初中数学分类讨论专题

1分类讨论专题在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级有序进行．（4）以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型.综合中考的复习规律，分类讨论的知识点可分为三大类：1.代数类：代数有绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限等.2.几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.3.综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.代数类考点1与数与式有关的分类讨论1.化简：|x-1|+|x-2|2.已知α、β是关于x的方程x2+x+a=0的两个实根。(1)求a的取值范围；(2)试用a表示|α|+|β|。3.代数式aabbabab||||||的所有可能的值有（）2A.2个B.3个C.4个D.无数个考点2与方程有关的分类讨论4.解方程：①（a-2）x=b-1②试解关于x的方程111x)x(5.关于x的方程22(21)10kxkx有实数根，则k的取值范围是（）A．4kB.104kk或C.k14D.k≥146.已知关于x的方程22(4)(4)0kxkxk（1）若方程有实数根，求k的取值范围（2）若等腰三角形ABC的边长a=3，另两边b和c恰好是这个方程的两个根，求ΔABC的周长.考点3函数部分7.一次函数ykxbx，当31时，对应的y值为19x，则kb的值是（）。A.14B.6C.4或21D.6或148.设一次函数21yaxa=-+-的图象不经过第一象限，求a的取值范围。39.比较一次函数12yx=与二次函数2212yx=的函数值y1与y2的大小。10.图9是二次函数kmxy2)(的图象，其顶点坐标为M(1,-4).（1）求出图象与x轴的交点A,B的坐标；（2）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(bbxy与此图象有两个公共点时，b的取值范围.【变式】就b的取值范围，讨论.直线)1(bbxy与此图象有公共点的个数图94几何类一、与等腰三角形有关的分类讨论考点4与角有关的分类讨论1.已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为________考点5与边有关的分类讨论1.已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________.考点6与高有关的分类讨论1.一等腰三角形的一腰上的高与另一腰成35°，则此等腰三角形的顶角是________度.2.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，这个等腰三角形的顶角是______度.3.为美化环境，计划在某小区内用230m的草皮铺设一块一边长为10m的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长.4.如图，在网格图中找格点M，使△MPQ为等腰三角形.并画出相应的△MPQ的对称轴.考点7综合应用PQ51.在直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（－2，2），试在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，求符合条件的点P的坐标2.如图，在平面直角坐标系xoy中，分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点A(3，4)．连接OA，若在直线a上存在点P，使△AOP是等腰三角形．那么所有满足条件的点P的坐标是3.直角坐标系中，已知点P（－2，－1），点T（t，0）是x轴上的一个动点.(1)求点P关于原点的对称点P的坐标；（2）当t取何值时，△PTO是等腰三角形？二、与圆有关的分类讨论yxPOT11bayxAOA（－2，2）yxo6圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性，圆的这些特性决定了关于圆的某些问题会有多解.考点8由于点与圆的位置关系的不确定而分类讨论1.已知点P到⊙O的最近距离为3cm，最远距离为13cm，求⊙O的半径.考点9由于点在圆周上位置关系的不确定而分类讨论1.A、B是⊙O上的两点，且∠AOB=136o，C是⊙O上不与A、B重合的任意一点，则∠ACB的度数是___________.考点10由于弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论1.已知横截面直径为100cm的圆形下水道，如果水面宽AB为80cm，求下水道中水的最大深度.考点11由于两弦与直径位置关系的不确定而分类讨论1.⊙O的直径AB=2，过点A有两条弦AC=2，AD=3，求∠CAD的度数.考点12由于直线与圆的位置的不确定而分类讨论1.已知在直角坐标系中，半径为2的圆的圆心坐标为（3，-3），当该圆向上平移个单位时，它与x轴相切.2.如图，直线443yx与x轴，y轴分别交于点M，N7（1）求M，N两点的坐标；（2）如果点P在坐标轴上，以点P为圆心，125为半径的圆与直线443yx相切，求点P的坐标.考点13由于圆与圆的位置的不确定而分类讨论1.已知⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，则O1O2的长是cm．2.如图，在8×4的方格（每个方格的边长为1个单位长）中，⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，将⊙A由图示位置向右平移个单位长后，⊙A与⊙B相切．3.如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为(a，0)，半径为5，如果两圆内含，那么a的取值范围是_________．4.在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CMx∥轴（如图7所示）．点B与点A关于原点对称，直线bxy（b为常数）yx53(a，0)OAB8经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD．（1）求b的值和点D的坐标；（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的⊙P与⊙O外切，求⊙O的半径．三、与直角三角形有关的分类讨论1.已知点M（0，1），N（0，3），在直线y=2x＋4上找一点P使△MPN为直角三角形，求点P的坐标.2.如图，已知抛物线C1：522xay的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．（1）求P点坐标及a的值；（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的关系式；（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．CMOxy12341图7A1BDyxb9四、与相似三角形有关的分类讨论考点14对应边不确定1.如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm／s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm／s的速度向A点匀速运动，问：是否存在时刻t，使以A,.M,N为顶点的三角形与ΔACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．考点15对应角不确定1.如图1，∠A=500，∠B=600，一直线l与△ABC的边AC、AB边相交于点D、E两点，当∠ADE为________度时，△ABC与△ADE相似.ABCDMNABCEDl图1yxAOBPM图1C1C2C3图（1）yxAOBPN图2C1C4QEF图（2）10考点16图形的位置不确定1.在平面直角坐标系中，已知点P（－2，－1）.过P作y轴的垂线PA,垂足为A.点T为坐标轴上的一点.若以P，O，T为顶点的三角形与△AOP相似,请写出点T的坐标?【变式】若点T在第四象限,请写出点T的坐标.2.如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB＝4，BC＝6，∠B＝60°．（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EP＝x．①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．FEADBC图5(备用)FEADBC图4(备用)FEADBC图2NPMFEADBC图3MPNFEADBC图111课下巩固练习一、填空题：1.已知AB是圆的直径，AC是弦，AB＝2，AC＝2，弦AD＝1，则∠CAD＝．2.直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于.3.已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是________．4.等腰三角形的一个内角为70°，则其顶角为______．5.在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形.在如图3中5×5的方格中，作格点△ABC和△OAB相似(相似比不为1)，则点C的坐标是_____.二、选择题：1.若等腰三角形的一个内角为500，则其他两个内角为（）A．500，80oB．650，650C．500，650D．500，800或650，6502.若||3,||2,,()ababab且则A．5或－1B．－5或1;C．5或1D．－5或－13.等腰三角形的一边长为3cm，周长是13cm，那么这个等腰三角形的腰长是（）A．5cmB.3cmC．5cm或3cmD．不确定4.若⊙O的弦AB所对的圆心角∠AOB=60°，则弦AB所对的圆周角的度数为（）A．300B、600C．1500D．300或15005.若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b(ab)，则此圆的半径为（）A.2abB.2abC.2ab或2abD.a+b或a-b12二、解答题：1.在ΔABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝22，圆A的半径为1，如图所示，若点O在BC边上运动，（与点B和C不重合），设BO＝x，ΔAOC的面积为y.（1）求y关于x的函数关系式.（2）以点O为圆心，BO长为半径作圆O，求当圆O与圆A相切时ΔAOC的面积.ABCO2.在直角坐标系XOY中，O为坐标原点，A、B、C三点的坐标分别为A（5，0），B（0，4），C（－1，0），点M和点N在x轴上，（点M在点N的左边）点N在原点的右边，作MP⊥BN，垂足为P（点P在线段BN上，且点P与点B不重合）直线MP与y轴交于点G，MG＝BN.（1）求点M的坐标.（2）设ON＝t，△MOG的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围.（3）过点B作直线BK平行于x轴，在直线BK上是否存在点R，使△ORA为等腰三角形？若存在，请直接写出R的坐标；若不存在，请说明理由.3.如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，13建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的关系式．4.在平面直角坐标系内,已知点A(2,1),O为坐标原点.请你在坐标轴上确定点P,使得ΔAOP成为等腰三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点P都找出来,画上实心点,并在旁边标上P1,P2,……,Pk,(有k个就标到PK为止,不必写出画法)5.已知(1)Am，与(233)Bm，是反比例函数kyx图象上的两个点．（1）求k的值；14（2）若点(10)C，，则在反