1奥数等差数列讲义

青年干部既要会干，更要干好，既要继承经验，又要勇于创新，面对发展中的新问题要着力培养创新思维、辩证思维去看待解决，在解决问题中增长实干本领，努力做一名新时代中国特色社会主义事业的建设者和接班人。等差数列一、课前热身找出规律后填出下面数列中括号里的数：(1)1，3，5，7，()，11，13，()，…(2)1，4，7，10，()，16，19，…(3)1，3，6，10，15，()，28，…(4)l，2，4，5，7，8，()，()，…(5)5，7，11，19，35，()，131；259，…二、准备知识：1、数列定义：（1）1，2，3，4，5，6，7，8，…(等差)（2）2，4，6，8，10，12，14，16，…(等差)（3）1，4，9，16，25，36，49，…(非等差)⒈数列的定义：若干个数按一定次序进行排列的一列数，叫做数列.数列中的每一个数称为一项，其中第一个数称为首项，第二个数叫做第二项……以此类推，最后一个数叫做这个数列的末项，数列中数的个数称为项数，如：2，4，6，8，……，100。注意：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；2、等差数列：从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。我们将后项与前项的差称为公差.na－1na=d，（n≥2，n∈N），后一项减前一项为一定值，我们把这个定值叫公差，用d表示。例如：等差数列：3、6、9……96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的数列。青年干部既要会干，更要干好，既要继承经验，又要勇于创新，面对发展中的新问题要着力培养创新思维、辩证思维去看待解决，在解决问题中增长实干本领，努力做一名新时代中国特色社会主义事业的建设者和接班人。2练习:1、3、6、9、12……75，这是一个首项为()，末项为()，项数为()，公差为()的数列。2、下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由.①6，10，14，18，22，…，98；()②1，2，1，2，3，4，5，6；()③1，2，4，8，16，32，64；()④9，8，7，6，5，4，3，2；()⑤3，3，3，3，3，3，3，3；()⑥1，0，1，0，l，0，1，0；()3、计算等差数列的相关公式：等差数列的通项公式（每一项都可用通项公式来表示）：dnaan)1(1（1）末项公式：第几项(末项)＝首项＋（项数－1）×公差（2）项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1（3）求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2在等差数列中，如果已知首项、末项、公差。求总和时，应先求出项数，然后再利用等差数列求和公式求和。数列的前n项和：数列na中，naaaa321称为数列na的前n项和，记为nS.求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2=等差中项×项数等差数列的前n项和公式1：2)(1nnaanS等差数列的前n项和公式2：2)1(1dnnnaSn二．例题精讲例1、认识数列：等差数列:3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。等差数列青年干部既要会干，更要干好，既要继承经验，又要勇于创新，面对发展中的新问题要着力培养创新思维、辩证思维去看待解决，在解决问题中增长实干本领，努力做一名新时代中国特色社会主义事业的建设者和接班人。3例2、有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项提示仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差都是3，所以这是一个以4为首项，以公差为3的等差数列，根据等差数列的项数公式即可解答。解：由等差数列的项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,可得,项数=(25-4)÷3+1=8,所以这个数列共有8项。练习：1、有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。2、有一个数列:5,8,11,…,92,95,98,这个数列共有多少项?3、在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项?例3、有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？提示：仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差等于5，所以这是一个以2为首项，以公差为5的等差数列，根据等差数列的通项公式即可解答解：由等差数列的通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差,可得,第100项=2+(1OO-1)×5=497,所以这个等差数列的第100项是497。练习：1、求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。2、求等差数列2,5,8,11,…的第100项。青年干部既要会干，更要干好，既要继承经验，又要勇于创新，面对发展中的新问题要着力培养创新思维、辩证思维去看待解决，在解决问题中增长实干本领，努力做一名新时代中国特色社会主义事业的建设者和接班人。43.一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少?例4、计算2+4+6+8+…+1990的和。提示：仔细观察数列中的特点，相邻两个数都相差2，所以可以用等差数列的求和公式来求。解：因为首项是2,末项是1990,公差是2,昕以,项数=(1990-2)÷2+1=995,再根据等差数列的求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2,解出2+4+6+8+…+1990=(2+1990)×995÷2=。练习：1.计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。2、计算5+10+15+20+……+190+195+200的和。3、计算100+99+98+…+61+60的和例5、计算（1+3+5+…+l99l)-（2+4+6+…+1990）提示：仔细观察算式中的被减数与减数，可以发现它们都是等差数列相加，根据题意可以知道首项、末项和公差，但并没有给出项数，这需要我们求项数，按照这样的思路求得项数后，再运用求和公式即可解答。解：被减数的项数=(1991-1)÷2+1=996，所以被减数的总和=(1+1991)×996÷2=;减数的项数=(l990-2)÷2+1=995,所以减数的总和=(2+1990)×995÷2=.所以原式=-=996。等差数列青年干部既要会干，更要干好，既要继承经验，又要勇于创新，面对发展中的新问题要着力培养创新思维、辩证思维去看待解决，在解决问题中增长实干本领，努力做一名新时代中国特色社会主义事业的建设者和接班人。5练习：1、计算(1+3+5+7+…+2003)-(2+4+6+8+…+2002)2、计算(2+4+6+…+100)-(1+3+5+…+99)3、计算(2OO1+1999+1997+1995)-(2OOO+1998+1996+1994)。例6、已知一列数：2,5,8,11,14，…，80，…，求80是这列数中第几个数。提示：仔细观察这列数可以发现，后项与其相邻的前项之差等于3，所以这是一个以2为首项，以公差为3的等差数列，求80是这列数中第几个数，实际上是求该数列的项数。解：这列数的首项是2,末项是80,公差是3,运用公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,即(80-2)÷3+1=27,所以80是该数列的第27项。练习：1.有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,…,求第12个数是多少。2、有一列数是这样排列的:2,11,20,29,38,47,56,…,求785是第几个数。青年干部既要会干，更要干好，既要继承经验，又要勇于创新，面对发展中的新问题要着力培养创新思维、辩证思维去看待解决，在解决问题中增长实干本领，努力做一名新时代中国特色社会主义事业的建设者和接班人。63、在等差数列6,13,20,27,…中,从左到右数第几个数是1994?例7、全部三位数的和是多少？分析：：所有的三位数就是从100~999共900个数，观察100、101、102、……、998、999这一数列，发现这是一个公差为1的等差数列。要求和可以利用等差数列求和公式来解答。练习：求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。例8、求自然数中被10除余1的所有两位数的和。分析一：在两位数中，被10除余1最小的是11，最大的是91。从题意可知，本题是求等差数列11、21、31、……、91的和。它的项数是9，我们可以根据求和公式来计算。解一：11+21+31+……+91=（11+91）92=459分析二：根据求和公式得出等差数列11、21、31、……91的和是459，我们可以求得这等差数列青年干部既要会干，更要干好，既要继承经验，又要勇于创新，面对发展中的新问题要着力培养创新思维、辩证思维去看待解决，在解决问题中增长实干本领，努力做一名新时代中国特色社会主义事业的建设者和接班人。79个数的平均数是4599=51，而51恰好是这个等差数列的第五项，即中间的一项(称作中项)，由此我们又可得到S=中项n，但只能是项数是奇数时，等差数列有中项，才能用中项公式计算。解二：11+21+31+……+91=519=459求不超过500的所有被11整除的自然数的和。例9、求下列方阵中所有各数的和：1、2、3、4、……49、50；2、3、4、5、……50、51；3、4、5、6、……51、52；……49、50、51、52、……97、98；50、51、52、53、……98、99。分析一：这个方阵的每一横行（或竖行）都各是一个等差数列，可先分别求出每一横行（或竖行）数列之和，再求出这个方阵的和。解一：每一横行数列之和：第一行：（1+50）502=1275第二行：（2+51）502=1325第三行：（3+51）502=1375……第四十九行：（49+98）502=3675第五十行：（50+99）502=3725方阵所有数之和：1275+1325+1375+……+3675+3725=（1275+3725）502=分析二：观察每一横行可以看出，从第二行起，每一行和都比前一行多50，所以可以先青年干部既要会干，更要干好，既要继承经验，又要勇于创新，面对发展中的新问题要着力培养创新思维、辩证思维去看待解决，在解决问题中增长实干本领，努力做一名新时代中国特色社会主义事业的建设者和接班人。8将第一行的和乘以50，再加上各行比第一行多出的数，这样也能求得这个方阵所有数的和。解二：（1+50）50250=6375050（1+2+3+……+49）=50【（1+49）492】=6125063750+61250=答：这个方阵的和是例10、若干人围成16圈，一圈套一圈，从外向内圈人数依次少6人，如果共有912人，问最外圈有多少人？最内圈有多少人？分析：从已知条件912人围成16圈，一圈套一圈，从外到内各圈依次减少6人，也就是告诉我们这个等差数列的和是912，项数是16，公差是6。题目要求的是等差数列末项an-a1=d(n-1)=6(16-1)=90(人)解：an+a1=S2n==114（人）外圈人数=（90+114）2=102（人）内圈人数=（114-90）2=12（人）答：最外圈有102人，最内圈有12人。一、填空题（每小题5分）等差数列青年干部既要会干，更要干好，既要继承经验，又要勇于创新，面对发展中的新问题要着力培养创新思维、辩证思维去看待解决，在解决问题中增长实干本领，努力做一名新时代中国特色社会主义事业的建设者和接班人。91、有一串数，已知第一个数是6，而后面的每一个数都比它前面的数大4，这串数中第2003个数是。2、等差数列0、3、6、9、12、……、45是这个数列的第项。从2开始的连续100个偶数的和是。3、一个剧院共有25排座位，从第一排起，以后每排都比前一排多2个座位，第25排有70个座位，这个剧院共有个座位。4、所有除以4余1的三位数的和是。6、时钟在每个整点敲该钟点数，每半点钟敲一下，一昼夜这个时钟一共敲下。7、一个五层书架共放了600本书，已知下面一层都比上面一层多10本书。最上面一层放本书，最下面一层放本书。8、从200到500之间能被7整除的各数之和是。青年干部既要会干，更要干好，既要继承经验，又要勇于创新，