2020届高三一轮复习文科数学课件---双-曲-线

锁定高考文数第八章平面解析几何8.4双曲线【考纲考情】考试说明1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．2.了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用．3.理解数形结合的思想考点五年考情素养定位1.双曲线的定义及标准方程5年2考2.双曲线的几何性质5年5考3.直线与双曲线的位置关系5年1考通过对双曲线及其几何性质的学习培养数学运算与逻辑推理的核心素养趋势分析双曲线的定义、标准方程、渐近线与离心率问题一直是历年高考的命题热点，尤其是离心率问题，以选择题、填空题为主，很少涉及解答题，难度为中低档夯实双击自主梳理1.双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离的差的绝对值等于非零常数2a(2a＜2c)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．差的绝对值焦点焦距注：(1)当2a＜|F|时，点M的轨迹是双曲线；(2)当2a＜|F|时，点M的轨迹是两条射线；(3)当2a＜|F|时，点M的轨迹不存在．2a＜|F1F2|2a＝|F1F2|2a＞|F1F2|2.双曲线的标准方程及其简单几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图象标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)性质渐近线y＝±xy＝±x±bax±abx标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2性质实、虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c间的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)(1，＋∞)2a2ba2＋b23.点与双曲线的关系(1)点P(x0，y0)在双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)上x20a2－y20b2＝1.(2)点P(x0，y0)在双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)外x20a2－y20b2＜1或x20a2－y20b2＞1.【必记结论】1.双曲线的焦点到渐近线的距离是b；双曲线的顶点到渐近线的距离是abc.2.(1)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(2)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.(3)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sinθ＝b2·1tanθ2，其中θ为∠F1PF2.1.判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)x2m－y2n＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线．()解析若m＜0，n＜0，则双曲线焦点在y轴上．×(2)双曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形．()解析观察图象易知．(3)双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝ca＝a2－b2a.()√解析双曲线的离心率e＝ca＝a2＋b2a.×(4)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()解析到两定点距离之差的绝对值2a＝|F1F2|，此时点的轨迹是两条射线，∴错误．×(5)椭圆的离心率e∈(0，1)，双曲线的离心率e∈(1，＋∞)．()解析由椭圆与双曲线的离心率关系可知正确．(6)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.()解析根据等轴双曲线的定义可知a＝b，∴正确．√√2.(教材改编)双曲线4y2－9x2＝36的焦点坐标为()A.(±5，0)B.(0，±5)C.(±13，0)D.(0，±13)解析双曲线标准方程为y29－x24＝1，焦点在y轴上，又c＝a2＋b2，∴焦点坐标为(0，±13)，故选D.D3.方程x21＋k＋y21－k＝1表示双曲线，则k的取值范围是()A.(－1，1)B.(0，＋∞)C.[0，＋∞)D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析由题可知，方程x21＋k＋y21－k＝1表示双曲线应满足(1＋k)(1－k)＜0，则k的取值范围是k＞1或k＜－1.故选D.D4.(2019·石家庄模拟)已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为()A.x24－y212＝1B.x212－y24＝1C.x210－y26＝1D.x26－y210＝1解析已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则c＝4，a＝2，b2＝12，双曲线方程为x24－y212＝1，故选A.A5.若双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A.5B.5C.2D.2解析由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝c2a2＝5，∴e＝5.故选A.A6.(2016·北京高考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(5，0)，则a＝1，b＝2．解析由题意知，渐近线方程为y＝－2x，由双曲线的标准方程以及性质可知ba＝2，由c＝5，c2＝a2＋b2，可得b＝2，a＝1.12题型考向层级突破|题型一|双曲线的定义(课堂共研)[高考分析]双曲线的定义在解题中具有广泛的应用，在一些与焦点有关的计算问题(特别是焦点三角形问题)及轨迹的判断问题中经常使用，涉及的试题以客观题为主，难度中等．(1)(2019·孝感质检)△ABC的顶点A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是＝1(x＞3)．x29－y216＝1(x＞3)解析如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.|AG|＝|AE|＝8，|BF|＝|BG|＝2，|CE|＝|CF|，∴|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x29－y216＝1(x＞3)．(2)(2018·武汉调研)若双曲线x24－y212＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1，4)，则|PF|＋|PA|的最小值是()A.8B.9C.10D.12B解析由题意知，双曲线x24－y212＝1的左焦点F的坐标为(－4，0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4，0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋（4－1）2＋（0－4）2＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号，∴|PF|＋|PA|的最小值为9.[技巧点拨]双曲线定义的应用规律类型解读求方程由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a，2b或2c的值，从而求出a2，b2的值，写出双曲线方程解焦点三角形利用双曲线上点M与两焦点的距离的差||MF1|－|MF2||＝2a(其中2a|F1F2|)与正弦定理、余弦定理，解决焦点三角形问题[易错警示]在双曲线的定义中一是不能漏掉“绝对值”，否则轨迹是双曲线的一支；二是“常数”2a小于|F1F2|，若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a＞|F1F2|，则轨迹不存在．[变式训练]1.若双曲线E：x29－y216＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于()A.11B.9C.5D.3解析由题知点P在左支上，∴|PF2|－|PF1|＝6，∴|PF2|＝9.故选B.B2.已知双曲线x2－y224＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝43|PF2|，则△F1PF2的面积为()A.48B.24C.12D.6B解析由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝13|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，故三角形PF1F2为直角三角形，因此S△PF1F2＝12|PF1|×|PF2|＝24.3.(2016·浙江高考)设双曲线x2－y23＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是(2，8)．(27，8)解析如图，由已知可得a＝1，b＝3，c＝2，从而|F1F2|＝4，由对称性不妨设P在右支上，设|PF2|＝m(m＞0)，则|PF1|＝m＋2a＝m＋2.由于△PF1F2为锐角三角形，结合实际意义需满足（m＋2）2＜m2＋42，42＜（m＋2）2＋m2，解得－1＋7＜m＜3，∴27＜2m＋2＜8.又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2，故|PF1|＋|PF2|的取值范围是(27，8)．|题型二|双曲线的标准方程(自主练透)[高考分析]求双曲线的标准方程是高考的高频考点，常见考查形式有两类：一是利用待定系数法求双曲线方程，二是根据双曲线的几何性质，综合其他知识求双曲线方程，常出现在选择、填空题中，难度不大．(1)(2017·天津高考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()A.x24－y212＝1B.x212－y24＝1C.x23－y2＝1D.x2－y23＝1D解析由△OAF是边长为2的等边三角形可知，c＝2，ba＝tan60°＝3，又c2＝a2＋b2，联立可得a＝1，b＝3，∴双曲线的方程为x2－y23＝1.(2)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则C的方程为()A.x28－y210＝1B.x24－y25＝1C.x25－y24＝1D.x24－y23＝1B解析双曲线C的渐近线方程为y＝±bax，∴ba＝52，椭圆与双曲线的焦点为(±3，0)，即c＝3.又c2＝a2＋b2，∴a2＝4，b2＝5，故双曲线C的方程为x24－y25＝1.故选B.(3)(2018·曲师大附中模拟)若双曲线的渐近线方程为y＝±12x，且经过点(4，3)，则双曲线的方程为－y2＝1．解析方法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±12x，∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4，∴双曲线的标准方程为x24－y2＝1.x24－y2＝1方法二：∵渐近线y＝12x过点(4，2)，而3＜2，∴点(4，3)在渐近线y＝12x的下方，在y＝－12x的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．由已知条件可得ba＝12，16a2－3b2＝1，解得a2＝4，b2＝1，∴双曲线的标准方程为x24－y2＝1.[方法指导](1)求双曲线标准方程的答题模板(2)利用待定系数法求双曲线方程的常用方法①与双曲线x2a2－y2b2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；②若双曲线的渐近线方程为y＝±bax，则双曲线的方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；③若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为x2m＋y2n＝1(mn0)或mx2＋ny2＝1(mn0)．[易错警示]区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.[备课优选]1.与椭圆x24＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线方程是()A.x24－y2＝1B.x22－y2＝1C.x23－y23＝1D.x2－y22＝1B解析方法一：椭圆x24＋y2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，所以4a2－1b2＝1，a