有限元与数值方法-讲稿3-4

1有限元与数值方法第四讲微分方程的等价积分形式授课教师：刘书田Tel：84706149；Email：[e-mail]教室：综合教学楼351时间：2013年4月07日：8：00—10：202基于积分方程的数值方法的基本思想微分提法：真实解在任意点均满足微分方程积分提法：对于所有可能的解（u(x))中，真实的解应满足下式积分形式的近似解法：在有限个可能的解中，真实解的近似解为使下式取极小的解。()0iiTATxkxx0;vxAuQdsvxRvxAuQds3微分方程的算子形式在域内：边界上：其中，A，B1，B2为微分算子0xAu10uxBu20qqxBu微分方程的等价积分形式1122120,,uqvxAuQdsvxBuudsvxBuqdsvxvxvx对于满足微分方程及其边界条件的解u,上式显然是成立的；如果对任意的函数v(x)，上式成立，则可以证明u是微分方程的解。40dxxgxFxF显然，如果在区域Ω上，几乎处处为零，则对任意的有)(xg或采用数学的语言描述上式成立的条件是要求函数可积。xxF00dxxgxFxxg)(xg0xF引理:如果对任意的，恒有则0dxxgxF如果F(X)=0代表了微分方程，则上面定理和引理建立了微分方程和其积分形式之间的联系(一)预备知识微分方程的等价积分形式5等价积分形式若对任意函数列向量有12[...]Tvvv1122()(()()...)0TdvAvAdvAuuu则该积分表达式与微分表达式完全等效。x0uA同理，若对任意函数列向量有12[...]Tvvv1122()(()()...)0TdvBvBdvBuuu则该积分表达式与微分表达式完全等效。x0uB故称为原微分方程()()0TTddvAuvBu的等价积分形式。x0uAx0uB6等价积分形式可积的条件：1.单值且在域内和边界上可积分vv和2.若A的最高阶导数为n，则u的n-1阶导数必须连续，即u具有连续性1n-C等价积分方程对函数连续性的要求：函数是可积的。被积函数在区域上有有限个间断点，则可积连续连续：0Cu连续连续：1Cxu右图函数是C0连续的，其二阶导数不可积等价积分形式71122120,,uqvxAuQdsvxBuudsvxBuqdsvxvxvxquxvxvxvxv21取：上式可得到简化对于满足微分方程及其边界条件的解u,上式显然是成立的；如果对任意的函数v(x)，上式成立，则可以证明u是微分方程的解。8积分弱形式()()()()0TTddCvDuEvFu在很多情况下，可以通过分部积分方法将前述积分方程转化为另外一个等价形式：其中，D和F通常包括相对A和B较低阶的导数。这一形式称为微分方程的“弱形式”。解函数的连续性降低，其代价是试函数连续性要求提高了。弱形式经常是描述物理现象更为合理的形式，因为微分方程往往对解提出了过于光滑的要求。对弱形式进行积分，是有限元方法的重要基础()()0TTddvAuvBu9一维问题的弱形式例子()qxcx例：受轴向分布载荷和端部集中力P的均匀杆22()00(0)xTxxdAqxducxdxxLdudxEAEEdxTxLduAEPdx微分方程表达形式为该方程积分后可得2326TcLPcuxxxEAEAEA一维问题可以通过分部积分将等价积分形式转化为弱形式显然，真实解是三次多项式00xu10一维问题的弱形式例子22000()00TLTTLLducxvxdxdxEAdvducxduvdxvdxdxEAdx微分方程的积分等价形式为分部积分得到弱形式：220()0TLducxvxdxdxEA设解和试函数的形式各为212212,uaxaxvxvxGalerkin方法注意解已经满足强制边界条件边界条件的等效积分形似：1122()(()()...)0TdvBvBdvBuuu12()(0)()0TduxLvuxvAEPdx11自然边界条件的概念()()()()0TTddCvDuEvFu()()0TTddvAuvBu对于微分方程的等价积分形式及其弱形式，如果能通过选择试函数消去边界积分项，将给积分带来方便。能够实现这一点的边界条件成为自然边界条件。指定函数值本身的边界条件不是自然边界条件，成为强制边界条件。12自然边界条件的概念例如，考虑问题：2100100202xdxdx=d=dx如果近似解满足x=0处的边界条件，但不满足x=1处的边界条件，则加权残数列式应反映域内的微分方程和x=1处的边界条件，即12210200xddvdxvdxdx13自然边界条件的概念11010200xxxdvddddvdxvvvdxdxdxdxdx第一项分部积分给出为消去边界上未知函数的导数项，选取试函数之间满足如下关系：(0)0,(1)(1)vvv这样，弱形式成为11020xdvdvdxvdxdx以上弱形式中，不再出现未知函数导数的边界条件，即该边界条件在上式中自动满足，称为自然边界条件。14归纳：强式和弱式的对比强式可直接求得系统方程的精确解困难：复杂问题难以获得精确解；数值求解时，近似函数要求有与微分方程同阶的可导性。有限差分法属于基于强式的数值方法。弱式降低了对近似函数的连续性要求，使得选取试函数更容易；基于弱式的方程通常是一组稳定性良好的离散方程，易于求解15二维、三维问题的积分形式16预备知识Green公式SVPQR[Pcos(n,x)Qcos(n,y)Rcos(n,z)]dadxdydzxyzDdxdyyPxQdyyxQdxyxP)(),(),(VSdxdydzzRyQxPRdxdyQdxdzPdydz][DГnxdxdsdydy=nxdsdx=-nyds或为推导二维或三维问题的弱形式，需要掌握以下积分公式Gauss定理（散度定理）divSSVVddSdVdVaSanaadivnDDdaddDdDanaa17由格林公式可推导出：DГDDDpqpqdxdyqdxdypdxdyxxx所以xDDDqpppdxdypqdyqdxdypqndqdxdyxxx类比于高等数学中单变量函数的分部积分公式212121)()(')(')(xxxxxxdxxqxppqdxxqxp预备知识Dpqp(x,y)q(x,y)dydxdyx而同理yDDqppdxdypqndqdxdyyx18同理，三维空间中，由此前公式可推导出：DDDpqpqdxdydzqdxdydzpdxdydzxxx所以xDDqppdxdydzpqndqdxdydzxx预备知识而同理SVpqpqdydzdxdydzxyDDqppdxdydzpqndqdxdydzyy19微分方程的等价积分形式0dqnukvdxdyQyukyxukxvq2D稳态热传导问题的弱形式0Qxukxiiuuu:0:qnukq微分方程（强形式）已经事先满足是任意标量函数，和其中，uuuvvon强制边界条件自然边界条件20dsnxuvkdxdyxvxukdyxuvkdxdyxvxukdxdyxukxvdxdyxuvkxdxdyxukxvxΩΩΩΩΩ利用格林公式DdxdyyPxQdyyxQdxyxP)(),(),(2D热传导问题的弱形式0dqnukvdxdyQyukyxukxvqdxdsdydy=nxdsdx=-nydsn同理，dsnyuvkdxdyyuyvkdxdyyukyvyΩΩ21dyxnxuvkdxdyxvxukdxdyxukxv,cosdsnx弱形式0qdsqnukvdsnyunxuvkdxdyvQyvyukxvxukyxΩyxTnyunxununu2D热传导问题的弱形式考虑到，并令，上式成为00quqdsqvdsnuvkdxdyvQyvyukxvxukdsqnukvdsnuvkdxdyvQyvyukxvxukΩΩqvv目的是消去自然边界上的函数导数uq22讨论2D热传导问题的弱形式自然边界条件自动满足如果选择场函数时已经满足强制边界条件，则可通过选择v使得而略去udsnuvk0qudsqvdsnuvkdxdyvQyvyukxvxukΩqonqnuk0uonv023有限元与数值方法第四讲加权残数法授课教师：刘书田Tel：84706149；Email：[e-mail]教室：综合教学楼351时间：2013年4月07日：8：00—10：2024加权残数法（WeightedResidualMethod）加权残数法的基本思想是：构造包含参数的微分方程的近似解，将近似解代入微分方程和相应的边条件中，令得到的残差在适当加权后在微分方程定义域上的平均值为零，从而得到确定待求参数的代数方程式。近似解构造方法(通常取近似解为基函数的线性组合)全局分片连续权函数构造方法子域法配点法最小二乘法伽略金法矩量法251111;()(())(())()niiinnniiiiiiiiiuxCuxAuxACuxACuxCAux残数（内部）残数（边界）0QuARI0guBRB0QuA0guB考虑微分方程和边界条件xwdsxwguBdxxwQuA0)()(权函数xW加权残数法（WeightedResidualMethod）近似解26QdxxWdxuAxWCQdxxWdxuACxWIiniiniii11:11nnBiiBiBiBiiII:WCBudsWxgdsCWBudsWxgds