长郡中学高二入学考试理科数学考试试题及参考答案

书书书理科数学!长郡版!!!!!题!!答!!要!!不!!内!!线!!封!!密!号!学!名!姓!级!班!校!学长郡中学!#$!!#%学年度高二第一学期入学考试数!学!理科得分#!!!!!!!!!本试卷分第!卷!选择题和第卷!非选择题两部分$共#页%时量$%分钟%满分%%分%第!卷一&选择题#本大题共#!小题$每小题&分$共&’分!在每小题给出的四个选项中$只有一项是符合题目要求的(#!设集合&’#$!#’!#!$%%($集合$&’#$%#%(($则&$&)*’#$!%#%((+*’#$!%#%(,*’#$%#%$(-*’#$$%#%(($!数列’%&(中$若%&$%&’&$%&’(!&’)($则该数列的通项%&&)*$&’!(+*$&!(,*$&’’(-*$&’!(!执行如图所示的程序框图$则输出的!是)*!.+*!$,*%-*!$或%.!定义在*上的偶函数’!#$当#)%时$’!#&!#$’(#$则函数(!#&’!#!#的零点个数为)*.+*(,*-*%#/!已知)$&为两条不同的直线$$#为两个不同的平面$给出下列.个命题##若)*$&+$则)+&)$若),$&+$则),&)%若),$),#$则+#)&若)+$&+$则)+&!其中真命题的序号为)*#$+*$%,*%&-*#&0!-$*的三个顶点是!%$($$!($($*!$$%$直线+##&%将-$*分割成面积相等的两部分$则%的值是槡)*(+*’槡$$,*’槡((槡-*$理科数学!长郡版!$!!!!1!已知实数#$,满足,)#’$#’,.0#)/01$则-&$$#!$$’$,$的最小值是)*0+*/,*.-*(#!已知两圆相交于两点!$(和!)$$且两圆的圆心都在直线#!,’.$&%上$则)’.的值是)*$+*(,*.-*/2!如图$小方格是边长为的正方形$图中粗线画出的是某几何体的三视图$则该几何体的体积为)*#!.’(+*#!’,*#!$’(-*#!’(%!若关于#的方程$%#!$&$%!%2%且%3有两个不等实根$则%的取值范围是)*!%$&!$’3+*!%$,*!$’3-*%$!$!已知/是-$*内的一点$且455$*455*槡&$($6$*&’0$若-/$*$-/*$-/$的面积分别为$$#$,$则#’.,的最小值为)*0+*#,*$%-*$.$!对于函数’!#&0!#和区间1$如果存在#%’1$使得$’!#%!0!#%$.$则称#%是函数’!#与0!#在区间1上的+互相接近点,!现给出四组函数##’!#&#$$0!#&$#!$)$’!#&槡#$0!#&#’$)%’!#&4!#’$0!#&!4)&’!#&#’#$0!#&!则在区间!%$’3上存在唯一+互相接近点,的是)*#$+*%&,*$%-*#&选择题答题卡题!号$(./01#2%$得分答!案理科数学!长郡版!(!!!!第卷二&填空题#本大题共.小题$每小题(分$共$分!把答案填在答题卡中对应题号后的横线上!#(!已知’!#&#!$!#2$$!#$!#’.!#.$/01$则不等式’!#.$的解集是!!!!!.!若直线,&#!2与曲线#&!,槡$’$有两个不同的公共点$则实数2的取值范围为!!!!!/!用一个边长为.的正三角形硬纸$沿各边中点连线垂直折起三个小三角形$做成一个蛋托$半径为的鸡蛋!视为球体放在其上!如图$则鸡蛋中心!球心与蛋托底面的距离为!!!!!0!已知数列’%&(中各项是从$%$!这三个数中取值的数列$前&项和为3&$定义2&&!%&’$$且数列’2&(的前&项和为4&$若3/%&2$4/%&%1$则数列’%&(的前/%项中%的个数为!!!!!三&解答题#本大题共0小题$共/$分!解答应写出文字说明&证明过程或演算步骤!1!!本小题满分#分已知函数’!#&!#$’$#$#2%%$#&%#$’)#$#%/01%是奇函数!!求实数)的值)!$若函数’!#在区间-!$%!$.上单调递增$求实数%的取值范围!理科数学!长郡版!.!!!!#!!本小题满分#分已知-$*的内角$$$*的对边分别为%$2$.$且满足567!$’$567&$’$895!’$!!求2%的值)!$若%&$.槡&1$求-$*的面积!理科数学!长郡版!/!!!!2!!本小题满分#分已知平面上三点!$$%$$!%$$$*!895$567!!若!4555’4555*$&1!5坐标原点$求向量4555$与4555*夹角$的大小)!$若455*,455$*$求567$的值!理科数学!长郡版!0!!!!#$%!!本小题满分#分如图$-61*所在的平面与长方形$*1所在的平面垂直$61&6*&.$$&0$$*&(!点7是*1边的中点$点(&8分别在线段$&$*上$且(&$($$*8&$8$!!证明#67,(8)!$求直线6与直线(8所成角的余弦值!理科数学!长郡版!1!!!!$!!本小题满分%分在平面直角坐标系#5,中$圆*#!#!%$’,$&%$$圆心为*$圆*与直线+#,&!#的一个交点的横坐标为$!!求圆*的标准方程)!$直线+$与+垂直$且与圆*交于不同两点&$$若3-$*&$$求直线+$的方程!理科数学!长郡版!#!!!!$$!!本小题满分%分已知数列’%&($’2&($3&为数列’%&(的前&项和$向量!&!$2&$&!%&!$3&$!+!!若2&&$$求数列’%&(的通项公式)!$若2&&&$$%$&%!#证明#数列’%&(为等差数列)$设数列’.&(满足.&&%&’(%&’$$问是否存在正整数+$)!+%)$且+3$$)3$$使得.$.$$.)成等比数列$若存在$求出+&)的值)若不存在$请说明理由!书书书理科数学参考答案!长郡版!!!!!长郡中学!#$!!#%学年度高二第一学期入学考试数学!理科参考答案一#选择题题号#$%&’()*+#答案,,---,.-//-/!,#!,!$解析%因为#01##0$&所以#00$1#!#0$&即数列’#0$(是以0$1%为首项&$1#为公比的等比数列&所以#0$1%2##!1##0&#&#&所以#1##0!$&#&#!$!-!$解析%依题意知&若!!0与垂直&则有!!!0!1%!!0%!#!!$!!#1+&解得!1!#)若!!0与平行&则有!#!!0%1%!!$!!#&解得!1+!结合题中的程序框图&输出的!是!#!%!-!$解析%3%!&是’上的偶函数&当&$+时&%!&1!�$&&4当&%+时&%!&1%!!&1!!!�$!!&1!&#!$&&4%!&1!�$&&&$+&!&#!$&&&%+’&根据图形可判断%!&1!�$&&&$+&!&#!$&&&%’+与’!&1&有$个交点&即可得出函数(!&1%!&!&零点个数为$&故选-5&!-!$解析%若)&&#’&则)与#的位置关系不能确定&所以命题!错误)若)(&#’&则)(#&命题正确)若两平面垂直于同一条直线&则这两平面平行&所以命题#正确)两直线同时平行于一个平面&这两条直线的位置关系不能确定&所以命题$不正确!综上所述&选-!’!,!$解析%*+所在的直线方程为,1!$#&0$&直线&1与*-交于.&与*+交于/&则0)*./1#0)*-+1#2$2$#1*%&/点的坐标为&!$#!0$4./1$!!$#!0$1$#&3*.1&4由0)*./1*.!./#1#2!$#1*%&解得*槡1$!理科数学参考答案!长郡版!#!!!!(!.!$解析%作出不等式组,$&0#&0,*’&$+,-所表示的平面区域&如图中阴影部分所示!由图易知*&*#&,.+&11#!#!&0,1%!#&0,&即,1#&01!%&平移直线,1#&可知&当直线经过点2!#&%时&1取得最小值&最小值为%!故选.5)!-!$解析%已知两圆相交于两点!&$和!)&&且两圆的圆心都在直线&!,03#1+上&所以公共弦方程为*,!$1!!&!&所以&0,!%1+&因为!)&在公共弦上&)1$)中点在连心线上&即!#&#在连心线上&所以31+&所以)031$)选-5*!/!$解析%由三视图知&该几何体是由一个边长为#的正方体挖去一个底面半径为&高为#的半圆锥而得到的组合体&所以该几何体的体积41#$!#2$%2#2#1)!%$&故选/5+!/!$解析%方程/&!/1#!.+且0有两个实数根转化为函数,1/&!/与,1#有两个交点!当+%%时&如图!&4+%#%&即+%%#)当.时&如图&而,1#.不符合要求!综上知&+%%#!!-!$解析%由题可得0)*-+1&即#0&0,1&所以&0,1#&&0%,1#!&0,&0%!,1#&0,&0%&!,$#&0#,&!%&槡!,1)&当且仅当,1#&1$时取等号!故&0%,的最小值为)&故选-5#!/!$解析%对于!&/%!&!’!&/1/&#!#&0#/1!&!#0&当&1时&/%!!’!/1!!#01&故!符合)对于&/%!&!’!&/1/槡&!&!#/1/&!槡&0#/1槡&!!##0(%.&故不理科数学参考答案!长郡版!$!!!!符合)对于#&/%!&!’!&/16!&006.&故#不符合)对于$&/%!&!’!&/1/&0&!/&当&1时&/%!!’!/1/#!/1&故$符合&故选/!二#填空题$!!!7&!#+1,&#+1&#&07,$解析%依题意得&!#*#&&.#+,-&或!&#!&0%*#&&*#’!解得&!!7&!#+1,&#+1&#&07,!%!,$&槡#0#!$解析%因为&1!,槡#0#&所以!&!##0,#1!&$#&表示圆心为!#&+&半径为的右半圆!圆心!#&+&到直线&!,!51+的距离为61/#!5/槡#1&解得51#0槡#或5槡1#!#!舍去&当直线,1&!5过点-!#&!时&直线与圆有两个交点&此时51$!所以要使直线,1&!5与曲线&1!,槡#0#有两个不同的公共点&所以$*5%槡#0#&即实数5的取值范围为,$&#槡0#&故答案为,$&槡#0#!&!槡$0槡’$!$解析%由题意可知蛋槽的高为槡$&且折起三个小三角形顶点构成边长为的等边三角形*7-7+7&所以球心到面*7-7+7的距离61!槡$!$槡#1槡’$&4鸡蛋中心与蛋槽底面的距离为槡$0槡’$!’!!$解析%30&+1*&40#00&+1*!38&+1+(&4!0#0!#0#00!&+0#1+(&即#0##00#&+0#!0#00&+0&+1+(!4#0##00#&+1$*!3数列’#(中各项是从#+#!这三个整数中取值&4数列’#(的前&+项中+的个数为&+!$*1!故答案为!三#解答题(!$解析%!设&%+&则!&.+&所以%!!&1!!!�#!!&1!&#!#&&又%!&为奇函数&所以%!!&1!%!&&于是&%+时&%!&1�#&1�)&&所以)1#!!#要使%!&在,!&!#+上单调递增&结合%!&的图象知!#.!!#*’&所以%*$&故实数的取值范围是!&$+!理科数学参考答案!长郡版!%!!!!)!$解析%!389:!#*0-89:*1#0#;8!*0-&489:!#*0-1#89:*0#89:*;8!*0-&489:,*0!*0-+1#89:*0#89:*;8!*0-&489:!*0-;8*!89:*;8!*0-1#89:*&489:-1#89:*&451#&451#!!#31&3槡1(&51#&451#!4;8+1#05#!3##510%!(%1!#&4+1#%$!40)*-+1#589:+1#22#2槡$#1槡$#&即)*-+的面积为槡$#!*!$解析%!因为2339*02339+1!#0;8&89:&!2339*02339+#1(&所以!#0;8#089:#1(&故;81#&4;8#12339-!2339+/2339-//2339+/189:1=槡$#&4#1%’或&’%!!#233*+1!;8!#&89:&233-+1!;8&89:!#&由233*+(233-+&4233*+!233-+1+&即;8089:1#&4!;8089:#1%&489: