概率论基本公式

1概率论与数理统计基本公式第一部分概率论基本公式1、)(;ABABAABABABA例：证明：成立。得证。成立，也即成立，也即（不发生，从而发生，则不发生，，知由（证明：（BABAABABBAABABBBABABAABABBA)).)2、对偶率：.BABABABA；3、概率性率：(1))()()(212121APAPAAPAA为不相容事件，则、有限可加：(2))()();()()(),()()(BPAPBPAPBAPABABPAPBAP时有：特别，（3）)()()()(ABPBPAPBAP对任意两个事件有：)();();();()1(.4.0)(2.0)(5.0)(ABPBAPBAPABPBPBAPAP求：，，例：已知：.3.0)(1)(,7.0)()()()(3.0)()()(,5.0)(.,2.0)()()()(,BAPBAPABPABPBPAPBAPABPAPBAPAPABPBPBAPABPBABBBAAB又即是不相容事件，、且解：4、古典概型222n2!)(n,22)-n2)!n2(22nCnAPCAnnn！，则自成一双为：！！（解：分堆法：每堆自成一双鞋的概率只，事件堆，每堆为只，分为双鞋总共例：5、条件概率称为无条件概率。的条件概率，条件下，事件称为在事件)(,)()()|(BPBAAPABPABPB)|P(B)P(AP(AB)A)|P(A)P(BP(AB)乘法公式：)|()()(iiABPAPBPi全概率公式：)|()()|()()()()|(jjjiiiABPAPABPAPBPBAPBAPi贝叶斯公式：例：有三个罐子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑4个球，3号装有2红22黑4个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球，（1）求取得红球的概率；（2）如果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少？.348.0)()()|()|()2(.639.0)(31)()()(.21)|(;43)|(;32)|()|()()(}{3,2,1i}{)1(111321321ii321APBPBAPABPAPBPBPBPBAPBAPBAPABPAPBPBBBAiBii由贝叶斯公式：，，依题意，有：由全概率公式是一个完备事件、、，由题知取得是红球。，号罐球取自设解：6、独立事件（1）P(AB)=P(A)P(B),则称A、B独立。(2)伯努利概型如果随机试验只有两种可能结果：事件A发生或事件A不发生，则称为伯努利试验，即：P(A)=p,qpAP1)((0p1,p+q=1)相同条件独立重复n次，称之为n重伯努利试验，简称伯努利概型。伯努利定理：knkknppCpnkb)1(),;(（k=0,1,2……）事件A首次发生概率为：1)1(kpp例：设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，（1）进行5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。353.0)()1(1)1()(7)2(163.0)()1()(5120777375535CPppCppCCPCBPppCBPBknkikkkikkkik，代入数据，得：号”，则由题意有：次独立试验发出指示信“设，代入数据得：号”，则由题意有：次独立试验发出指示信“）设解：（第二章7、常用离散型分布（1）两点分布：若一个随机变量X只有两个可能的取值，且其分布为：pxXPpxXP1}{;}{21（0p1）则称X服从21xx、处参数为p的两点分布。特别地，若X服从处，0121xx参数为p的两点分布，即：X01ipqp则称X服从参数为0—1分布。其中期望E（X）=p,D(X)=p(1-p)（2）二项分布：若一个随机变量X的概率分布由knkknppCkXP)-1(}{3（k=0,1,2……）给出，则称X服从参数为n，p的二项分布，记为：X~b(n,p)（或B(n，p)其中nkkXP01}{，当n=1时变为：kkppXP1)1(k}{（k=0,1）,此时为0—1分布。其期望E（X）=np，方差D(X)=n(1-p)（3）泊松分布：若一个随机变量X概率分布为：2,1,00,!}{kkekXPk，则称X服从参数为的泊松分布，记为：)(~)((~XPX或,其中01}{kkXP，称为泊松流强度。泊松定理：在n重伯努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率为nP,如果n时，的常数）0(nnP，则对任意给定的k，有ekppCpnkbkknnknknnn!)1(),;(limlim，这表明，当n很大时，p接近0或1时，有ekppCkknnknkn!)1(（np）。其期望方差相等，即：E(X)=D(X)=。8、常用连续型分布（1）均匀分布：若连续随机变量X的概率密度为bxaabxf),/(1,0)(其他则称X在区间（a，b）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)。其中-1)(dxxf，分布函数为：.,1.),/()(,0)(bxbxaabaxaxxF其期望E（X）=2ba，方差D(X)=12)(2ab。（2）指数分布：若随机变量的概率为0,00,)(，其他xexfx，则称X服从参数为的指数分布，简记为X~e().其分布函数：0,00,1)(，其他，xexFx4其期望E(X)=1,方差D(X)=21.(3)正态分布：若随机变量X的概率密度为xexfx,21)(222)(，则称X服从参数为μ和2的正态分布，记为X~N(μ,2),其中μ和（0）都是常数。分布函数为：.,21)(222)(xtxdtexF。当时，1,0称为标准正态分布，概率密度函数为：,21)22xex（分布函数为：.21)(22dtexxt定理：设)1,0(~),,(~2NXYNX则其期望E(X)=μ,D(X)=2。9、随机变量函数的分布（1）离散型随机变量函数分布一般方法：先根据自变量X的所有可能取值确定因变量Y的所有可能值，然后通过Y的每一个可能的取值iy(i=1,2,……)来确定Y的概率分布。（2）连续型随机变量函数分布方法：设已知X的分布函数)(xFX或者概率密度)(xfX，则随机变量Y=g(X)的分布函数}{})({}{)(YYCXPyXgPyYPyF,其中})(|{yxgxCy，dxxfCXPyFyCXYY)(}{)(，进而可通过Y的分布函数)(yFY，求出Y的密度函数。例：设随机变量X的密度函数为其他,011|,|1)(xxxfX，求随机变量。的分布函数和密度函数12XY5其他所以，时，当时，得：当时那么当得：函数，则由的分布函数和概率密度分别是随机变量和解：设,021,111)'()(2,1,21),1(121,0)(,10|)|1(0}1{}{)(2y),1(12)1()1(|)|1(11{}1{}{)(21,0)(}1{}{)(1,2111)()(1111-210110122yyyFxfyyyyyyFdxdxxdxyXPyYPyFyydxxdxxdxxyxyPyXPyYPyyPyXPyYPyFyyxYyfyFYXYYyyyyYYYY10、设随机变量X~N(),2,Y=baX也服从正态分布.即))(,(~2abaNbaXY。11、联合概率分布(1)离散型联合分布：1ijijPXY1y……jyP{X=ix}1xixp11jp11iPijPjjP1jijPP{Y=}jyiiP1iijP1(2)连续型随机变量函数的分布：例：设随机变量（X，Y）的密度函数1(),02,02(,)80,xyxyfxy其他求(),(),(),(),cov(,)fxfyEXEYXY，XY，D(X+Y).解：①当0≤x≤2时由dyxfX）yx(8/1[)(x0，得：xfX4/11/8xx(2），当x0或x2时，由000)(02dydyxfX，所以，20,4/11/8x,02)(xxXxf其他6同理可求得:2y0,4/11/8y02)(yYyf，其他；②E(X)=7/6dxx(20）Xxf,由对称性同理可求得，E(Y)=7/6。③因为E(XY)=4/3.y)dxdy1/8xy(x),(xy20202020dxdyyxf所以，cov（X,Y）=E(XY)-E(X)E(Y)=4/3-(7/6)2=-1/36。④3611)67()y()]([)()(22022022dxdyxfxXEXEXD，同理得D(Y)=3611,所以，XY=111)()(),cov(YDXDYX⑤D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=9512、条件分布：若的条件分布函数发生条件下，为在称XAAxFAPAxXPAxXPAxF)|(,}{},{}|{)|(13、随机变量的独立性：由条件分布设A={Y≤y},且P{Y≤y}0,则：)(),(}{},{}|(yFyxFyYPyYxXPyYxFY，设随机变量（X,Y）的联合分布概率为F（x,y），边缘分布概率为)()(yFxFYX、，若对于任意x、y有：}{}{},{yYPxXPyYxXP，即：)()(),(yFxFyxFYX，则称X和Y独立。14、连续型随机变量的条件密度函数：设二维连续型随机变量（X,Y）的概率密度为),(yxf,边缘概率密度函数为)()(yfxfYX、，则对于一切使)(xfX0的x,定义在X=x的条件下Y的条件密度函数为：)(),()|(|xfyxfxyfXXY，同理得到定义在Y=y条件下X的条件概率密度函数为：)(),()|(|yfyxfyxfYYX，若),(yxf=)()(yfxfYX几乎处处成立，则称X,Y相互独立。例：设二维随机变量（X，Y）的概率密度函数为：其它,00,0,),()2(yxceyxfyx，求（1）确定常数c；（2）X,Y的边缘概率密7度函数；（3）联合分布函数F(x,y);(4)P{Y≤X};(5)条件概率密度函数)|(|yxfYX；（6）P{X2|Y1}.1)1()1,2(1}P{Y1}Y2,P{X1}Y|2P{X1)()6(.00,02)|(2)(),()|(0,0)5(;3122(2X}P{Y)4(.,00,0),1)(1(),(,00),(0,0)1)(1(22(2),(0,0)3(.,00,)(,2)(0,00,2)(22)(0,00,0,2),(2)2(2,121),()1(402|2|3020x0)2(2002)2(0002)2(0)2(22)2(0)2(0200)2(00eFFedyeyFyxeyxfeyfyxfyxfyxdxeedxdyeyxeeyxFdxdyyxFyx