第10讲-阶跃响应与冲激响应

本章首先建立连续时间LTI系统的数学模型---常系数线性微分方程。然后，复习微分方程经典解法，即先求齐次解和特解，再由初始条件求待定系数。为了理解系统响应的物理特性，将系统的全响应分解为零输入响应和零状态响应。仅由起始状态引起的零输入响应，可通过求解齐次微分方程得到；零状态响应的求解则用卷积方法。冲激响应和阶跃响应是两种很重要的零状态响应，在求解系统响应和进行系统特性分析都起到了很重要的作用。第2章系统的时域分析---导读本章主要内容2.1连续LTI系统的数学模型2.2经典的微分方程的求解方法2.3零状态响应和零输入响应2.4系统的冲激响应和阶跃响应2.5离散LTI系统的模型与求解第10讲系统的冲激响应和阶跃响应第10讲系统的冲激响应和阶跃响应冲激响应与阶跃响应定义冲激响应与阶跃响应的一般求解方法冲激响应的另一种求解方法二阶系统的冲激响应与阶跃响应冲激响应的应用冲激响应与阶跃响应的重要性冲激响应与阶跃响应都是零状态响应。冲激信号和阶跃信号是两种典型的基本信号，由这两种信号引起的零状态响应是线性系统分析中的典型问题。由于任意信号都可以分解为冲激信号和阶跃信号的组合，可借助冲激响应和阶跃响应，通过卷积积分求系统对任意信号的零状态响应。冲激响应和系统函数与系统的稳定性有直接关系。工程上常用二阶系统的阶跃响应的性能指标来评价一个系统的性能。冲激响应的定义)(tt0)(tht0)(t)(th起始状态为零连续LTI系统系统在单位冲激信号作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。阶跃响应的定义LTI系统在零状态下，由单位阶跃信号引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为s(t)。阶跃响应与冲激响应的关系根据系统的微分、积分特性，则ttsthd)(d)(thtsd)()(冲激响应与阶跃响应的求解方法()ft()t()t()()()()()nftthtgtft()()()()()nfttstgtft根据零状态响应求解的一般方法：将上式中的分别换成和即2()()()zsytftgt由于单位冲激响应与单位阶跃响应是在特殊激励下的零状态响应冲激响应与阶跃响应的求解方法)(')(6)('5)(''tftytyty23232()()()()()ttttgteteteet)(tf)('t23322()()()()()'()(32)()tttthtgtfteetteet)(tf)(t23232()()()()()()()()ttttstgtfteetteet例：二阶系统的微分方程为解特征函数为对冲激响应，强迫函数为则冲激响应为对阶跃响应，强迫函数为则阶跃响应为求其冲激响应和阶跃响应。冲激响应另一种求解方法()t0t()ht()t0t0t()htn1()[]()intiihtAet()tiA•由于激励信号的特殊性，及其各阶导数在时都为零，于是的形式应与齐次解的形式相同并且不包含特解。加入系统并在系统的储能变化从而引起响应，所以，也必然和系统的零输入响应有相同的形式。设系统的特征方程共有个不相等的特征根，则利用微分方程两端及其各阶导数对应平衡来求出系数以后激励将不存在，冲激信号只引起22()()()43()2()dytdytdftytftdtdtdt()ht2'2()()43()()2()dhtdhthtttdtdt121,3312()()()tthtAeAet'31212()(3)()()()tthtAeAetAAt'''3121212()()()(3)()(9)()tthtAAtAAtAeAet()ht()ht()ht()t()t1211,22AA31()()()2tthteet已知微分方程为，求冲激响应解：微分方程变为特征根为将、代入微分方程，并比较方程两边和可求出则冲激响应为冲激响应另一种求解方法的系数，将系统模型中的y(t)和f(t)分别用h(t)和(t)代替：下面分别就n和m的大小情况进行讨论（假设特征根均为单根）)(d)(d)(d)(dd)(d00111tbttbthatthatthmmmnnnnn冲激响应另一种求解方法1）当nm，假如h(t)含有(t)，则h(n)(t)必包含(n)(t)，因此h(t)不包含(t)，即：)()(1tecthnitii2）当n=m，假如h(t)含有(t)的导数项，则等式左端的(t)导数阶数必高于右端，因此h(t)仅包含(t)，即：3）当nm，此时h(t)不仅含有(t)，还含有(t)的导数项，假设n+1=m，则：)()()(1tBtecthnitii)()()()(011tBtBtecthnitii冲激响应另一种求解方法解：根据h(t)的定义有h”(t)+5h’(t)+6h(t)=(t)（1）因方程右端有(t)，利用(t)函数平衡法。解法一：h’(0-)=h(0-)=0先求h’(0+)和h(0+)。h”(t)中含(t)，h’(t)含(t)因此h’(0+)≠h’(0-)，h(t)在t=0连续，即：h(0+)=h(0-)=0h’(0+)=1+h’(0-)=1例1描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应h(t)。微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为:h(t)=C1e-2t+C2e-3t，t0对t0时，有h”(t)+5h’(t)+6h(t)=0代入初始条件求得C1=1,C2=-1故系统的冲激响应为此方程的齐次解。所以h(t)=(e-2t-e-3t)(t)例1描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应h(t)。解法二：因为nm,特征根为-2，-3，所以冲激响应为：h(t)=(C1e-2t+C2e-3t)(t)（1）求导：h’(t)=(C1+C2)(t)+(-2C1e-2t-3C2e-3t)(t)h’’(t)=(C1+C2)'(t)+(-2C1-3C2)(t)+(4C1e-2t+9C2e-3t)(t)将h(t)、h’(t)和h’’(t)代入式(1)：(C1+C2)'(t)+(3C1+2C2)(t)=(t)比较方程2端系数：(C1+C2)=0(3C1+2C2)=1求得C1=1,C2=-1,所以：h(t)=(e-2t-e-3t)(t)一阶系统的冲激响应()()()()ytaytbtft则冲激响应：taatbthty0de)(e)()()(etbat一阶微分方程为一阶系统的阶跃响应()()()()ytaytbtft则阶跃响应：taatbtsty0de)(e)()()(ε)e1(tabat一阶微分方程为例求图示一阶系统冲激响应h(t)=uC(t)解)(1)(1)(CCtRCtuRCtu)(e1de)(1e)()(0CtRCRCthtuRCttRCRCt所以二阶系统的冲激响应与阶跃响应tCitRcUtL1(1)413RLHCF(2)211RLHCF(3)111RLHCF(4)011RLHCF'''11()()()()CCCRutututtLLCLC系统如图所示，讨论以下4种情况下的冲激响应与阶跃响应系统的微分方程为二阶系统的冲激响应与阶跃响应（1）过阻尼下，代入元件数值'''()4()3()3()CCCutututt121332()()3()()1.5ttChtuttgteet2()11.50.5ttsteet特征根为O()st1t二阶系统的冲激响应与阶跃响应（2）临界阻尼下，代入元件数值'''()2()()()CCCutututt1212()()()()()ttChtuttgtttettet()1ttstetet特征根为()st1Ot二阶系统的冲激响应与阶跃响应（3）欠阻尼下，代入元件数值'''()()()()CCCutututt11322j21322j223()()()()sin()23tChtuttgtett223()1sin6023tstett特征根为O()st1t二阶系统的冲激响应与阶跃响应特征根为（4）无阻尼下，代入元件数值''()()()CCututt11j21j2()()()()sinChtuttgttt()1cosstttO()stt1阶跃响应的测量二阶系统的冲激响应与阶跃响应的实际测量任意信号作用下的零状态响应-)d-(t)(f(t)h(t)(t-)-)d-(t)(hf)(tf)()(thtff()(t-)f()h(t-)h(t-)LTI系统零状态激励响应冲激响应（时不变性）（齐次性）（可加性）零状态响应‖‖()zsyt一线性非时变系统的冲激响应为h(t)=et(t)，激励为f(t)=(t-1)，求系统的零状态响应。解：te010()*()()ddttththe(1)zs1()[1](1)tytet根据卷积的时移性质：)1(1te任意信号的零状态响应)()()(ttftf-)d-(t)(f(t)s(t)(t-)-()(t-)dfs)(tf()()()zsytftstf'()(t-)f'()s(t-)s(t-)LTI系统零状态激励响应阶跃响应：（时不变性）（齐次性）（可加性）零状态响应：‖‖思考与练习()t3()tet()t1.一个起始储能为零的系统，当输入为时，系统的响应为则当输入为时，系统的响应为（）。2()(1)(),tstet22()(1)()ttzsytetet()ft2.某线性时不变系统的阶跃响应为使其零状态响应为，其输入激励信号应该为（）。思考与练习()()ftt2()tet()()ftt()t一LTI系统起始状态不变，当输入=时，全响应为,当输入时，全响应为.求冲激响应、阶跃响应、零输入响应。、解：由题意得：()()2()(1)()()()(2)tziziytstetythtt()()()2()tziziytyttet()[()]*[()2()]()()2()()()()()()tttzittttytettetetstetetethttet