2020届江苏高考数学(理)总复习讲义：--导数与函数的单调性

第二节导数与函数的单调性函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数．[小题体验]1．函数f(x)＝ex－x的减区间为________．答案：(－∞，0)2．已知a＞0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为________．答案：(0,3]1．求函数单调区间与函数极值时没有列表的习惯，会造成问题不能直观且有条理的解决．2．注意两种表述“函数f(x)在(a，b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a，b)”的区别．[小题纠偏]1．函数y＝12x2－lnx的单调递减区间为________．解析：y′＝x－1x＝x2－1x＝x－1x＋1x(x＞0)，令y′＜0得0＜x＜1.所以函数的单调递减区间为(0,1)．答案：(0,1)2．已知函数f(x)＝－12x2＋blnx在区间[2，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．解析：由题意得，f′(x)＝－x＋bx≤0在[2，＋∞)上恒成立，即b≤x2在[2，＋∞)上恒成立，∵函数g(x)＝x2在[2，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(2)＝4，∴b≤4.答案：(－∞，4]考点一判断函数的单调性重点保分型考点——师生共研[典例引领](2018·南京学情调研)已知函数f(x)＝ax2－bx＋lnx，a，b∈R.(1)当a＝b＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；(2)当b＝2a＋1时，讨论函数f(x)的单调性．解：(1)因为a＝b＝1，所以f(x)＝x2－x＋lnx，从而f′(x)＝2x－1＋1x.因为f(1)＝0，f′(1)＝2，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.(2)因为b＝2a＋1，所以f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋lnx(x＞0)，从而f′(x)＝2ax－(2a＋1)＋1x＝2ax2－2a＋1x＋1x＝2ax－1x－1x.当a≤0时，由f′(x)＞0，得0＜x＜1；由f′(x)＜0，得x＞1，所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．当0＜a＜12时，由f′(x)＞0，得0＜x＜1或x＞12a；由f′(x)＜0，得1＜x＜12a，所以f(x)在(0,1)和12a，＋∞上单调递增，在1，12a上单调递减．当a＝12时，因为f′(x)≥0(当且仅当x＝1时取等号)，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a＞12时，由f′(x)＞0，得0＜x＜12a或x＞1；由f′(x)＜0得12a＜x＜1，所以f(x)在0，12a和(1，＋∞)上单调递增，在12a，1上单调递减．[由题悟法]判断函数单调性的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根；(3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f′(x)的正负，由f′(x)的正负确定f(x)在相应子区间上的单调性．[提醒]研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．[即时应用]已知函数f(x)＝x3－ax－1，讨论f(x)的单调性．解：f(x)的定义域为R.f′(x)＝3x2－a.①当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在R上为增函数．②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±3a3，当x＞3a3或x＜－3a3时，f′(x)＞0；当－3a3＜x＜3a3时，f′(x)＜0.因此f(x)在－∞，－3a3，3a3，＋∞上为增函数，在－3a3，3a3上为减函数．综上可知，当a≤0时，f(x)在R上为增函数；当a＞0时，f(x)在－∞，－3a3，3a3，＋∞上为增函数，在－3a3，3a3上为减函数．考点二求函数的单调区间重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知函数f(x)＝(x2＋ax＋a)ex，其中a∈R，e是自然对数的底数．(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调减区间．解：(1)当a＝1时，f(x)＝(x2＋x＋1)ex，所以f(0)＝1.因为f′(x)＝(x2＋3x＋2)ex，所以f′(0)＝2.所以切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.(2)因为f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋2a]ex＝(x＋a)(x＋2)ex，当a＝2时，f′(x)＝(x＋2)2ex≥0，所以f(x)无单调减区间．当－a＞－2，即a＜2时，列表如下：x(－∞，－2)－2(－2，－a)－a(－a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以f(x)的单调减区间是(－2，－a)．当－a＜－2，即a＞2时，列表如下：x(－∞，－a)－a(－a，－2)－2(－2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以f(x)的单调减区间是(－a，－2)．综上，当a＝2时，f(x)无单调减区间；当a＜2时，f(x)的单调减区间是(－2，－a)；当a＞2时，f(x)的单调减区间是(－a，－2)．[由题悟法]求函数的单调区间的2方法法一：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．法二：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．[即时应用]1．(2018·常州期中)已知函数f(x)＝x2－ax－a2lnx.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－a2x＋ax，由f′(x)＝0，可得x＝a或x＝－a2，①当a＝0时，f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间．②当a＞0时，由f′(x)＞0，解得x＞a，函数f(x)单调递增；由f′(x)＜0，解得0＜x＜a，函数f(x)单调递减，∴f(x)的单调递减区间是(0，a)，单调递增区间是(a，＋∞)．③当a＜0时，由f′(x)＞0，解得x＞－a2，函数f(x)单调递增；由f′(x)＜0，解得0＜x＜－a2，函数f(x)单调递减，∴f(x)的单调递减区间是0，－a2，单调递增区间是－a2，＋∞.(2)f(x)≥0恒成立等价于f(x)min≥0，由(1)知，①当a＝0时，f(x)＝x2＞0，符合题意；②当a＞0时，f(x)的单调递减区间是(0，a)，单调递增区间是(a，＋∞)，∴f(x)min＝f(a)＝a2－a2－a2lna≥0，解得0＜a≤1；③当a＜0时，f(x)的单调递减区间是0，－a2，单调递增区间是－a2，＋∞，∴f(x)min＝f－a2＝a24＋a22－a2ln－a2＞0，解得－2e34≤a＜0.综上，实数a的取值范围是[－2e34，1]．2．(2019·苏州十中检测)设函数f(x)＝12x2＋ex－xex.(1)求f(x)的单调区间；(2)若x∈[－2,2]时，不等式f(x)＞m恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)f′(x)＝x＋ex－(ex＋xex)＝x(1－ex)．若x＜0，则1－ex＞0，所以f′(x)＜0；若x＞0，则1－ex＜0，所以f′(x)＜0；若x＝0，则f′(x)＝0.所以f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，即f(x)的单调减区间为(－∞，＋∞)．(2)因为x∈[－2,2]时，不等式f(x)＞m恒成立，所以m＜f(x)min；由(1)知f(x)在[－2,2]上单调递减，所以f(x)min＝f(2)＝2－e2.所以当m＜2－e2时，不等式f(x)＞m恒成立．故实数m的取值范围为(－∞，2－e2)．考点三由函数的单调性求参数的取值范围重点保分型考点——师生共研[典例引领](2019·木渎高级中学模拟)已知函数f(x)＝2xlnx－x2＋ax(a∈R是常数)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若f(x)在区间1e，e内单调递增，求a的取值范围．解：(1)因为a＝2时，f(x)＝2xlnx－x2＋2x，f′(x)＝2(lnx＋1)－2x＋2＝2lnx－2x＋4，所以f′(1)＝2，f(1)＝1，故切线方程是y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.(2)f′(x)＝2lnx－2x＋a＋2，若f(x)在区间1e，e内单调递增，则a＋2≥2(x－lnx)在区间1e，e内恒成立，设h(x)＝x－lnx，x∈1e，e，则h′(x)＝1－1x＝x－1x，由h′(x)＞0，得1＜x≤e；由h′(x)＜0，得1e≤x＜1，故h(x)在1e，1内单调递减，在(1，e]内单调递增，而h1e＝1＋1e＜h(e)＝e－1，故a＋2≥2e－2，解得a≥2e－4，所以a的取值范围是[2e－4，＋∞)．[由题悟法]由函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解．[提醒]f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0，且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．[即时应用]已知函数f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－2,3)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．解：f′(x)＝ex－a.(1)若a≤0，则f′(x)＝ex－a＞0恒成立，即f(x)在R上单调递增；若a＞0，令ex－a≥0，解得x≥lna，即f(x)在[lna，＋∞)上单调递增，因此当a≤0时，f(x)的单调递增区间为R；当a＞0时，f(x)的单调递增区间为[lna，＋∞)．(2)存在实数a满足条件．因为f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒成立，所以a≥ex在(－2,3)上恒成立．又因为－2＜x＜3，所以e－2＜ex＜e3，要使a≥ex在(－2,3)上恒成立，只需a≥e3.故存在实数a∈[e3，＋∞)，使f(x)在(－2,3)上单调递减．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数f(x)＝x－lnx的单调减区间为________．解析：函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－1x＝x－1x，令f′(x)＜0，得0＜x＜1.答案：(0,1)2．(2018·启东中学检测)已知函数f(x)＝x－1－(e－1)lnx，其中e为自然对数的底数，则满足f(ex)＜0的x的取值范围为________．解析：由f′(x)＝1－e－1x＝0(x＞0)，得x＝e－1.当x∈(0，e－1)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x∈(e－1，＋∞)时，函数f(x)单调递增．又f(1)＝f(e)＝0,1＜e－1＜e，所以由f(ex)＜0得1＜ex＜e，解得0＜x＜1.答案：(0,1)3．(2019·盐城中学检测)若函数f(x)＝14x＋3－kx＋lnx在区间[1,2]上单调递增，则实数k的取值范围是________．解析：∵函数f(x)＝14x＋3－kx＋lnx在区间[1,2]上单调递增，∴f′(x)＝14＋k－3x2＋1x≥0在[1,2]上恒成立，