第2章-1.波函数及薛定谔方程(1)详解

§2.1波函数的统计解释§2.2态迭加原理§2.5薛定谔方程§2.7能量本征方程§2.8能量本征态的一般性质§2.3动量分布概率§2.4力学量的平均值§2.6定域的概率守恒第二章波函数与薛定谔方程§2.9波函数的标准条件§2.10阶梯形方势§2.11谐振子§2.1波函数的统计解释返回（一）波函数（二）波函数的解释（三）波函数的性质（四）自由粒子的波函数一、波函数问题:(1)是怎样描述粒子的状态呢？(2)如何体现波粒二象性的？(3)描写的是什么样的波呢？微观粒子波粒二象性矛盾的分析观点一:电子波应理解为电子的某种实际结构,即电子是无限多波长不同的平面波叠加而成的波包,波包的大小即电子的大小,波包的群速度即电子的运动速度.考虑沿x方向运动的自由粒子,其平面波为tkxiexpAt,x等相面:相速u满足关系:kudtdxkudtdxkdtd,0ctkx1.单个平面波情况：在非相对论情况下,用德布罗意关系代入自由粒子的能量—动量关系mpE22222k,mk真空中的相速度是k的函数vcmvmcpEkku22结论：物质波的相速大于真空中的光速,所以它不能与设定粒子的速度相同.cu可得:平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小≈1Å。电子衍射动画波包是不同波长和相速的一些简谐波的叠加.为简单起见,这里研究一群沿x方向传播的波:-exp21,dktkxiktx波包中心将出现在相角=kx-(k)t取极值处,因为在这点附近,不同波数的分波相干叠加而加强得最厉害,而不是相消.这个极值点的位置用下式确定：0k0tdkdx即所以波包中心位置是tdkdxxc2.有限波包：物质波包的群速度为mpmkdkdvg波包形状随时间的改变：设(k)是一个很窄的波包,波数集中在k0附近一个不大范围中.在k0附近对(k)作泰勒级数展开2022000021kkdkdkkdkdkkkktxkiexpt,xCdktkkvkxiexpktiexpt,xg0000tvxtvxkktxCggsin2,0mpmkkmkku221)2(2cuvg2由于正弦的幅角含有小量,C(x,t)只是随时间t和坐标x缓慢地变化.所以,我们能把C(x,t)当作近似单色波的振幅,而把k0x-(k0)t作为单色波的相.把振幅的分子和分母都乘以k,并简记为z=kx-vgt,容易看到,振幅的变化取决于因子,它有性质,,zzzzsin3001-20-15-10-505101520-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0图2.2.1波包:一些快速振动波的叠加迄今,我们忽略了(k)级数展开中高于一阶的项,这仅当介质无色散的时候才是允许的.因为物质波在真空中也出现色散0022kdkd这暗示波包不保持其形式,而是逐渐地扩展.随时间的演化,电子将愈变愈“胖”,这与实验是矛盾的.观点二:波动性是由于有大量的电子分布于空间而形成的象声波一样的疏密波,即电子疏密相间分布而形成的纵波.结论：这种看法是与实验矛盾的原因：它不能解释长时间单个电子衍射实验---单个电子就具有波动性.证明1：单电子衍射电子一个一个的入射，经过足够长的时间，在屏幕上形成衍射图样。波由粒子组成,如，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。证明2：正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。错误的根源：波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。观点三:电子既是粒子,也是波,是粒子和波动两象性的统一.不过,这儿的波不再是经典概念下的波,粒子也不再是经典概念下的粒子.电子所显现的粒子性总是以具有一定的质量、电荷等属性的客体出现,但并不与“粒子有确切的轨道”的概念有什么必然联系.电子显现出的波动性,也只不过是波动性中最本质的东西——波的“相干叠加性”,并不一定要与某种实际的物理量在空间的分布联系在一起.把微观粒子的“粒子性”与波的“相干叠加性”统一起来是玻恩提出来的几率波.1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性2.有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度1.实在的物理量的空间分布作周期性变化2.干涉、衍射现象，即相干叠加性（2）Born波函数的统计解释几率波我们再看一下电子的衍射实验经典概念中粒子：经典概念中波：大量电子一次入射,立即在屏幕上形成衍射图样。方法一方法二电子一个一个的入射，经过足够长的时间，在屏幕上形成同样的衍射图样。1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样;电子源感光屏QQOPP2.入射电子流强度大，很快显示衍射图样.在电子衍射实验中，照相底片上r点附近衍射花样的强度正比于该点附近感光点的数目正比于该点附近出现的电子数目正比于电子出现在r点附近的几率。结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，Born提出了波函数意义的统计解释。波动性观点：亮处—到达该处电子波的强度大暗处—到达该处电子波的强度小粒子性观点：亮处—单位时间内到达该处的电子数多暗处—单位时间内到达该处的电子数少统计的观点：亮处—电子到达该处的概率大暗处—电子到达该处的概率小二、几率波，多粒子系的波函数)(expEtrpiA描写自由粒子的平面波),(tr•如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：描写粒子状态的波函数，它通常是一个复函数。称为deBroglie波。此式称为自由粒子的波函数。波函数的解释：描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运动的一种统计规律性，波函数Ψ(r)有时也称为几率幅。这就是首先由Born提出的波函数的几率解释，它是量子力学的基本原理。假设衍射波波幅用Ψ(r)描述，与光学相似，衍射花的强度则用|Ψ(r)|2描述，但意义与经典波不同。|Ψ(r)|2的意义是代表电子出现在r点附近几率的大小，确切的说，|Ψ(r)|2ΔxΔyΔz表示在r点处，体积元ΔxΔyΔz中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅绝对值平方）和在这点找到粒子的几率成比例波函数的几点讨论：（1）几率和几率密度根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：在t时刻，dτ=dxdydz体积内，找到由波函数Ψ(r,t)描写的粒子的几率是：dW(r,t)=C|Ψ(r,t)|2dτ，C是比例系数。在t时刻r点，单位体积内找到粒子的几率是：ω(r,t)={dW(r,t)/dτ}=C|Ψ(r,t)|2为几率密度。在t时刻，体积V内找到粒子的几率为：W(t)=∫VdW=∫Vω(r,t)dτ=C∫V|Ψ(r,t)|2dτ（2）平方可积由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：C∫∞|Ψ(r,t)|2dτ=1,从而得常数C之值为：C=1/∫∞|Ψ(r,t)|2dτ这即是要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。∫∞|Ψ(r,t)|2dτ∞,则C0,这是没有意义的。)(exp),(EtrpiAtr注意：自由粒子波函数•不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问题，以后再予以讨论。（3）归一化波函数Ψ(r,t)和CΨ(r,t)所描写状态的相对几率是相同的，这里的C是常数。因为在t时刻，空间任意两点r1和r2处找到粒子的相对几率之比是：221221)t,r()t,r()t,r(C)t,r(C可见，Ψ(r,t)和CΨ(r,t)描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即Ψ(r,t)和CΨ(r,t)描述同一状态若Ψ(r,t)没有归一化，∫∞|Ψ(r,t)|2dτ=A（A是大于零的常数），则有∫∞|(A)-1/2Ψ(r,t)|2dτ=1注意：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性。若Ψ(r,t)是归一化波函数，那末，exp{iα}Ψ(r,t)也是归一化波函数（其中α是实数），与前者描述同一几率波。(A)-1/2Ψ(r,t)是归一化的波函数，与Ψ(r,t)描写同一几率波，(A)-1/2称为归一化因子。这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的2倍），则相应的波动能量将为原来的4倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。1、波函数描写微观粒子的量子状态，表示粒子出现的概率大小。而当一粒子处于一个已知的量子状态时，粒子的力学量如坐标、动量、角动量等将如何描述？它们的值怎么确定？一、引言2、微观粒子的波粒二象性决定了它们的描述方式与经典力学中描述不一样（波函数的统计解释）。实际波粒二象性还通过另一个基本原理——态叠加原理体现二、态叠加原理§2.2态叠加原理图2.4.1电子双缝衍射示意图2122221212122212212第三、四项为干涉项,衍射花样的产生证实了干涉项的存在.21经典物理：描写光波、声波的状态函数都遵从叠加原理！量子物理：状态函数是否也都遵从叠加原理？21ba？22212叠加态含义：当粒子处于和态的线性叠加态时，粒子是既处于态又处于态。2112态叠加原理：如果和是体系可能的状态，那么它们的线性叠加也是体系的一个可能状态21注意：3、态迭加原理是与测量密切联系在一起的一个基本原理.1、几率幅（态函数）遵守叠加的规则,而几率不遵从叠加的规则.2、这里所谓干涉是一个电子的两个态之间的干涉,而不是两个电子之间的干涉.1121niiniiic,c推广到更一般情况下：其中：系数可以为复数！！！)t,r()p()t,r(pp2、按照态叠加原理，粒子处在r处的状态应该是各种动量p运动的状态的线性叠加：由于出射粒子出射动量连续变化则)Etrp(iexp)t,r(p2321）（pdeptrrpi323)()2(1),(1、电子在晶体表面反射后，可能以各种不同的动量运动（对应不同的出射角度）。以动量p运动的状态§2.3动量分布几率pde)t,p()()t,r(rpi32321xde)t,r()()t,p(rpi32321说明：任何波函数都可以看作是各种不同动量平面波的迭加)t,r(四、与有一一对应关系)t,r()t,p(pdnhdnsinn衍射角θn与动量p之间有确定联系.pnn而沿出射波的波幅f(θ)应该正比入射波中动量相应分波的波幅(p),因而沿方向衍射波强度正比于|f(θ)|2,也正比于|(p)|2.1、在衍射过程中,波长未改变,即粒子的动量大小未改变.因而衍射谱的分布反映了衍射前粒子动量的分布.测出衍射角,就等于测出了粒子的动量,即晶体衍射实验可作为测量粒子动量的装置.1)(32pdp3、两者的区别仅在于：(r)是以坐标为自变量,称为坐标表象的波函数,而(p)