264278116941432111114321DDDD所以.0,14321xxxx2.1.2应用行列式来判断齐次线性方程组解的情况对于n元齐次线性方程组2000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa①齐次线性方程组2必有解,这是因为至少存在一组零解021nxxx,②当系数行列式0D时,齐次线性方程组2仅有唯一零解,③当系数行列式0D时,齐次线性方程组2有无数个解(非零解).例22取何值时,线性方程组,01,032,0421321321321xxxxxxxxx有非零解,有唯一解？解该方程组的系数行列式1011210431210111243111111324213212rrccD321412313①当此时方程组有非零解时，或或.0320D.②当此时方程组有唯一零解时，且且.0320D.例23证明齐次线性方程组.0327,01613114,02332,075434321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx有非零解.证明:该齐次线性方程组的系数行列式A0101170150103020604101172013240302105133117161324230275133127161311423327543A所以该齐次线性方程组有非零解.小结:当线性方程组的方程个数和未知数个数相等且系数行列式不等于零时,可以运用行列式这一重要的工具通过各种灵活多样的方法来求解,代替了原来通过消元法求解的复杂性和局限性,降低了解题的难度.2.2行列式在证明向量组的线性相关性中的应用向量的线性相关性在高等代数中有十分重要的地位,一般按照定义法来判定比较麻烦,难度较高,转换为与向量组相联系的系数行列式,通过求行列式的值,即可判断向量组的线性相关性.1.2.2向量组的线性相关性当s,,,21是nR中的向量时,要判断一个向量组s,,,21线性相关还是无关,即判断以sxxx,,,21为未知量的方程组02211ssxxx是否有非零解,也就是以s,,,21为系数矩阵的齐次线性方程组是否只有零解.即s,,,21线性相关),,,(21sr﹤s例24已知向量组1,2,3,4,,1,2,3,,,1,2,1,1,1,2aaa线性相关,并且.,1aa求解:因为这四个向量线性相关,所以以他们为列向量的行列式为零.因为01211121132114322aaaaa又因为21,1aa所以.2.2.2向量组的线性无关性例35设rttt,,,21是互不相同的数,rittnrniii,,2,1,,,,1.1证明：是线性无关性的.证明:假设02211rrkkk,则有30001212111221121rnrnnrrrktktktktktktkkk当nr时,方程组3的未知量个数与方程个数相同,且系数行列式1121121111nrnnrttttttD是范德蒙行列式.又rttt,,,21互不相同,所以由范得蒙行列式的性质知.0D从而方程组3有唯一零解.即r,,,21线性无关.当nr时,令12112111,,,,1,,,,1rrrrrrtttttt由上面方法可以证明r,,,21线性无关,又r,,,21是r,,,21的延长向量,所以r,,,21线性无关.例16设向量组321,,线性无关,则（）也线性无关.A133221,,B32132212,,C1332213,32,2D321321321553,2232,解:首先A选项第二个向量减去第一个向量就得到第三个向量,所以线性相关.B选项第一、二个向量相加得到第三个向量,所以线性相关.所以排除A、B,只需判断C选项是否线性相关.330022101,,)3,32,2(321133221012330222001330022101所以330022101可逆,于是3,,)3,32,2(321133221rr,所以C组向量线性无关.小结:判断一个向量组是否线性相关有很多种方法,有时可利用行列式来判断其系数组成的齐次线性方程组解的情况,可以间接得出向量组的线性相关性.3.2行列式在求解特征值与特征向量中的应用利用行列式可以快速求得一个矩阵的特征值与特征向量.例47求矩阵201034011A的特征值与特征向量.解:A的特征多项式为212201034011EA所以A的特征值为1,2321当21时,解方程组02xEA,由0010100010010140132EA得基础解系.1001p所以0111cpc是对应于21的全部特征向量.当132时,解方程组0xEA,由000210101101024012EA得基础解系.1212p所以0222cpc是对应于132的全部特征向量.例48求矩阵133353331A的特征值与特征向量.解:A的特征多项式为221133353331EA所以A的特征值为2,1321当11时,解方程组0xEA,由000110011033363330EA得基础解系.1111p所以0111cpc是对应于11的全部特征向量当232时,解方程组02xEA,由0000001113333333332EA得基础解系.0112p.1013p所以3322pcpc(3,2cc为不同时为零的常数)是对应于232的全部特征向量.例49设4321,,,是四维线性空间V的一组基.线性变换在这组基下的矩阵为:711310252921323133425A1求在基...32.24433321243211下的矩阵.2求的特征值与特征向量.解:1因为),,,(4321),