数学分析9-1

返回后页前页第八章定积分的概念本章重点学习定积分的性质和计算，特别是定积分的计算.一，定积分的基本概念返回中央财经大学-数学分析（W.H）二，牛顿莱布尼茨公式三，可积条件四，定积分的性质五，微积分学基本定理返回后页前页§1定积分的概念在很多数学和物理问题中，经常需要求一类特殊和式的极限:这类特殊极限问题导出了定积分的概念.返回01lim(),Tniiifx中央财经大学-数学分析（W.H）返回后页前页(,)|[,],0().Axyxabyfx三个典型问题(),[,],yfxxab1.设求曲边梯形A的面积S(A),其中yxOxfy()SAab中央财经大学-数学分析返回后页前页2.已知质点运动的速度为求从时刻(),[,].vttab3.已知质量非均匀分布的线状物体的密度函数为,)(x,],[bax求线状物体的质量m.显然,()()();fxcSAcba当为常值函数时，0();svba为匀速运动时,0()vtv当当质量为,x均匀分布时，即为常数时).(abm这就是说,在“常值”、“均匀”、“不变”的情况下，a到时刻b,质点运动的路程s.中央财经大学-数学分析返回后页前页可以用简单的乘法进行计算.而现在遇到的问题以下我们以求曲边梯形的面积为例，把这类问题中心思想：是“非常值”、“不均匀”、“有变化”的情形，如何来解决这些问题呢？合理地归为一类特殊和式的极限.把曲边梯形看作许许多多小的曲边梯形之和，每个小曲边梯形面积，可近似地用矩形的面积来替中央财经大学-数学分析返回后页前页代，虽然为此会产生误差，但当分割越来越细的一分为二时候，矩形面积之和就越来越接近于曲边梯形面积.yxOxfy()SAab1x中央财经大学-数学分析返回后页前页一分为四yxOxfyab1x2x3x()SA中央财经大学-数学分析返回后页前页一分为八yxOxfyab81x1x3x()SA中央财经大学-数学分析返回后页前页一分为n可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边梯形的面积.yxOxfyab1xix1ix1nxi()SA中央财经大学-数学分析返回后页前页过程呢？这可以分三步进行.1.分割：把曲边梯形A分成n个小曲边梯形,,,,21nAAAa1x2x1nxb即在上找到个分点121{,,,},nxxx[,]ab1n121,naxxxb如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的中央财经大学-数学分析返回后页前页0,nxaxb为方便起见，记，010,,,Δ,,Δ.nnTxxxT用或=来记这个分割11[,],Δ,1,2,,iiiiiixxxxxin，11[,],[,]()iiiiixxxxfx在上把近似看作常数()()Δ,iiiiifASfx.此时的面积约为所以11()()Δ.nniiiiiSASfx2.近似:iA把小曲边梯形近似看作矩形,即任取1()Δ.niiifx上述和式称为积分和或黎曼和中央财经大学-数学分析返回后页前页3.逼近：不管分割多么细，小曲边梯形终究不是S总有差别.当分割越来越细时，和式1()Δniiifx问题是：(1)如何刻画分割越来越细？1(2)()Δ?niiifxS如何刻画越来越逼近于就会越来越小.S与的差距下面依次讨论这两个问题.1()Δniiifx与曲边梯形的面积矩形，因此黎曼和中央财经大学-数学分析返回后页前页001(1):,nTaxxxb对于一般的不能来表示分割T越来越细,因为可能某些n用maxΔ1,2,,.iTxin1(2)()Δ,niiifxS要刻画能无限逼近需对任意1[,]iixx区间要保证每个区间的长度不趋于0.1[,]0,iixxT的长度趋于需引细度入分的:割(模)0T则当时,就能保证分割越来越细.中央财经大学-数学分析返回后页前页1maxΔ,[,],iiiiTxxx时对任意都有1()Δ.niiifxS－总结以上分析，下面给出定积分定义.对于另外两个实际问题,也可类似地归结为黎曼和0,给定的能够找到0,使得当的极限.中央财经大学-数学分析返回后页前页定义1[,]R.fabJ设是定义在上的函数，001:,nTaxxxb00,若，对任意分割[,]fab则称在上可积，并称J为f在[a,b]上的1,,1,2,,,iiixxin及任意01()dlim()Δ.nbaTiJfxxfxii定积分,记作maxiTx当时,必有1(),niiifxJ中央财经大学-数学分析返回后页前页,ab分变量,分别为积分下限和上限.f其中称为被积函数,x为积[,]ab为积分区间,,()fx由定义曲边为的曲边梯形的面积为()d.baSfxx()vt通过类似分析,速度质点运动的路程为()d;basvtt()x密度为线状物体的质量为()d.bamxx中央财经大学-数学分析返回后页前页01lim()ΔniiTiJfx表达式注1nT不仅与和有列极限，也不是函数极限.注2[,]ab并非每个函数在上都可积.在近似过程中,我们把小曲边梯形近似看作矩形时,显然要求12{,,,}n关,还与有关,因此定积分既不是数关于定积分定义，应注意以下几点：f(x)在每个小区间[xi–1,xi]上变化不大,这相当于要求f(x)有某种程度上的连续性.中央财经大学-数学分析返回后页前页[a,b]上的一致连续性,可证f(x)在[a,b]上可积.下面举例来加深理解用定义求定积分的方法.122010dlimΔniiTiSxxx2()[01]fxx在，上连续，故解120d.xx求例1存在.为方便起见,令以后将知道f(x)在[a,b]上连续时,利用f(x)在中央财经大学-数学分析返回后页前页,,2,1,11210:nnnnnTn11maxΔ0,niinTxnn＝,,,2,1,,11ninininii取则此时黎曼和的极限化为nniSnin1121数列的极限.中央财经大学-数学分析返回后页前页nniSnin11lim12ninin12311lim.316121lim3nnnnn于是注这里利用了连续函数的可积性.因为可积,所1.iin以可取特殊的分割(等分)和特殊的介点中央财经大学-数学分析返回后页前页作业中央财经大学-数学分析P206•1•2(1)(3)