2.4.1-等比数列(1)

实例1：有一种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，···，那么细胞分裂而成的个数依次是1，2，4，8，….一、问题创设实例2：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。如果将“一尺之棰”视为一份，那么每日剩下的部分依次为一、问题创设111112481632，，，，，实例3：许总年初在澄中对面的一家奶茶店投资30000元，如果年收益率是5%，那么按照复利，5年内各年末的本利和依次为25300001.05,300001.05,,300001.05思考：以上三个数列，每个数列相邻两项之间有什么关系？这三个数列有什么共同的特点？数列①从第2项起,每一项与它前一项的比都等于____数列②从第2项起,每一项与它前一项的比都等于____数列③从第2项起,每一项与它前一项的比都等于____21.05特点：从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一常数（等比）1，2，4，8，….111112481632，，，，，25300001.05,300001.05,,300001.05一、问题创设一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数就叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。等差数列概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的都等于同一常数，那么这个数列叫做，这个常数叫做数列的，通常用字母表示。比等比数列等比公比类比思考：用数学符号语言（递推公式）怎样表示等比数列的定义呢？一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数就叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。1、等比数列的定义：或(q≠0)等比数列的每一项都不为0，即an≠0。二、基础知识讲解练习1：下列数列是等比数列吗？是的话，请指出它们的公比q.是，q=1/2是，q=-1不是不一定是思考1：已知等比数列{an}，(1)a1能不能是零？(2)公比q能不能是1？不能能练习1：下列数列是等比数列吗？是的话，请指出它们的公比q.思考2：在等比数列中，各项的符号与公比q有什么关系？若q0，则各项的符号与a1相同；若q0，则各项的符号正负相间.是，q=1/2是，q=-1不是不一定是练习1：下列数列是等比数列吗？是的话，请指出它们的公比q.是，q=1/2是，q=-1不是不一定是思考3：什么样的数列既是等差数列，又是等比数列？非零的常数列练习2：能否在下列两个数中间插入一个数，使这三个数组成一个等比数列？可以的话，请求出插入的数字(1)12,,0(2)2,,8(3)3,,3(4)6,,1.543如果在a与c中间插入一个数b，使a，b，c组成一个等比数列，则中间的数b叫做a与c的等比中项，且注意：(1)若实数a、c有等比中项，则a、c符号相同；(2)若实数a、c有等比中项，则该等比中项必有两个值若b2=ac，则a，b，c一定成等比数列吗？若三个数为x，2x+2，3x+3成等比数列，则x=__-42、等比中项：二、基础知识讲解∵n=1时上式仍成立21,aaq11(*)nnaaqnN32aaq21aq43aaq31aq即通项公式为:分析：依等比数列的定义有不完全归纳法思考：等比数列{an}首项是a1，公比是q，如何表示an？11nnaaq叠加法等差数列{an}，公差为d2132431(1)...nnaadaadaadnaad个1(1),(2)naandn等比数列思考：等比数列{an}首项是a1，公比是q，如何表示an？1111,nnnnaqaaqa即∵n=1时上式仍成立n－1个32124123321nnnnnnaaaaaaaaaaaa思考：等比数列{an}首项是a1，公比是q，如何表示an？分析：依等比数列的定义有1nq即通项公式为：an=a1qn-1叠乘法3、等比数列的通项公式：二、基础知识讲解an=a1qn-1求等比数列的通项公式关键是求出首项和公比1-2-4-8-1621-1,1-11求出下列等比数列的通项公式：，练，，；，，习：；1,,,444naqna通项公式含有这个量，如果已知三个量，第个量就是未知数，通项公式就是方程，解方程就可以求出第个量。即利用方程思想“知三求一”。把②的两边分别除以①的两边，得解：设这个等比数列的首项是a1，公比是q，那么①②例1、一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.设列求方程思想三、例题分析③把③代入①，得练习2：在等比数列{an}中，（1）a1=3，an=192，q=2，求n；（2）a3=12，a4=18，求a1和a2；（3）a3=48，a7=3，求a1和q；（4）a1+a2=3，a4+a5=24，求an；n=7an=2n-13、等比数列的通项公式：二、基础知识讲解an=a1qn-1注意：在用等比数列的通项公式求公比q时，应特别注意开方运算后q的符号！思考：我们知道，等差数列{an}满足下列公式（1）an=ak+(n-k)d；（2）若m+n=p+q，则am+an=ap+aq那么，等比数列是否也有类似的公式呢？在等比数列{an}中（1）an=akqn-k；（2）若m+n=k+l，则am·an=ak·al*(2,,),mmnknkN特别地，若在等比数列{an}中，若m+n=k+l，则am·an=ak·al2mnkaaa则二、基础知识讲解193711{}06420nnaaaaaaa例在等比数列中，，且，，求2：。3719376420aaaaaa依题意可解得：3377416164aaaa解得或3474416aqa当时，，411764aaq34716144aqa当时，，41171aaq三、例题分析(1)若a7·a12=5，则a8·a9·a10·a11=______.(2)在等比数列{an}中，若a3=4，a7=9，则a5=_______.(3)已知是等比数列，且an0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5=()A.5B.10C.15D.2025A6四、课时练习1.定义2.公比(差)3.等比(差)中项4.通项公式daann1q≠0d∈R等比中项abG2等差中项baA211nnqaadnaan)1(1等差数列qaann1等比数列四、课时小结1、课本P53A组第1题五、作业2、若lga，lgb，lgc成等差数列，则a，b，c成数列等比拓展：若a，b，c成等比数列，则lga，lgb，lgc是否一定成等差数列？不一定，只有当a，b，c都大于0才成立1、若2a，2b，2c成等比数列，则a，b，c成数列等差六、思考题