2.6--DTFT变换

信号和系统的分析方法有两种时域分析方法频率分析方法序列的频域分析z变换序列的傅里叶变换(离散时间傅里叶变换)2.6离散时间傅里叶变换（DTFT）（序列的傅里叶变换）模拟信号xa(t)的一对傅里叶变换式用下面公式描述()()1()()2jtaajtaaXjxtedtxtXjedt离散时间傅里叶变换（DTFT）的定义：[()]()()jjnnDTFTxnXexne正变换逆变换deeXnxeXIDTFTnjjj)(21)()]([上式的积分区间可以是(0,2π)或其他任何一个周期。X(ejω)是x(n)的频谱密度，简称为频谱，它是ω的复函数。()[()]jjnjmjnmXeedxmeed[()]()()jjnnDTFTxnXexnedeeXnxeXIDTFTnjjj)(21)()]([()()jnmmxmed()2()jnmednm1()()2jjnxnXeed)](Im[)]([)(jjejeXjeXReX)](arg[|)(|jeXjjeeX表示幅度谱|)(|jeX表示相位谱)](arg[jeXje)(jeX][eR]Im[是的实部，是的虚部)(jeX它们都是ω的连续、周期（周期为2π）的函数)(|)(jezeXzXj离散时间傅里叶变换是序列的z变换在单位园上的取值。x(n)的z变换：nnznxzX)()(()()jjnnXexnex(n)的DTFT：()nxn若序列x(n)满足绝对可和，即满足下式：此时，DTFT等号右边的级数一致收敛于)(jeX若序列x(n)满足平方可和，即满足下式：nnx2|)(|此时，DTFT等号右边的级数均方收敛于)(jeX例1设x(n)=RN(n)，求x(n)的DTFT解:NnRNnnN101|)(|10/2/2/2/2/2/2(1)/2()()1()1()sin(/2)sin/2NjjnjnNnnjNjNjNjNjjjjjNXeRneeeeeeeeeeNe级数一致收敛于)(jeX设N=4，幅度与相位随ω变化曲线如图所示:R4(n)的幅度与相位曲线例2设X(ejω)=DTFT［x(n)］,求x(-n)、x*(n)、x*(-n)的傅里叶变换。解：)()()()]([jmmjnnjeXemxenxnxDTFT令m=-n)(*]*)([)(*)](*[jnnjnnjeXenxenxnxDTFT)(*]*)([)(*)(*)](*[jmmjmmjnnjeXemxemxenxnxDTFT2.7序列傅里叶变换的性质1.DTFT的周期性(2)(2)()()()()jkjknjnjnnXexnexneXe因此序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。()()jjnnXexne2.线性1122()[()],()[()],jjXeFTxnXeFTxn那么设式中a,b为常数3.乘以指数序列)1()]([jneaXnxaDTFT1212[()()]()()jjDTFTaxnbxnaXebXex(n)乘以复指数序列，也称调制性4.时移与频移设X(ejω)=DTFT［x(n)］，那么0000([()]()[()]()jnjjnjFTxnneXeFTexnXe)5.时域卷积定理设y(n)=x(n)*h(n),则Y(ejω)=X(ejω)·H(ejω)证明：()()()()[()][()()]mjjnnmynxmhnmYeDTFTynxmhnme令k=n-m()()()()()()()jjkjmkmjkjmkmjjYehkexmehkexmeHeXe6.频域卷积定理设y(n)=x(n)·h(n)，()11()()*()()()22jjjjjYeXeHeXeHed()()1()()[()]21()()21()*()2jjjnnjjjjYeHexnedHeXedHeHe证明：()()()1()[()]2jjnnjjnjnnYexnhnexnHeede则7.帕斯维尔(Parseval)定理221()()2jnxnxed2*1()()211()()()22jjnnjjjXexnedXeXedXed证明：信号时域的总能量等于频域的总能量2**1()()()()[())]2jjnnnnxnxnxnxnXeed表1序列傅里叶变换的性质表2基本序列的傅里叶变换2.9DTFT的对称性若xe(n)=x*e(-n)称xe(n)为共轭对称序列。xo(n)=-x*o(-n)称xo(n)为共轭反对称序列。对于一般序列x(n)=xe(n)+xo(n)x*(-n)=xe*(-n)+xo*(-n)=xe(n)-xo(n)1()[()()]21()[()()]2eoxnxnxnxnxnxnx(n)=xe(n)+xo(n)也可将x(n)表示成实部和虚部的形式：x(n)=xr(n)+jxi(n)x*(n)=xr(n)-jxi(n)则xr(n)=(1/2)[x(n)+x*(n)]xi(n)=(1/2j)[x(n)-x*(n)]同理对于频域函数X(ejω)Xe(ejω)=X*e(e-jω)Xo(ejω)=-X*o(e-jω)X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)X*(e-jω)=Xe*(e-jω)+Xo*(e-jω)1()[()()]21()[()()]2jjjejjjoXeXeXeXeXeXe也可将X(ejω)写成实部和虚部的形式：X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω)X*(ejω)=XR(ejω)-jXI(ejω)则：XR(ejω)=（1/2）[X(ejω)+X*(ejω)]XI(ejω)=（1/2j）[X(ejω)-X*(ejω)]或jXI(ejω)=（1/2）[X(ejω)-X*(ejω)](a)将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)x(n)=xr(n)+jxi(n)x*(n)=xr(n)-jxi(n)则xr(n)=(1/2)[x(n)+x*(n)]xi(n)=(1/2j)[x(n)-x*(n)]将上式进行DTFT，得到)()]()([21)]}([)]([{21)]([**jejjreXeXeXnxDTFTnxDTFTnxDTFT而)()]()([21)]}([)]([{21)]([**jojjieXeXeXnxDTFTnxDTFTnjxDTFT)()()()()()(jojejireXeXeXnjxnxnx序列分成实部与虚部两部分，实部对应的DTFT具有共轭对称性，虚部和j一起对应的DTFT具有共轭反对称性。(b)将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)，即x(n)=xe(n)+xo(n)，x*(-n)=xe(-n)-xo(-n)1()[()()]21()[()()]2eoxnxnxnxnxnxn将上面两式分别进行DTFT，得到DTFT[xe(n)]=(1/2)[X(ejω)+X*(ejω)]=Re[X(ejω)]=XR(ejω)DTFT[xo(n)]=(1/2)[X(ejω)-X*(ejω)]=jIm[X(ejω)]=jXI(ejω)序列的共轭对称部分xe(n)对应着DTFT的实部XR(ejω)，而序列的共轭反对称部分xo(n)对应着DTFT的虚部jXI(ejω)。)()()()()()(jIjRjoeejXeXeXnxnxnx若序列h(n)是实序列，则其DTFT只有共轭对称部分He(ejω)，共轭反对称部分为零。H(ejω)=He(ejω)=He*(e-jω)H(ejω)=He(ejω)=HR(ejω)+jHI(ejω)He*(e-jω)=HR(e-jω)-jHI(e-jω)HR(ejω)=HR(e-jω)HI(ejω)=-HI(e-jω)实序列的DTFT的实部是偶函数，虚部是奇函数；实序列的DTFT的模是偶函数，相位为奇函数。0对于实序列，一般只需分析之间的离散时间傅里叶变换。2.10离散系统的系统函数、系统的频率响应2.10.1传输函数与系统函数设系统初始状态为零，输出端对输入为单位脉冲序列δ(n)的响应，称为系统的单位脉冲响应h(n)，对h(n)进行傅里叶变换得到H(ejω)()()jjnnHehne(2.10.1)一般称H(ejω)为系统的频率响应或传输函数，它表征系统的频率特性。设h(n)进行z变换，得到H(z)，一般称H(z)为系统的系统函数，它表征了系统的复频域特性。对N阶差分方程，00()()()MiiiNiiibzYzHzXzaz(2.10.2)MikNikinxbinya00)()(nnznhzH)()(而()()jjnnHehne进行z变换，得到系统函数的一般表示式如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1，H(ejω)与H(z)之间关系如下式：()()jjzeHeHz(2.10.3)上式即为离散时间傅里叶变换与z变换的关系。2.10.2由系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性：(1)因果(可实现)系统其单位脉响应h(n)一定满足当n0时，h(n)=0，那么其系统函数H(z)的收敛域一定包含∞点，即∞点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，收敛域在某个圆外。(2)系统稳定要求()nhn|)(|nnznh对照z变换定义，z变换收敛域应满足：比较得：|z|=1，即系统稳定要求收敛域包含单位圆。(3)如果系统因果且稳定，收敛域包含∞点和单位圆，那么收敛域可表示为r|z|≤∞，0r1例：已知211(),01(1)(1)aHzaazaz分析其因果性和稳定性。解：H(z)的极点为z=a，z=a-1。(1)收敛域1|a-1||z|≤∞，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应h(n)=(an-a-n)u(n)。(2)收敛域0≤|z|＜|a|1,对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=(a-n-an)u(-n-1)。(3)收敛域|a||z||a-1|，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=a|n|。2.10.3利用系统的极零点分布分析系统的频率特性将(2.10.2)式因式分解，得到(2.10.4)式中A=b0/a0，上式中cr是H(z)的零点，dr是其极点。A参数影响传输函数的幅度大小，影响系统特性的是零点cr和极点dr的分布。下面我们采用几何方法研究系统零极点分布对系统频率特性的影响。将(2.10.4)式分子分母同乘以zN+M，得到)1()1()(1111zdzcAzHrNrrMr11()11()()()()()()MrNMrNrrMj