极值点偏移问题专题

1极值点偏移问题专题（0）——偏移新花样（拐点偏移）例1已知函数22lnfxxxx，若正实数1x，2x满足12+=4fxfx，求证:122xx。证明：注意到1=2f，12+=21fxfxf12+=21fxfxf2=+210fxxx22=2fxx，1=0f，则（1,2）是fx图像的拐点，若拐点（1,2）也是fx的对称中心，则有12=2xx，证明122xx则说明拐点发生了偏移，作图如下想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理．不妨设1201xx，要证1221212212xxxxfxfx11114242fxfxfxfx2Fxfxfx，0,1x，则222212212Fxfxfxxxxx2141102xxx，得Fx在0,1上单增，有1214FxF，得证。2、极值点偏移PK拐点偏移常规套路1、极值点偏移（00fx）二次函数121202fxfxxxx2、拐点偏移00fx12012022fxfxfxxxx极值点偏移问题专题（1）——对称化构造（常规套路）例1（2010天津）已知函数exfxx．（1）求函数fx的单调区间和极值；（2）已知函数gx的图像与fx的图像关于直线1x对称，证明：当1x时，1220112022fxfxxxxxxx120201120222fxfxfxxxxxxx3fxgx；（3）如果12xx，且12fxfx，证明：122xx．点评：该题的三问由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法——对称化构造的全过程，直观展示如下：例1是这样一个极值点偏移问题：对于函数exfxx，已知12fxfx，12xx，证明122xx．再次审视解题过程，发现以下三个关键点：（1）1x，2x的范围1201xx；（2）不等式21fxfxx；4（3）将2x代入（2）中不等式，结合fx的单调性获证结论．把握以上三个关键点，就可轻松解决一些极值点偏移问题．例2（2016新课标Ⅰ卷）已知函数22e1xfxxax有两个零点．（1）求a的取值范围；（2）设1x，2x是fx的两个零点，证明：122xx．解：（1）0,，过程略；（2）由（1）知fx在,1上，在1,上，由120fxfx，可设121xx．构造辅助函数2Fxfxfx2221e21e21eexxxxFxfxfxxaxax当1x时，10x，2ee0xx，则0Fx，得Fx在,1上，又10F，故01Fxx，即21fxfxx．将1x代入上述不等式中得1212fxfxfx，又21x，121x，fx在1,上，故112xx，122xx．通过以上两例，相信读者对极值点偏移问题以及对称化构造的一般步骤有所了解．但极值点偏移问题的结论不一定总是1202xxx，也可以是2120xxx，借鉴前面的解题经验，我们就可给出类似的过程．例3已知函数lnfxxx的图像与直线ym交于不同的两点11,Axy，22,Bxy，求证：1221exx．证明：（i）ln1fxx，得fx在10,e上，在1,e上；当01x时，0fx；10f；当1x时，0fx；当0x时，0fx（洛必达法则）；5当x时，fx，于是fx的图像如下，得12101exx．小结：用对称化构造的方法解极佳点偏移问题大致分为以下三步：step1：求导，获得fx的单调性，极值情况，作出fx的图像，由12fxfx得1x，2x的取值范围（数形结合）；step2：构造辅助函数（对结论1202xxx，构造02Fxfxfxx；对结论2120xxx，构造20xFxfxfx），求导，限定范围（1x或2x的范围），判定符号，获得不等式；step3：代入1x（或2x），利用12fxfx及fx的单调性证明最终结论．