高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(生)

1/24高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(生)1《数学》必会基础题型——《平面向量》【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1.向量既有大小又有方向的量。记作或a。2.向量的模向量的大小或长度记作||AB或||a。3.单位向量长度为1的向量。若e是单位向量则。4.零向量长度为0的向量。记作。【0方向是任意的且与任意向量平行】5.平行向量共线向量方向相同或相反的向量。6.相等向量长度和方向都相同的向量。7.相反向量长度相等方向相反的向量。。8.三角形法则2/24ABBCCDDEAEABACCB指向被减数9.平行四边形法则以,ab为临边的平行四边形的两条对角线分别为。10.共线定理。当时与同向当时与反向。11.基底任意不共线的两个向量称为一组基底。12.向量的模若则22||2||13.数量积与夹角公式||||3/24ab14.平行与垂直题型1.基本概念判断正误1共线向量就是在同一条直线上的向量。2若两个向量不相等则它们的终点不可能是同一点。3与已知向量共线的单位向量是唯一的。4四边形ABCD是平行四边形的条件是ABCD。5若ABCD则A、B、C、D四点构成平行四边形。6因为向量就是有向线段所以数轴是向量。4/247若a与b共线与c共线则a与c共线。8若mamb则ab。29若mana则mn。10若a与b不共线则a与b都不是零向量。11若则//ab。12若||||则。题型2.向量的加减运算1.设a表示“向东走8km”,b表示“向北走6km”,则5/24。2.化简()()。3.已知则||AB的最大值和最小值分别为、。4.已知ACABAD为与的和向量且则AD。5.已知点C在线段AB上且35则。题型3.向量的数乘运算1.计算6/242.已知则132。题型4.作图法球向量的和已知向量,如下图请做出向量132和322。7/24ab题型5.根据图形由已知向量求未知向量1.已知在ABC中D是BC的中点请用向量ABAC表示AD。2.在平行四边形ABCD中已知求ABAD和。题型6.向量的坐标运算1.已知A则点B的坐标是。2.已知则点Q的坐标是。3.若物体受三个力18/24则合力的坐标为。34.已知求。5.已知(1,2),(3,2)AB,向量与AB相等求,xy的值。6.已知(2,3)则。7.已知O是坐标原点且求OC的坐标。题型7.判断两个向量能否作为一组基底9/241.已知12,ee是平面内的一组基底判断下列每组向量是否能构成一组基底A.1212和和4C.12213和和2.已知(3,4)能与a构成基底的是A.34(,)55B.43(,)55C.34(,)55D.4(1,)10/243题型8.结合三角函数求向量坐标1.已知O是坐标原点点A在第二象限求OA的坐标。2.已知O是原点点A在第一象限||4求OA的坐标。题型9.求数量积1.已知且a与b的夹角为求211/2431()2。2.已知(2,6),(8,10)求3(2)aab4(2)(。12/24题型10.求向量的夹角1.已知求a与b的夹角。2.已知求a与b的夹角。3.已知(1,0)求。4题型11.求向量的模1.已知且a与b的夹角为求。2.已知(2,6),(8,10)求13/24||2。3.已知求。题型12.求单位向量【与a平行的单位向量a14/24ea】1.与(12,5)平行的单位向量是。2.与1(1,)2平行的单位向量是。题型13.向量的平行与垂直1.已知当m为何值时15/242.已知(1,2)k为何值时向量与垂直2k为何值时向量与平行3.已知a是非零向量且求证。题型14.三点共线问题1.已知(0,2)求证三点共线。16/242.设2(5),28,3()2求证、、三点共线。53.已知则一定共线的三点是。4.已知(1,3)若点在直线AB上求a的值。5.已知四个点的坐标(0,0)是否存在常数使成立17/24题型15.判断多边形的形状1.若3且则四边形的形状是。2.已知(1,0)证明四边形ABCD是梯形。3.已知(2,1)求证是直角三角形。4.在平面直角坐标系内18/24求证是等腰直角三角形。题型16.平面向量的综合应用1.已知(1,0)当k为何值时向量与平行2.已知且ab求b的坐标。3.已知ab与同向则10求a的坐标。3.已知(1,2)19/24则。4.已知(5,10)请将用向量,ab表示向量c。5.已知(,3)若a与b的夹角为钝角求m的范围2若a与b的夹角为锐角求m的范围。20/246.已知当m为何值时与b的夹角为钝角与b的夹角为锐角7.已知梯形ABCD的顶点坐标分别为(1,2)且求点C的坐标。68.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为求第四个顶点D的坐标。9.一航船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶航船实际航行方向与水流方向成30角求水流速度与船的实际速度。10.已知ABC三个顶点的坐标分别为(3,4)A(0,0)B(,0)Cc1若021/24求c的值若求sinA的值。【备用】1.已知||3,||4,||5求和向量,ab的夹角。2.已知xab且求,xy的夹角的余弦。1.已知(1,3),(2,1)则。22/244.已知两向量(3,4),(2,1)求当与垂直时的x的值。5.已知两向量(1,3),(2,)与的夹角为锐角求的范围。变式若与的夹角为钝角求的取值范围。选择、填空题的特殊方法1.特例法例《全品》。因为M,N在AB,AC上的任意位置都成立所以取特殊情况即M,N与B,C重合时可以得到1。2.代入验证法例已知向量(1,1),(1,1),(1,2)则23/24A.1322222222变式已知(1,2),(1,3),(1,2)请用,ab表示c。3.排除法例已知M是ABC的重心则下列向量与AB共线的是A.AMMBBC24/24B.3AMACC.ABBCACD.AMBMCM