双曲线的参数方程、抛物线的参数方程

二、圆锥曲线的参数方程2、双曲线的参数方程•baoxyMBA'B'A'OBBy在中，(,)Mxy设|'|||tanBBOBtan.b'OAAx在中，|||'|cosOAOAcosasec,asec()tanxaMyb所以的轨迹方程是为参数2a222xy消去参数后，得-=1,b这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。双曲线的参数方程双曲线的参数方程•baoxyMBA'B'Asec()tanxayb为参数2222-1(0,0)xyabab的参数方程为：3[0,2)22通常规定且，。⑵双曲线的参数方程可以由方程与三角恒等式22221xyab22sec1tan相比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换.说明：⑴这里参数叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.的两个焦点坐标。、求双曲线tan34sec32{1yx(215,0)练习：3sec2{()_______tanxy、双曲线为参数的渐近线方程为13yx22221:(2)11OxyPxyQPQ例、已知圆上一点与双曲线上一点，求、两点距离的最小值222222minmin(sec,tan)sec(tan2)tan1tan4tan42(tan1)35tan1,,34431QOQOQPQ解：设双曲线上点的坐标为先求圆心到双曲线上点的最小距离当即或时例2.如图,设M为双曲线上任意一点,O为原点,过点M作双曲线两渐近线的平行线,分别与两渐近线交于A,B两点.探求平行四边形MAOB的面积,由此可以发现什么结论?)0,(12222babyaxxaby解:双曲线的渐近线方程为.不妨设M为双曲线右支上一点,其坐标为,则直线MA的方程为)tan,sec(ba)sec(tanaxabby将代入上式,解得点A的横坐标为)tan(sec2axA同理,得点B的横坐标为).tan(sec2axBxaby设,则AOx,tanab所以,MAOB的面积为2sincoscos2sin||||BAxxOBOAS2sincos4)tan(sec2222a.22tan222ababaa由此可见,平行四边形MAOB的面积恒为定值,与点M在双曲线上的位置无关.222222223004.(,),PbxayababPabPR例设是双曲线上任意一点过点作双曲线两渐近线的平行线,分别与两渐近线相交于点Q和R,求证:PQ3、抛物线的参数方程xyoM(x,y)222...........(5)tan..................................(6)2tan(5),(6),()2tan(5)(){ypxMyxpxxypy设抛物线的普通方程为因为点在的终边上，根据三角函数的定义可得由解出，得到为参数这就是抛物线不包括顶点的参数方程21,(,0)(0,),tan2{()20(0,0)(,)ttxpttyptttt如果令则有为参数当时，由参数方程表示的点正好就是抛物线的顶点因此当时，参数方程就表示抛物线。参数表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。2121212121212122{()2,,11xpttyptMMttMMAttBttCDtttt2、若曲线为参数上异于原点的不同两点，所对应的参数分别是则弦所在直线的斜率是、、、、()c抛物线y2＝x的一个参数方程为____________________．,答案：x＝t2，y＝t(t为参数)预习思考1．抛物线y＝2x2的焦点坐标为________，准线方程是________；抛物线x2＝2y的焦点坐标为________，准线方程是________．2．曲线C的参数方程为x＝2pt2，y＝2pt(t为参数，t∈R)其中p为正的常数．这是焦点在______________上的抛物线参数方程．F0，18x轴正半轴F0，12y＝－12y＝－18例1写出圆锥曲线y2＝4x的参数方程．解析：y2＝4x，令x＝4t2，则y＝4t.∴参数方程为x＝4t2，y＝4t(t为参数)．题型1抛物线参数方程的理解栏目链接例2．如图所示，设M为抛物线y2＝2x上的动点，给定点M0(－1,0)，点P为线段M0M的中点，求点P的轨迹方程．变式训练题型2抛物线参数方程的应用栏目链接分析：合理选取参数，将抛物线方程转化为参数方程，再寻求解题方法是本题的解法之一．解析：令y＝2t，则x＝y22＝2t2，得抛物线的参数方程x＝2t2，y＝2t，设点P的坐标为(x，y)，变式训练动点M(2t2,2t)，定点M0(－1,0)，由中点的坐标公式得点P的坐标为x＝12－1＋2t2，y＝120＋2t，即x＝－12＋t2，y＝t.这就是点P的轨迹的参数方程，可化为普通方程y2＝x＋12，这是以x轴为对称轴，顶点在－12，0的抛物线．变式训练例3过点A(1,0)的直线l与抛物线y2＝8x交于M、N两点，求线段MN的中点的轨迹方程．解析：设抛物线的参数方程为x＝8t2，y＝8t(t为参数)，可设M(8t21，8t1)，N(8t22，8t2)，则kMN＝8t2－8t18t22－8t21＝1t1＋t2.又设MN的中点为P(x，y)，则x＝8t21＋8t222＝4t21＋t22，y＝8t1＋8t22＝4t1＋t2.∴kAP＝4t1＋t24t21＋t22－1，栏目链接由kMN＝kAP知t1t2＝－18，又x＝4t21＋t22，y＝4t1＋t2，则y2＝16(t21＋t22＋2t1t2)＝16x4－14＝4(x－1)．∴所求轨迹方程为y2＝4(x－1)．目链接