文科立体几何知识点、方法总结高三复习

1/12γmβαllαβ立体几何知识点整理（文科）一．直线和平面的三种位置关系：1.线面平行αl符号表示：2.线面相交αAl符号表示：3.线在面内αl符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。mlmll////方法二：用面面平行实现。mlml////方法三：用线面垂直实现。若ml,，则ml//。方法四：用向量方法：若向量l和向量m共线且l、m不重合，则ml//。2.线面平行：方法一：用线线平行实现。////llmml方法二：用面面平行实现。////ll方法三：用平面法向量实现。若n为平面的一个法向量，ln且l,则//l。3.面面平行：方法一：用线线平行实现。//',','//'//且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。//,////且相交mlml三．垂直关系：1.线面垂直：方法一：用线线垂直实现。lABACAABACABlACl,方法二：用面面垂直实现。nαlm'l'lαβmmβαlABCαllmmlα2/12llmlm,2.面面垂直：方法一：用线面垂直实现。ll方法二：计算所成二面角为直角。3.线线垂直：方法一：用线面垂直实现。mlml方法二：三垂线定理及其逆定理。POlOAlPAl方法三：用向量方法：若向量l和向量m的数量积为0，则ml。三．夹角问题。(一)异面直线所成的角：(1)范围：]90,0((2)求法：方法一：定义法。步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)余弦定理：abcba2cos222(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。转化为向量的夹角(计算结果可能是其补角)：ACABACABcos(二)线面角(1)定义：直线l上任取一点P（交点除外），作PO于O,连结AO，则AO为斜线PA在面内的射影，PAO(图中)为直线l与面所成的角。AOθPα(2)范围：]90,0[当0时，l或//l当90时，l(3)求法：方法一：定义法。步骤1：作出线面角，并证明。步骤2：解三角形，求出线面角。(三)二面角及其平面角(1)定义：在棱l上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角为二面角—l—的平面角。lβαmlβαmαlθcbaABCθnAOθPαlAOPα3/12nmlP(2)范围：]180,0[(3)求法：方法一：定义法。步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。方法二：截面法。步骤1：如图，若平面POA同时垂直于平面和，则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面角。步骤2：解三角形，求出二面角。θAOPαβ方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。θn1n2步骤一：计算121212cosnnnnnn步骤二：判断与12nn的关系，可能相等或者互补。四．距离问题。1．点面距。方法一：几何法。OAP步骤1：过点P作PO于O，线段PO即为所求。步骤2：计算线段PO的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)2．线面距、面面距均可转化为点面距。3．异面直线之间的距离方法一：转化为线面距离。nm如图，m和n为两条异面直线，n且//m，则异面直线m和n之间的距离可转化为直线m与平面之间的距离。方法二：直接计算公垂线段的长度。方法三：公式法。dcbam'DCBAmn如图，AD是异面直线m和n的公垂线段，'//mm，则异面直线m和n之间的距离为：cos2222abbacd高考题典例考点1点到平面的距离4例1如图，正三棱柱111ABCABC的所有棱长都为2，D为1CC中点．（Ⅰ）求证：1AB⊥平面1ABD；（Ⅱ）求二面角1AADB的大小；（Ⅲ）求点C到平面1ABD的距离．考点2异面直线的距离例2已知三棱锥ABCS，底面是边长为24的正三角形，棱SC的长为2，且垂直于底面.DE、分别为ABBC、的中点，求CD与SE间的距离.考点3直线到平面的距离例3．如图，在棱长为2的正方体1AC中，G是1AA的中点，求BD到平面11DGB的距离考点4异面直线所成的角例4如图，在RtAOB△中，π6OAB，斜边4AB．RtAOC△可以通过RtAOB△以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC的直二面角．D是AB的中点．（I）求证：平面COD平面AOB；（II）求异面直线AO与CD所成角的大小．考点5直线和平面所成的角ABCD1A1C1BOFBACDOGH1A1C1D1B1OOCADBE5例5.四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD．已知45ABC∠，2AB，22BC，3SASB．（Ⅰ）证明SABC；（Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的大小．考点6二面角例6．如图，已知直二面角PQ，APQ，B，C，CACB，45BAP，直线CA和平面所成的角为30．（I）证明BCPQ⊥（II）求二面角BACP的大小．考点7利用空间向量求空间距离和角例7．如图，已知1111ABCDABCD是棱长为3的正方体，点E在1AA上，点F在1CC上，且11AEFC．（1）求证：1EBFD，，，四点共面；（2）若点G在BC上，23BG，点M在1BB上，GMBF⊥，垂足为H，求证：EM⊥平面11BCCB；（3）用表示截面1EBFD和侧面11BCCB所成的锐二面角的大小，求tan一常用结论1．证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.2．证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.3．证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.4．证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.DBCASABCQPCBAGHMDEF1B1A1D1C65．证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.6．证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.7.夹角公式：设a＝123(,,)aaa，b＝123(,,)bbb，则cos〈a，b〉=112233222222123123abababaaabbb.8．异面直线所成角：cos|cos,|abrr=121212222222111222||||||||xxyyzzababxyzxyzrrrr（其中（090oo）为异面直线ab,所成角，,abrr分别表示异面直线ab,的方向向量）9.直线AB与平面所成角：sin||||ABmarcABm(m为平面的法向量).10、空间四点A、B、C、P共面OCzOByOAxOP，且x+y+z=111.二面角l的平面角cos||||mnarcmn或cos||||mnarcmn（m，n为平面，的法向量）.12.三余弦定理：设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为1，AB与AC所成的角为2，AO与AC所成的角为．则12coscoscos.13.空间两点间的距离公式若A111(,,)xyz，B222(,,)xyz，则,ABd=||ABABAB222212121()()()xxyyzz.14.异面直线间的距离：||||CDndn(12,ll是两异面直线，其公垂向量为n，CD、分别是12,ll上任一点，d为12,ll间的距离).15.点B到平面的距离：||||ABndn（n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A）.16.三个向量和的平方公式：2222()222abcabcabbcca2222||||cos,2||||cos,2||||cos,abcababbcbccaca17.长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123lll、、，夹角分别为123、、,则有2222123llll222123coscoscos1222123sinsinsin2.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.18.面积射影定理'cosSS.(平面多边形及其射影的面积分别是S、'S，它们所在平面所成锐二面角的).19.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3)球与正四面体的组合体:棱长为a的正四面体的内切球的半径为612a,外接球的半径为64a.20.求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、体积法）〈二〉温馨提示：1.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及义？①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次.7②直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是．③反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是．〈三〉解题思路：1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线∥线线∥面面∥面判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面线面平行的判定：abbaa∥，面，∥面ab线面平行的性质：∥面，面，∥bab三垂线定理（及逆定理）：PAAOPO⊥面，为在内射影，面，则aaOAaPOaPOaAO⊥⊥；⊥⊥aPO线面垂直：abacbcbcOa⊥，⊥，，，⊥aOαbc面面垂直：aa⊥面，面⊥面⊥面，，，⊥⊥llaaaαalβ8abab⊥面，⊥面∥面⊥，面⊥∥aaab2、三类角的定义及求法（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°＝时，∥或0bob（）二面角：二面角的平面角，30180loo（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）三类角的求法：①找出或作出有关的角。②证明其符合定义，并指出所求作的角。③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理)高中数学立体几何空间距离1.两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.2.点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.93.直线与平面的距离如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离.4.两平行平面间的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.题型一：两条异面直线间