上海市2017高三数学直线综合

辅导讲义学员编号：年级：高二课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课类型T（直线的方程）T（直线的倾斜角和斜率）T（直线的位置关系及点到直线的距离）授课日期及时段教学内容一、直线的方程知识点1：直线的点方向式方程vyyuxx00，其中(00,yx)为直线所过定点，),(vud为直线的方向向量（注意方程中vu,不能为0），若0u,直线为0xx；若0v，直线为0yy；分别表示两条特殊直线。知识点2：直线的点法向式方程0)()(00yybxxa，其中(00,yx)为直线所过定点，),(ban为直线的法向量知识点3：直线的点斜式方程)(00xxkyy，其中(00,yx)为直线所过定点，k为直线的斜率（斜率必须存在），当斜率不存在时，方程为0xx知识点4：直线的斜截式方程bkxy，其中k为斜率（存在），b为直线在y轴上的截距知识点5：直线的一般式方程220(0)axbycab二、直线的倾斜角1、倾斜角的定义：若直线l与x轴相交于点M，将x轴绕点M逆时针方向旋转至与直线l重合时所成的最小正角叫做直线l的倾斜角.【注】：当直线l与x轴平行或重合（即l与y轴垂直）时，规定其倾斜角0。所以根据定义，直线l的倾斜角的取值范围是[0,).特别地，l与x轴垂直时，2.2、斜率：当2时，记的正切值为k，把tank叫做直线l的斜率【注】：当2时，直线l的斜率k不存在.3、直线l的倾斜角、斜率k的计算公式：倾斜角tan,0,2arctan-arctan(),0acrkkkkkk斜率不存在时或-（注意反正切函数表示的理解）斜率k=1212tanxxyybauv（斜率存在时）4、倾斜角和斜率k的变化关系（正切函数图象）理解作出正切函数xytan在[0,)(,)22的图像，参照图形如下：kO2得到以下结论：(1)02，随着倾斜角的不断增大，直线斜率不断增大，[0,)k.(2)2，随着倾斜角的不断增大，直线的斜率不断增大，(,0)k.三、直线与直线的位置关系1、两直线的位置关系（1）平面内两条直线的位置关系有三种：重合、平行、相交（垂直）。（2）判别方法：法一：系数行列式判别解的个数方法①0D相交；②=0D且xD、yD至少有一个不等于零平行；③D=xD=yD=0重合法二：当直线不平行于坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定1l：11bxky2l：22bxky1l：0111cybxa2l：0222cybxa方程条件关系平行21kk且21bb212121ccbbaa重合21kk且21bb212121ccbbaa相交21kk2121bbaa垂直121kk02121bbaa2、相交直线交点与夹角（1）交点坐标：联立方程求解（2）夹角公式：向量表示：2222212121212121|||||||||cos|cosbababbaadddd.斜率表示：同样地，由于不是所有的直线都有斜率，因此需要按“斜率存在、斜率不存在”分类讨论.（1）若两直线的斜率都存在，当2时，有公式21121tankkkk;（2）如果直线1l和2l中有一条斜率不存在，“夹角”可借助于图形，通过直线的倾斜角求出.3、点到直线的距离（1）点到直线的距离点),(00yxP到直线0:CByAxl的距离2200BACByAxd（2）点在直线的同侧或异侧的问题另2200BACByAx，当两点在直线l的同侧，则它们的同号；当两点在直线l的异侧，则它们的异号.（3）平行直线间的距离若两条平行线直线1l：0111cybxa，2l：0222cybxa的距离1222||ccdab，（022ba）.(4)两点间的距离公式：221221)()(yyxxAB四、对称问题（1）点关于点的对称①若11(,)Axy，22(,)Bxy，则AB的中点坐标是1212(,)22xxyy；②(,)Pxy关于(,)Mab的对称点坐标是(2,2)axby．（2）点关于线的对称问题①(,)Pxy关于xa的对称点为(2,)axy②(,)Pxy关于yb的对称点为(,2)xby③(,)Pxy关于yxb的对称点为(,)ybxb（巧记：代入x求y，代入y求x）④(,)Pxy关于yxb的对称点为(,)byxb（巧记：代入x求y，代入y求x）⑤求解(,)Pxy关于:0lAxByC的对称点一般步骤：i设对称点(,)Pabii列方程0()22()()0()axbyABCPPlBaxAbyPPl中点在上与垂直iii求解,ab（3）线关于线的对称①思路：转化为点关于线的对称问题．②求解0:111CyBxAl关于:0lAxByC的对称直线一般步骤：i在1l上取一点(,)Pxyii设(,)Pxy关于:0lAxByC对称点为(,)Pabiii列方程0()22()()0()axbyABCPPlBaxAbyPPl中点在上与垂直iv求解,ab五、圆的方程1．圆的标准方程与一般方程(1)圆的标准方程为222)()(rbyax，其中圆心为),(ba,半径为r；(2)圆的一般方程为220xyDxEyF，圆心坐标(,)22DE，半径为2422FED．方程表示圆的充要条件是2240DEF．(3)圆的参数方程：cossinxarybr（为参数），其中圆心为(,)ab，半径为r．2．点),(00yxM与圆022FEyDxyx的位置关系：M在圆内0002020FEyDxyxM在圆上0002020FEyDxyxM在圆外0002020FEyDxyx3．判断直线与圆的位置关系的两种方法：(1)几何法：通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断，设圆心到直线的距离为d，圆半径为r．若直线与圆相离，则rd；若直线与圆相切，则rd；若直线与圆相交，则rd．(2)代数法：通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断，即通过判别式来判断，若0，则直线与圆相离；若0，则直线与圆相切；若0，则直线与圆相交．4．两圆的的位置关系【注意】二元二次方程220AxBxyCyDxEyF表示圆的充要条件是0AC且0B且2240DEAF）.【注意】圆的参数方程的主要应用是三角换元：222cos,sinxyrxryr；22xytcos,sin(0)xryrrt.设两圆半径分别为12,rr，圆心距为d若两圆相外离,则rRd，公切线条数为4若两圆相外切,则rRd，公切线条数为3若两圆相交rRdrR，则公切线条数为2若两圆内切，则rRd，公切线条数为1若两圆内含，则rRd，公切线条数为0典型例题题型一：直线的方程例1：若直线1:210lxmy与直线2:31lyx平行，则m=.【答案】23例2：经过点(1,0)A且法向量为(2,1)n的直线l的方程是【答案】220xy例3：在平面直角坐标系xOy中，若圆22(1)4xy上存在A，B两点，且弦AB的中点为(1,2)P，则直线AB的方程为.【答案】30xy例4：已知点(2,3)(1,4)AB、，则直线AB的点法向式方程是．【答案】7(2)3(3)07(1)3(4)0xyxy++-=-++=也可以是；题型二：直线的倾斜角例1：已知直线的方向向量)2,1(d，则直线的斜率为，倾斜角为答案：斜率为2，倾斜角为2arctan例2：若直线的斜率为2，则直线的一个法向量为（答案不唯一）答案：)1,2(例3：直线axbyab0,0ab的倾斜角为（）.Aarctanba.Barctanab.Carctanba.Darctanab答案：D例4：设是直线l的倾斜角，且cos0a，则的值为（）.Aarccosa；.Barccosa.Carccosa.Darccosa解析：理解反三角表示及倾斜角范围对应答案：B例5：已知∈(0，21)，则直线01tanyx的倾斜角（用的代数式表示）解析：三角诱导关系及倾斜角范围问题答案：例6：已知直线的斜率]33,3[k，则倾斜角的范围为解析：用正切函数图像去分析可得答案：]6,0[),32[例7：已知直线的倾斜角]43,3[且2，则直线的斜率的取值范围为解析：用正切函数图像去分析可得答案：),3[]1,(例8：求直线1sinxy的倾斜角的范围[说明]本题主要涉及倾斜角和斜率关系的应用.解：设倾斜角为，由题意知斜率sin[1,1]k；当[1,0)k时，为钝角，arctank，由1arctan[,0)4k，得3arctan[,)4k；当(0,1]k时，为锐角，得arctan(0,]4k；当0k时，0；综上所述，倾斜角的取值范围是3[0,][,)44检测题：1.已知直线012yx的倾斜角大小是，则2tan.【答案】342.直线310xy的倾斜角的大小为____________．【答案】563.已知直线l的一个法向量是1,3n，则此直线的倾斜角的大小为【答案】6题型三：直线与直线的位置关系例1：“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（）)(A充分不必要条件)(B必要不充分条件)(C充分必要条件)(D既不充zxxk分也不必要条件【答案】A例2：已知直线05301221yxlyxl：，：，则直线21ll与的夹角的大小是．(结果用反三角函数值表示)【答案】2arccos(arctan7)10或例3：已知直线1:210laxya和2:2130lxayaR，若12ll，则a.【答案】13题型四：直线的对称例1：已知点(1,2)A,(3,4)B,点,MN满足：M为AB中点，B为AN中点，（1）求M的坐标。（2）求N的坐标。【答案】：（1）M为AB中点，坐标为1324(,)22，即(2,3)；（2）解法一：设(,)Nxy，则12(,)(3,4)22xy，所以132242xy解得56xy，所以N的坐标为(5,6)解法二：因为B为AN中点，所以N的坐标为(231,242),即为(5,6)例2：已知P为直线:230lxy上的动点，P关于(3,2)M的对称点为P，记(2,1)N，当线段NP的长度为5的时候，求P的坐标.【答案】：设(,32)Pxx，则(6,12)Pxx，22||(4)(22)5NPxx,求得1x所以P的坐标为(1,1)或(1,5)例3：求直线211160xy关于点(0,1)P对称的直线方程.【分析：本题可以利用两直线平行，以及点P到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P的对称点，代入对称直线方程待定相关常数】解法一由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.由点到直线距离公式，得2222112|11|112|1611|c，即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c=-38.例4：求直线1:10lxy关于直线2:10lxy对称的直线l的方程.【分析：由题意，所给的两直线l1，l2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平