线性系统稳定性分析

第五章线性系统的稳定性分析项目内容教学目的掌握稳定概念，能用劳斯判据或胡尔维茨稳定判据判稳。教学重点用劳斯判据判定系统稳定性。教学难点两种特殊情况的判稳，劳斯判据的灵活运用。讲授技巧及注意事项练习为主。5-1线性系统的稳定性分析在控制系统的分析研究中，最重要的问题是系统的稳定性问题。不稳定的系统在受到外界或内部的一些因素扰动时，会使被控制量偏离原来的平衡工作状态，并随时间的推移而发散。因此，不稳定的系统是无法正常工作的。定义：如果线性定常系统受到扰动的作用，偏离了原来的平衡状态，而当扰动消失后，系统又能够逐渐恢复到原来的平衡状态，则称该系统是渐进稳定的（简称为稳定）。否则，称该系统是不稳定的。注意：稳定性是系统的一种固有特性，这种特性只取决于系统的结构和参数，与外作用无关。一、稳定的基本概念稳定与不稳定系统的示例'AAf图a摆运动示意图（稳定系统）Af图b不稳定系统图c小范围稳定系统dfcA物理意义上的稳定概念根据上述稳定性的定义，可以用函数作为扰动来讨论系统的稳定性。设线性定常系统在初始条件为零时，输入一个理想单位脉冲，这相当于系统在零平衡状态下，受到一个扰动信号的作用，如果当t趋于∞时，系统的输出响应c(t)收敛到原来的零平衡状态，即该系统就是稳定的。)(tlim()0tct)(t数学意义上的稳定概念假如单输入单输出线性系统由下述的微分方程式来描述，即(1)则系统的稳定性由上式左端决定，或者说系统稳定性可按齐次微分方程式(2)来分析这时，在任何初始条件下，若满足(3)()(1)(1)110()(1)(1)110nnnnmmmmacacacacbrbrbrbr()(1)(1)110nnnnacacacac0(1)(1)lim()lim()lim()ntttctctct0则称系统是稳定的。为了决定系统的稳定性，可求出式(2)的解。由数学分析知道，式(2)的特征方程式为设上式有q个实根-pi（i=1，2，…，q），r对共轭复数根(-ζkωk±jωk)(k=1，2，…，r)，q+2r=n，则齐次方程式解的一般式为1110nnnnasasasa011()sin()ikkqrttikdkkikcteAet五种运动模态j0j0j0j0j0012345600.10.20.30.40.50.60.70.80.91ImpulseResponseTime(sec)Amplitude00.511.522.502468101214ImpulseResponseTime(sec)Amplitude0510152025303540-1.5-1-0.500.511.5ImpulseResponseTime(sec)Amplitude02468101214161820-8-6-4-2024681012ImpulseResponseTime(sec)Amplitude051015202530-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811.2ImpulseResponseTime(sec)Amplitude11()sin()ikkqrttikdkkikcteAet*当系统特征方程的根都具有负实部时，则各瞬态分量都是衰减的，则有，此时系统是稳定的。*如果特征根中有一个或一个以上具有正实部，则该根对应的瞬态分量是发散的，此时不成立，系统不稳定。*如果特征根中具有一个或一个以上的零实部根，而其余的特征根均有负实部，则c(t)作等幅振荡，这时系统处于临界稳定状态。lim()0tctlim()0tct线性定常系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说闭环传递函数的所有极点均位于为S平面的左半部分（不包括虚轴）。由以上讨论可知：判稳先求根。但是，对高阶系统，在求根时将会遇到较大的困难。人们希望寻求一种不需要求根而能判别系统稳定性的间接方法，例如:直接用系数就可以判断系统的稳定性。而劳斯判据就是其中的一种。二、劳斯稳定判据系统稳定的必要条件是其特征方程0(0,1,2,,)iain1、稳定的必要条件思路：寻找直接用系数就可以判断系统的稳定性的方法。12012100(0)nnnnnasasasasaa的各项系数均为正，即112102121311,103,,101210(......)...(1)(1)......nininijnnnijijnijkijkijknnnniniapaappaapppaapa将上式展开得特征根与特征方程系数的关系如下：(单根和)(双根积和)(n根积和)(3根积和)12112120000......()()......()0nnnnnnaaaassssspspspaaaa只有当所有根都位于左半平面，才能保证特征方程式的所有系数均为正。证明一：设方程有k个实根和r对共轭复数根22221211()()()[()][()]0krrsssss(1,2,)iik()(1,2)jjjjrk+2r=n且12112120000......()()......()0nnnnnnaaaassssspspspaaaa只有当所有根都位于左半平面，即，上式展开后，才能保证特征方程式的所有系数均为正。0,0ij，则证明二：系统稳定特征方程式所有根都位于左半平面特征方程式各项系数均为正22222212111()()()[2][2]0krrrsssssss由此可见，系统稳定的必要条件是其特征方程的各项系数均为正，即),,2,1,0(0niai首先检查系统特征方程的系数是否都大于零，若有任何系数是负数或等于零，则系统是不稳定的。如果满足稳定的必要条件时，再使用劳斯判据判别系统是否稳定。分析稳定性，首先分析必要条件2.劳斯判据(由劳斯表判断系统的稳定性)10110nnnnasasasa2.劳斯判据(由劳斯表判断系统的稳定性)劳斯表102113212321343212753116420fSeeSdddScccSabbbSaaaaSaaaaSnnnn计算数据原始数据10110nnnnasasasa五阶Routh表的列写方法举例54320123450asasasasasa则Routh表为5s0a2a4a1a3a5a120311aaaaba5a121511cbbadc5a131211baabcb140521aaaaba4s3s2s1s0s00)()()()()(上行最左数上行右数上二行最左数上二行右数上行最左数劳斯本数如果劳斯表中第一列的系数都具有相同的符号（正值），则系统是稳定的，否则系统是不稳定的。且不稳定根的个数等于劳斯表中第一列系数符号改变的次数。3.利用劳斯表判别系统的稳定性(三种情况)注意：a00（1）劳斯表第一列所有系数均不为零5s4s3s6676171146658621106677916676586176672s26670626671s7916150677912667658677910s2例1：已知系统的特征方程如下,试用劳斯判据分析系统的稳定性。0210171462345sssss解列劳斯表114106172劳斯表第一列的系数符号全为正，故系统稳定。为简化运算，常把劳斯表的某一行同乘以以一个正数后，再继续运算。本例中，劳斯表可按如下方法计算：1141061726758(同乘以6，实质是不除6)791134（同乘以67，不除67）36900（同乘以791，不除791）134由于第一列系数的符号相同，故系统稳定。5s4s3s0s1s2s例2：已知系统的特征方程，试用劳斯判据判断系统的稳定性。s4+2s3+s2+s+1=0解列劳斯表如下S4111S3210S2(2*1-1*1)/2=1/2(2*1－1*0)/2=1S1(1*1-2*2)/1=-3S0(-3*2-1*0)/-3=2由于劳斯表第一列的系数变号两次，一次由1/2变为－3，另一次由－3变为2，特征方程有两个根在S平面右半部分，系统是不稳定的。解特征方程求根判断稳定性：s=roots([1,2,1,1,1])s=-1.4656-1.00000.2328+0.7926i0.2328-0.7926i(2)劳斯表某行的第一项等于零，而本行中其余各项不全为零方法1：当劳斯表某一行的第一项为零，而其余项不全为零，可用一个很小的正数ε(例如1*10-6)代替第一列的零项，然后按照通常方法计算劳斯表中的其余项。例3：已知系统特征方程，判断系统的稳定性。s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0劳斯表s6s5s0s1s2s3s41246357(6－4)/2=11(10-6)/2=22710(6-14)/1=-8-8ε2ε+87ε-8(2ε+8)-7ε7ε劳斯表第一列的系数变号两次，特征方程有两个根在S平面右半部分，系统不稳定。2例4已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性。方法1解：由特征方程列出劳斯表s4125s3120s20≈ε5s1(2ε-5)/εs05当ε的取值足够小时，(2ε-5)/ε将取负值，故劳斯表第一列系数变号两次，由劳斯判据可知，特征方程有两个根具有正实部，系统是不稳定的。4322250sssss=roots([1,1,2,2,5])s=0.5753+1.3544i0.5753-1.3544i-1.0753+1.0737i-1.0753-1.0737i求根判别稳定性：方法2：令s=1/x代入特征方程可得到以x为变量的新的代数方程，对此方程使用劳斯判据也可判断系统的稳定性（相当于把特征方程系数的顺序倒过来）。方法2x4521x321x2-12x15x02劳斯表第一列系数变号两次，由劳斯判据可知，特征方程有两个根具有正实部，系统是不稳定的。令s=1/x得：4322250ssss43252210xxxxs=roots([5,2,2,1,1])s=0.2657+0.6255i0.2657-0.6255i-0.4657+0.4650i-0.4657-0.4650i存在两个正实部根，所表示系统不稳定。求根判别稳定性：方法3：对原特征方程两边同时乘以（s+1)因子，再用劳斯判据判稳。劳斯表为s5137s4245s329（同乘以2）s2-1010s111s010057432)1)(522(2345234ssssssssss方法3方程两边同乘以s+1，得：劳斯表第一列系数变号两次，所表示系统不稳定。s=roots([1,2,3,4,7,5])s=0.5753+1.3544i0.5753-1.3544i-1.0753+1.0737i-1.0753-1.0737i-1.0000求根验证：例如，，等等。显然，系统是不稳定的。ppjpj(3)劳斯表某行所有系数均为零如果劳斯表中某一行各项均为零，这说明在S平面内存在以原点为对称的特征根。例5：设系统特征方程为：s4+5s3+7s2+5s+6=0劳斯表s0s1s2s3s45175611660劳斯表何时会出现零行?特征方程中出现一些绝对值相同但符号相异的特征根：两个大小相等但符号相反的实根或一对纯虚根，或两对共轭复根。11劳斯表出现零行系统一定不稳定判断系统稳定性。s6182016s521216s421216s3000例6已知系统的特征方程,分析系统的稳定性。0161620128223456ssssss解由特征方程列劳斯表由于s3行的各项均为零，这表明系统有共轭虚根，所以系