鲁教版八年级下册第七章-二次根式复习

二次根式课题1、能够比较熟练地应用二次根式的性质进行化简.2、能够比较熟练地进行二次根式的运算.3、会运用二次根式的性质及运算解决简单的实际问题.学习目标二次根式概念性质运算加、减、乘、除最简二次根式同类二次根式二次根式3、4、2、1、baba0,0babaab02aaaaa20aa0aa,0(a)0b知识回顾一、二次根式的意义二、二次根式的性质四、反思提升三、二次根式的运算一、二次根式的意义你能说说对二次根式的认识吗?2.a可以是数,也可以是式.3.形式上含有二次根号.1.表示a的算术平方根.4.a≥0，≥0.(双重非负性)aa注:正确理解和运用二次根式的概念是学好本章的关键之一.一、二次根式的意义例1、下列各式中哪些是二次根式？哪些不是？为什么？153a100x3522ab21a144221aa⑧⑦⑥④⑤①②③思路启迪:二次根式应同时具备下列三个条件：(1)含有根号；(2)根指数是2；(3)被开方数是非负数.典型例题例2、x取何值时,下列二次根式有意义?xx3)2(1)1(1x0x为全体实数x0x.04,)3(2为全体实数为何实数无论xxxxx1)4(4)3(2101)1(xx解:003)2(xx思路启迪：判断二次根式是否有意义的基本依据是:①被开方数为非负数；②分母不等于零。0001)4(xxx且0202)5(xx且2x522)5(xx2x例3、二次根式的非负性的应用.1、已知：+=0,求x-y的值.yx24x2、已知x,y为实数,且+3(y-2)2=0,则x-y的值为()A.3B.-3C.1D.-11x解：由题意，得x-4=0且2x+y=0解得x=4,y=-8x-y=4-(-8)=4+8=12D解：∵x-1=0且y-2=0；∴x=1y=2若两个非负数的和为零，则这两个数都为零。点评：初中阶段，课本中出现的三种非负数已全部学完．这三种非负数是：实数的绝对值；实数的偶次方；非负数的算术平方根．利用非负数的意义求值，是解决代数式求值问题时常用的方法之一．x为何值时，下列各式在实数范围内有意义.x31)1(2)5()3(x1)2(2x123)5(xx12)4(0)6(5)6(xx为全体实数x31x为全体实数x10xx且21x65xx且及时反馈二、二次根式的性质aa2)(1、)0(a?)(22有区别吗与aaaa22、0aa0aa二、二次根式的性质1、与区别：①意义不同表示a的算术平方根的平方，表示a的平方的算术平方根．②a的取值范围不同(a≥o)；(a为任意实数)．2、联系：当a≥0时，==a2)a（2a2)a（2)a（2aaa22aaa2)（)0,0(babaab3、积的算术平方根的性质4、商的算术平方根的性质)0,0(bababa二、二次根式的性质注：正确理解和运用二次根式的性质是学好本章的关键之一.计算:例1、;)5.1)(1(2;)434)(3(2.)5()2()4(22.5.1)5.1)(1(2解：思路启迪：利用可以把二次根式化简．02aaa2)32)(2(632)32)(2(2典型例题1243)4()434)(3(2254)5()2())5()2()(4(222例2、把下列各式写成平方差的形式，再在实数范围内分解因式；54)1(2x103)2(2a2252)1(）（）（原式解、x22103)2(）（）（原式a)52)(52(xx)103)(103(aa思路启迪：利用可以把任何一个非负数或非负式子写成完全平方形式．02aaa例2、把下列各式写成平方差的形式，再在实数范围内分解因式；9)3(4a96)4(24aa2223)3(）（原式a22)3()4(a原式)3)(3(22aa)3)(3)(3(2aaa22)3()3(aa化简:思考:.0162xx解:040xx2216(4)xxx4例3、思路启迪：利用可以把二次根式化简．aa2若x0呢？33)1(2aa、例4、化简:aaa3)3(3:原式解3396)2(2aaa、2333aaa解：原式把a-3当做整体化简形如的二次根式，首先把写成|a|的形式，再根据已知条件中字母a的取值范围，确定其结果.方法小结化简形如的二次根式的方法:2a2a2a一定要注意a的取值范围例5、判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？(字母为正数)ba23)1(ab5.1)2(22)3(yxba)4(思路启迪：根据最简二次根式的条件来判断，不满足其中任意一个条件的，都不是最简二次根式．最简二次根式的三个条件：（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（2）被开方数不含分母；（3）分母中不含有根号.54)1(23(2)4ab2114)2(22(3)3yxx例6、化简(字母为正数)272)5(ba3)6(baba)7(54)1(23(2)4ab例6、化简(字母为正数)思路启迪：若被开方数是积的形式，把能开得尽的方的因数或因式开出来；若被开方数不是积的形式，应先化成积的形式，再把可以开得尽方的因数或因式开出来．54)1(6369babbab2)2(2324)2(ba解：2114)3(2223423462xyx32)4(2xxxyx33322xyx632114)3(xyx32)4(262232221142解法二：思路启迪：化去根号中的分母，可以将被开方数的分子和分母同乘以一个适当的数(或代数式)，从而使被开方数中的分母能够开的尽,这样也就将二次根式进行化简了.272)5(33332332932ba3)6(bababa3baba3272)5(ba3)6(思路启迪：化去分母中的根号的关键是选择一个适当的数(或代数式)，用这个数(或代数式)去乘分式的分子和分母，可以使分母不含根号．这个数(或代数式)叫有理化因式。分母的有理化因式不是唯一的，应学会选择最简单的.))(())((bababababababa))((bababa))((思路启迪：根据本题的特点，将分子分解因式，然后约分，这样化简运算简便．baba)7(ba解、原式解法二ba方法小结化二次根式为最简二次根式的一般步骤：(1)把根号内能开得尽方的因数(或因式)移到根号外；(2)化去根号内的分母．(3)化去分母中的根号．(又称分母有理化)1、计算29)4(43)5(2(3)(12)2(2)(3)2)2)(6(x22)3221()2131()7(2222)11()7(43)8(2)2)(1(及时反馈1、计算答案：2)1(12)2(4)3(23)4(321)5(x4)6(1)7(9)8(2、把下列二次根化为最简二次根式.800)1(81)3(533)4(4.0)2(243)5(121)6(220)1(241)3(1053)4(1051)2(42)5(12)6(3、化简下列各式：);0(250)1(3bba)31(961)2(2xxx3113)3(22xxxaba105)1(13)2(x2)3(4、若ab，则化简的结果为（）2()abA.a+bB.a-bC.-a-bD.-a+bD3、实数在数轴上的位置如图所示,化简:22(1)(2)_______.pp1p5、实数在数轴上的位置如图所示,化简:p-1210p6、已知三角形的三边长分别是a、b、c，且，那么等于（）A、2a-bB、2c-bC、b-2aD、b-2cca2)(bcaacD三、二次根式的运算——乘除1、二次根式的乘法法则)0,0(baabba2、二次根式的除法法则)0,0(bababa二次根式的除法可以先转化为乘法,然后再按乘法法则进行运算.三、二次根式的运算（乘除）例1：计算(字母为正数)(1)26621(2)322(3)2418xx222112(4)635aabb1321642266212342434663123xx246363655aabb典型例题例2、计算21(1)133515335533533133(2)94824124214199614833348336点评：也可以用“除以一个数，等于乘以这个数的倒数”的法则进行计算．在进行二次根式的加减运算时，首先要正确识别同类二次根式，关键是准确地化成最简二次根式，然后观察被开方数是否相同，对于被开方数相同的最简二次根式可以类似合并同类项的方法，即把根号外的因式相加减，根指数和被开方数都不变。三、二次根式的运算——加减1、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.2、二次根式的加减（1）先化简，（2）再合并.三、二次根式的运算——加减三、二次根式的运算（加减）——化简例、计算(字母为正数)32411821182)1(222326)1(原式解、2213——合并把同类二次根式看成“同类项”，按照合并同类项的方法进行合并．典型例题例、计算(字母为正数)(提高题）ababaabba222)2(点评：在进行二次根式的加减运算时，应注意：1、根号外的系数因式需保留假分数的形式。2、化简后，被开方数不相同的二次根式不能合并；反之，能合并，若合并后的系数为多项式，需添括号。ababaabba原式ababba)1()(1、混合运算的顺序：二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．三、二次根式的运算——混合运算2、对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用．三、二次根式的运算（混合运算）例、计算6)5048)(1(650648.原式解310212把二次根式看成“单项式”，它类似于单项式乘多项式．典型例题)6227()2762)(2(22(72)26)解.原式（742498例、计算它类似于特殊的多项式乘法，可利用平方差公式。2)5423)(3(22(322324545解.原式）（）80102418102498例、计算可利用完全平方公式。)532)(532)(4(222(35)解.原式1524)1528(4例、计算（提高题）这要利用平方差和完全平方两个公式。(5)5480627320182例、计算它类似于多项式除以单项式．548036273解.原式51669点评：当被除式与除式的被开方数恰好能整除时，这样计算很方便．103466例、计算它也类似于多项式除以单项式．(6)564332564325643.32322解原式523633一样的类型，不一样的解法，应学会选择。点评：有关二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过化去分母中的根号进行运算．1)109(200520092009(7)(310)(310)2009(310)(310)解.原式例、计算这里包含了二次根式的乘方、乘法和加减运算．二次根式的混合运算，要注意：1、运算顺序；2、灵活运用运算法则；3、灵活运用运算律和乘法公式简便运算；4、结果一定要化到最简。方法小结在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．2165166106.01、)5.04313()31448(2、322812183