以不变应万变滚动圆问题方法研究初探

“以不变应万变”——滚动圆问题规律初探祁斌（江苏省盐城市明达中学224002）近年来在中学数学教科书和竞赛中我们经常会遇到与圆的滚动有关的问题，如北师大版九年级（下）130页试一试提到的问题：取两枚大小相同的硬币，将其中一枚固定在桌上，另一枚沿着固定硬币的边缘无滑动滚动一周，那么滚动的硬币自身转了多少圈？浙江教育出版社出版的九年义务教育初中数学第六册97页有如下一题：⊙O与⊙O′内切，两圆的半径分别为3cm和1cm，令⊙O′沿着⊙O顺时针方向滚动。已知滚动时⊙O′绕⊙O转动了3周，求随之运动所经过的路程。诸如此类的问题学生感到难以理解，教师不知如何解释，笔者深入研究了一下,发现这类问题其实是有规律可寻的。首先，必须搞清楚滚动和普通意义上的转动并不是同一回事。滚动其实是一种复合运动，至少包括两种运动：一是滚动圆本身的自转（自转是指一个圆绕着自己的圆心转动）；另外还有滚动圆沿另一个几何图形的平移或旋转。由于在滚动过程中动圆除圆心外，其余各点相对于另一几何图形的运动轨迹是变化的，因此很难把握其规律，而圆心相对于另一几何图形的运动轨迹很容易确定，故解决圆的滚动问题的关键在于抓住滚动前后的动圆圆心轨迹，其类型大体有以下几种，现举例说明：一、圆沿直线滚动的问题例1如图1，一个半径为r米的圆沿直线方向从A地滚动到B地，若线段AB长m米，则该圆在滚动过程中自转了几圈？图1简析圆在沿直线方向从A地滚动到B地的过程中，圆心到直线AB的距离始终保持不变，易证得四边形ABO′O是矩形，所以AB＝OO′＝m,此时圆心轨迹是与直线AB平行且到直线AB距离等于r的一条线段OO′，其长为m，而圆自转一圈，圆心向前移动距离为2πr,因此圆在滚动过程中自转了rm2圈。二、圆沿凸多边形边缘滚动的问题例2如图2，一个半径为r圆沿着某一凸五边形ABCDE外侧边缘（圆和边相切）作无滑动滚动一周回到原来位置已知五边形周长为m,问圆自转了几圈？ABOO′图２简析如图2，圆在绕凸五边形ABCDE滚动过程中，其圆心到多边形各边（包括顶点）的距离保持不变，始终等于r，圆心绕多边形边缘滚动的路径由两部分组成：五边形周长加上在多边形各顶点处所经过的弧线长。易证，所有弧线长和刚好等于圆周长，圆自身所转的圈数是圆心经过的路径长除以圆自身周长，故圆转动了rrm22周.设想一下，如果把图2中的五边形ABCDE沿点A处剪开并展开，仿造上面的第一种情形，圆的运动路径可以转化为沿直线运动且圆心所经过的路径长为OO′的长，见图3,即OO′＝m+2πr.而圆自转一圈，圆心向前移动距离为2πr,因此圆在滚动过程中自转了rrm22圈.类似的对于一般的凸n边形,上面的结论同样成立。oB1oCAE2o3oD4o5o9o8o7o6o/o图3三、动圆绕定圆滚动的问题例3如图4⊙O与⊙O′外切于点A，已知⊙O和⊙O′的半径分别为R、r，若⊙O′绕着⊙O边缘滚动一周回到初始位置，问⊙O′自转了几圈？图4简析⊙O′绕着⊙O边缘滚动的一周回到初始位置过程中圆心O′到O点的距离始终保持不变，长为R＋r，此时滚动圆圆心O′的运动轨迹是以O为圆心，R＋r长为半径的圆，其周长为2π（R＋r），⊙O′自身所转的圈数是圆心经过的路径长除以⊙O′的自身周长，故圆转动了rrR2)(2圈。如果把图4中的⊙O沿切点A处剪开并展开，仿造上面的第一种情o/oA/Am2πr0A/o形，圆的运动路径可以转化为沿直线运动，见图5,即O′//o＝2π（R+r），而圆自转一圈，圆心向前移动距离为2πr,因此圆在滚动过程中自转了rrR2)(2圈.图5例4如图6,⊙O与⊙O′内切于点A，已知⊙O和⊙O′的半径分别为R、r（R≥r），若⊙O′绕着⊙O边缘滚动一周回到初始位置，问⊙O′自转了几圈？简析⊙O′绕着⊙O边缘滚动的一周回到初始位置过程中圆心O′到O点的距离始终保持不变，长为R－r，此时滚动圆圆心O′的运动轨迹是以O为圆心，R－r长为半径的圆，其周长为2π（R－r），⊙O′自身所转的圈数是圆心经过的路径长除以⊙O′的自身周长，故圆转动了rrR2)(2圈。如果把图6中的⊙O沿切点A处剪开并展开，仿造上面的第一种情/o//o/AA2π（R＋r）A/OO′形，圆的运动路径可以转化为沿直线运动，见图7,即O′//o＝2π（R－r），而圆自转一圈，圆心向前移动距离为2πr,因此圆在滚动过程中自转了rrR2)(2圈.图7综上所述，滚动圆相关问题的关键在于确定滚动圆圆心的运动路径，假设滚动圆圆心的运动路径为m,其半径为r，自转圈数为n，我们不难得出如下关系：n=rm2.由此本文开头提到的两个问题就很容易解决了:设硬币的半径为r,滚动的硬币的圆心经过的路径长为2π（r+r）=4πr，故滚动的硬币自身转了224rr圈。而另一问题中⊙O′绕⊙O转动了3周，其圆心经过的路径长为3×2π（3－1）=12π，故⊙O′运动所经过的路程为12π./o//o/AA2π（R－r）