数学分析习作读书报告格式

云南大学数学分析习作课读书报告题目：一元函数与二元函数连续性的对比学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学姓名、学号：任课教师：时间：摘要讨论一元、二元函数连续性的对比，首先我们要讨论一元函数与二元函数的连续性的联系，从函数连续性的定义和一些性质中找出与一元函数与二元函数连续性的关系，再从函数连续性与极限、导数、微分的联系来分析一元函数与二元函数连续性的不同。如同极限一样，二元函数的连续性问题要比一元函数要求更高，处理起来也更复杂，但是，一切从基本概念出发，熟知连续性的定义和定理，参考一元函数连续性问题的解决方法，二元函数连续性问题就不难解决。关键词：函数在一点的连续性函数的左、右连续间断点导数极限偏导数积分1以下为正文部分：小标题四号宋体字，其余均为小四号宋体字。撰写时请删除！一、函数的连续性函数在一点的连续性（一）函数在x。连续，满足三个条件：（1）函数ƒ(x)在x。点点某领域U(x。，δ)内有定义（2）limƒ(x)存在△x→x。（3）limƒ(x)=ƒ(x。)△x→x。用增量形式表示连续性：lim[ƒ(x。+△x)-ƒ(x。)]=lim△y=0△x→0△x→0定义：设ƒ(x)在x。及其领域内有定义，如果对于任意的ε﹥0，都有δ=δ（x。，ε）﹥0，使当|x-x。|﹤δ时，有|ƒ(x)-ƒ(x。)|﹤ε成立，即limƒ(x)=ƒ(x。)，则称函数ƒ(x)在x=x。(或点x。)处连续。x→x。ƒ(x)在点x。出处有定义，且ƒ(x)在分界点x。的极限limƒ(x)存在x→x。limƒ(x)=(x。)x→x。所有初等函数在它的定义域内都连续一个连续而另一个不连续的函数，其和、差一定不连续，但其积不然例1．例设函数ƒ(x)在（a,b）内每一点处的左、右极限都存在，又x,y∈（a,b）,有ƒ(2yx)≤[21ƒ(x)+ƒ(y)](1)证明ƒ在（a,b）内连续分析若想证明ƒ(x)在（a,b）内连续，由题设即证x。∈（a,b），limƒ(x)=limƒ(x)=ƒ(x。)(2)x→x-。x→x+。即可，在式（1）中先令某一变量为x。（这是想当然的，因为定要考察ƒ在x。处的情况，不妨设x=x。），则得ƒ(2yx。)≤[21ƒ(x。)+ƒ(y)](3)如果y在x0的左侧，即yx0.则有2y﹤2yx。﹤x。即y与2yx。均在x。的左侧。如此，y→x-。时，2yx。→x-。亦成立。在式（3）中自然要想到令y→x-。，则得limƒ(2yx。)≤[21ƒ(x。)+limƒ(y)](4)y→x-。y→x-。令A=limƒ(y)y→x-。则limƒ（2yx。）=Ay→x-。则式（4）表明A≤ƒ(x。)（5）同样，若在式（3）中令y→x+。，则当记B=limƒ(y)时，便有不等式y→x-。B≤21ƒ(x。)+21BB≤ƒ(x。)（6）在式（1）中如果想办法令2yx=x。，这样x。便成为x与y中间的点了，在式（1）中令xx。、yy。，便会得到另一个不等式，为此，不妨令x=x。-h,y=y。+h,h0.则式（1）成为ƒ(x。)≤[21ƒ(x。-h)+ƒ(x。+h)]（7）令h0.则式（7）成为ƒ(x。)≤21ƒ(A+B)(8)联立式（5）、(6)、(8)便得A=B=ƒ(x。)问题获证。（二）、函数在一点的左（右）连续1、函数ƒ(x)在点x。左连续,满足三个条件:3（1）函数ƒ(x)在x。点点某领域Uˉ(x。，δ)=（x。-δ,x。）内有定义（2）limƒ(x)存在△x→x-。（3）limƒ(x)=ƒ(x。)△x→x-。用增量形式表示左连续性：lim[ƒ(x。+△x)-ƒ(x。)]=lim△y=0△x→0-△x→0-2、函数ƒ(x)在点x。右连续,满足三个条件:（1）函数ƒ(x)在x。点点某领域U+(x。+δ，x。)有定义（2）limƒ(x)存在△x→x+。（3）limƒ(x)=ƒ(x。)△x→x+。用增量形式表示连续性：lim[ƒ(x。+△x)-ƒ(x。)]=lim△y=0△x→0+△x→0+分段函数是刻画左右连续的最好例证例2设,0,223,0,2sin)(xkxxxxxxf问k为何值时，ƒ(x)在其定义域内事连续的？解：当0。x时，。xxlimƒ(x)=ƒ(x。)，所以，在0x处，ƒ(x)是连续的。当0x时，由于ƒ(0)=k；且0limxƒ(x)=;22sin0limxxx)(0limxfx,)223(0limkkxxx所以，令k=2,则ƒ(x)在0x处连续。（三）、间断点及其分类1、函数ƒ(x)在x。间断，必出现如下三种情形之一；4（1）ƒ(x)在x。点无定义（2）limƒ(x)不存在x→x。（3）ƒ(x)在x。点有定义，且limƒ(x)存在，但limƒ(x)≠ƒ(x。)x→x。x→x。2、间断点分两类（1）第一类间断点;函数在该点处的左、右极限都存在①可去间断点，limƒ(x)存在，但ƒ(x)在x。点间断x→x。②跳跃间断点，ƒ(x)在x。点的左右侧极限存在，但limƒ(x)≠limƒ(x)x→x+。x→x-。(2)第二类间断点；函数ƒ在点x。的左右极限至少有一个不存在①振动间断点，如y=sinx1(x=0)②无穷间断点，如ƒ(x)=xxsin（x/sinx）(x=n)下面我们看一下关于这些的例题例3设函数,2,32,20,13,0,0)(xxxxxxf求ƒ(x)的间断点和连续区间。解：该分段函数在区间（-∞，0），（0，2）,(2,+∞)内分别都是多项式函数，因此，如果该函数有间断点，其间断点只可能是分段点x=0,x=2.由于ƒ(0)=1,ƒ(2)=7,且limƒ(x)=lim0=0,limƒ(x)=lim(3x+1)=1,x→0-x→0-x→0+x→0+limƒ(x)=lim(3x+1)=7,limƒ(x)=lim(32x)=7x→2-x→2-x→2+x→2+所以，x=0是ƒ(x)的跳跃间断点，x=2是ƒ(x)的连续点，其连续区间是（-∞，0）和(0,+∞)例4求函数ƒ(x)=sinxsinx1的简断点，并说明这些间断点是哪类间断点。若是可5去间断点，则补充定义，使函数连续。解：因为ƒ(x)在x=0处没有定义，所以x=0是ƒ(x)的间断点。因为limsinxsinx1=0x→0所以x=0是ƒ(x)的可去间断点，补充定义ƒ(0)=0，即令ƒ(x)=,0,0,0,1sinsinxxxx则ƒ(x)在x=0处连续。数学分析名师导学（上册）《大学数学名师导学丛书》编写组编本册编写杨万利中国水利水电出版社2005P102～105定理5.ƒ(x)在x。处连续的充分必要条件为ƒ(x)即为左连续，又为右连续定义6.（函数在闭区间上连续）函数ƒ(x)在[a,b]上连续是指：对任意x。(a,b),ƒ(x)在x。处连续，且ƒ(x)在a处右连续，在b处左连续。性质8.若ƒ(x)，g(x)在x。处连续且ƒ(x。)g(x。)，则在x。的领域U，使ƒ(x)﹥g(x)，xU性质9.连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍然连续例5证明ƒ(x)=｛0,cos0,sinxxxxx在x=0处连续。证首先，ƒ(0)=cos0=1.当x0时，ƒ(x)=)0(1sinxxx6又当x﹤0时，︳ƒ(x)-1︳=︳cosx-1︳=2)0(022222sinxxx故知limƒ(x)=1x→x-。从而，ƒ(x)既为左连续又为右连续，即ƒ(x)在0处连续。数学分析龚怀云主编刘跃武陈红斌向淑晃西安交通大学出版社2000P52～53二、二元函数的连续性二元函数连续的定义：若f(M)在M。有定义，limƒ(M)存在，且二者相等，即M→M。limf(M)=f(M。)M→M。时，则称f(M)在点M。连续。二元函数f(M)在点M。连续的“ε-δ”定义可叙述为：任意的ε0，存在δ0时，r(M,M。)δ时,有|f(M)-f(M。)|ε.(一)、若二元函数ƒ(x，y)定义在点集点集D上，点P（a,b)∈D,并且并且P(a,b)是是D的聚点，若),(),(limbafyxfbyax则称二元函数f(x,y)在点P(a,b)连续。二元函数f(x,y)在点P(a,b)连续的“ε-δ”定义可叙述为：),(),(limbafyxfbyax当且仅当任意的ε0，存在δ0时，使得任意的（x,y)∈D:|x-a|δ,|y-b|δ,恒有7|f(x,y)-f(a,b)|ε.f(a,y)在y=b处连续，f(x,b)在x=a处连续。（二）、若点集点集D的任意点都是D的聚点，并且二元函数f(x,y)在任意一点一点P(x,y)∈D都连续，则称f(x.y)在D连续.(2)若二元函数f(x,y)在点P(a,b)不连续，则称点P(a,b)是二元函数的不连续点或间断点。例6设函数f(x,y)在域D内对变量x是连续的，并对变量y满足李卜希兹条件，即任意的Dyxyx),(),',(，有,'),()',(yyLyxfyxf其中其中L是常数。证明：),(yxf在D上连续。证明：任意的Dyx)(。。，，由于),(yxf对x连续，则),(yxf在x。连续，任意的ε0，存在)(1。。，yx0，使得当|x-a|δ1时，有|f(x,y)-f(x。,y。)|ε/2.取。则当yyL,0)2/(2时，由条件有2/)2/(),(),(LLyyLyxfyxf。。。故取2,1min，则当。。yyxx,，且DyxU)),,((。。时，有2/2/,(),(),(),(),(),(）。。。。。。yxfyxfyxfyxfyxfyxf，即知),(yxf在点)(。。，yx连续，由)(。。，yx的任意性知，),(yxf在D上连续。三、二元连续函数的四则运算定理和复合运算定理与一元函数的情形基本相似。（一）若二元函数f(x,y)与g(x,y)在点P(a,b)处都是连续的，则二元函数)0),((),(),(),,(),(),,(),(yxgyxgyxfyxgyxfyxgyxf在点点P(a,b)也都连续。（二）若二元函数),(),,(yxvyxu在点点P(a,b)连续，并且二元函数),(vuf在点)),(),,((),(baba连续，则复合函数)),(),,((yxyxf在点连续P(a,b)连续.二元连续函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数仍是连续的二元函数。若一元函数)(xfz在区间(a,b)连续，将它看作是二元函数)(),(xfyxfz时，函数)(xfz在区域RybaxyxD),,(),(也是连续的。8数学分析（下册）主编朱培勇黄家琳副主编张利平唐再良陈顺清曾意王良成四川大学出版社2002、8P53∽P54四、可导与连续的关系可导必连续，连续不一定可导。函数ƒ(x)在x=x。处连续，仅仅是函数ƒ(x)在x=x。处可导弹必要条件，而不是充分条件。ƒ(x。+△x)-ƒ(x。)lim△y=lim[ƒ(x。+△x)-ƒ(x。)]=lim——————————·△x△x→0△x→0△x→0△x=ƒ′(x。)·0=0所以ƒ(x)在x。处可导。单侧倒数由于倒数的定义是借助于极限来给出的，则由单侧极限的概念出发左导数。。。。）（、，右导数，。。。（、,)()(0lim)()(0lim)xxfxxfxxfxxfxxfxxf。）（、。）（、存在。、xfxfxf)(分段函数是解释、处理单侧倒数的较好模型。函数ƒ(x)在点x。可导，则ƒ(x)在x。点连续，一般有。）（、xf存在ƒ(x)在点x。点右连续)(。、xf存在ƒ(x)在x。点左连续称ƒ(x)在[a,b]上可导，是指x。∈（a,b），ƒ(x)在x。可导，且x。=a或b时，ƒ(x)在x。的右、左导数存在。例6讨论分段函数ƒ(x)=︱x︱=