平行线分三角形两边成比例

平行线分三角形两边成比例【知识要点】平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例。【重点、难点】重点：平行线分三角形两边成比例。难点：平行线分三角形两边成比例的灵活运用。【知识讲解】一、平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例。在使用这个性质的时候，应特别注意对应的问题。如图中的AD与AE、DB与EC、AB与AC分别是对应线段。对应线段成比例是指同一边上两条线段的比等于另一条边上与它们对应的线段的比。在上图中，若DE∥BC，那么等。另外，根据比例的性质还可得到：等。这些根据比例性质得到的式子在今后的计算与论证中，只要DE∥BC就可直接应用。为了大家加深对“对应”的含义的理解，掌握好对应关系，还可使用一些简单的形象化的语言，帮助自已加深记忆。例如：在上图中，如果DE∥BC，那么：可说成是“上比下等于上比下”；可说成是“上比全等于上比全”；可说成是“下比全等于下比全”。根据比例的性质，我们还将上述结论中的比例式化成可说成是“左比右等于左比右”；可说成是“左比右等于左(全)比右(全)”等等。使用这些形象化的语言，不仅能够按照要求准确而迅速地写出比例式，而且也容易检查比例式写得是否正确。二、平行于三角形一边的直线截其两边的延长线，所得的对应线段也成比例。如图，ΔABC中，若DE∥BC交BA、CA的延长线于D、E，则。【典型例题分析】例1、已知：如图，DE∥BC，AB＝14，AC＝18，AE＝10，求AD长。解：∵DE∥BC∴∴。例2、如图，ED∥BC，且AB＝5，AC＝7，AD＝2，求AE的长。解：∵ED∥BC，∴，∴AE＝＝2.8。例3：已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，垂足分别为B、D，求证：。证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°∴AB∥DE∴。例4、在ΔAPM的边AP上任意选定点B和C，过B作BN∥AM交PM于N，过N作DN∥CM交AP于D，求证：PA·PD＝PB·PC。分析：欲证PA·PD＝PB·PC，运用等积式与比例式的互化，即欲证，根据已知条件BN∥AM，可推出，由DN∥CM，可推出，从而得。证明：∵BN∥AM，∴，又∵DN∥CM，∴，∴，∴PA·PD＝PB·PC。例5：如图，在ΔABC的AC边上取一点D，延长CB到E使BE＝AD，连ED交AB于F，求证：。分析：欲证，可考虑EF、FD、AC、BC是否是一角的两边被两条平行线所截得的四条线段。而本题所求证中的四条线段不属于上述情况，故一般通过寻求媒介比，即寻找两条线段使之与EF、FD成比例来解决。观察图可知，需作DG∥AB，则有，进而考虑是否与相等。根据已知条件AD＝BE，易证它们是相等的，故得证。证明：过D作DG∥AB交BC于G，∴，∵AD＝BE，∴，∵DG∥AB，∴，∴，例6：已知：ΔABC中，AD是角平分线，求证：。分析：在比例式中，AC是BD、DC、AB的第四比例项。从图中又可看出，如果过点C作CE∥AD交BA的延长线于E，就可得到BD、DC、BA的第四比例项AE。要证明，只要证明AC＝AE即可。证明：过点C作CE∥DA交BA的延长线于E，∵CE∥DA，∴∠1＝∠E，∠2＝∠3，又∵∠1＝∠2，∴∠E＝∠3，∴AE＝AC，∵CE∥DA，∴，∴。