2019-2020学年新人教A版必修二--第七章-复数-检测A

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=()A.-3B.-2C.2D.3解析:由已知(1+2i)(a+i)=a-2+(2a+1)i.∵(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,∴a-2=2a+1,解得a=-3,故选A.答案:A2.i是虚数单位,复A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i解析:-i.答案:B3.设i是虚数单位,则复数iA.-iB.-3iC.iD.3i答案:C4.若z=1+i(i是虚数单位),A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i解析:∵z=1+i,1+i)2=(1-i)+(1+i)2=(1-i)+(1+2i-1)=1+i.故选D.答案:D5.已知a,b∈R,则“a=b”是“(a-b)+(a+b)i为纯虚数”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析:(a-b)+(a+b)i为纯虚数的充要条件是实数a,b满a=b,且a≠-b,也就是a=b≠0.结合题意知充分性不成立,必要性成立,故选C.答案:C6.若复数z=a2-1+(a+1)i(a∈R)是纯虚数,则复A解析:因为复数z=a2-1+(a+1)i(a∈R)是纯虚数,所a=1.这时z=2i,于是复答案:B7.已知复数z=1-2i,A解析:.答案:D8.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:由题图知复数z1=-2-i,z2=1+2i,.答案:B9.已知i为虚数单位,a为实数,若复数z=(1-2i)(a+i)在复平面内对应的点为M,则“a“点M在第四象限”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:z=(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i,所以复数z在复平面内对应的点M的坐标为(a+2,1-2a).所以点M在第四象限的充要条件是a+20,且1-2a0,解得aC.答案:C10.设z1,z2是复数,下列命题是假命题的是()A.若|z1-z2|=0,B.若|z1|=|z2|,则C.若D.若z1-z20,则z1z2解析:令z1=a1+b1i(a1,b1∈R),z2=a2+b2i(a2,b2∈R),-b1i-b2i.|z1-z2|=|a1-a2+(b1-b2)i|a1=a2,b1=b2,所以z1=z2A正确;若|z1|=|z2|,zB正确;z1=a1+b1-b2i,可得a1=a2,b1=-b2,所-b1i=a2+b2i=z2,故C正确.故选D.答案:D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.已知a,b∈R,若a-1+2ai=4+bi,则b=.解析:由题意,答案:1012.若复数z1=4+29i,z2=6+9i,其中i是虚数单位,则复数(z1-z2)i的实部为.解析:因为z1-z2=(4+29i)-(6+9i)=-2+20i,所以(z1-z2)i=-20-2i,其实部为-20.答案:-2013.若复数z满足z(1+i)=1-i(i是虚数单位),则其共轭复.解析:设z=a+bi(a,b∈R),则(a+bi)(1+i)=1-i,即a-b+(a+b)i=1-i,所以z=-i.所.答案:i14.若复数z满z在复平面内对应点的轨迹所围成图形的面积等于.解析:设z=x+yi(x,y∈R),则(x-yi)(x+yi)+(x+yi)+(x-yi)=3,即x2+y2+2x-3=0,因此(x+1)2+y2=4,故复数z在复平面内对应点的轨迹是一个圆,其面积等于π·22=4π.答案:4π15.对于任意两个复数z1=x1+y1i,z2=x2+y2i(x1,x2,y1,y2∈R),定义运算“☉”为z1☉z2=x1x2+y1y2.设非零复数ω1,ω2在复平面内对应的点分别为P1,P2,点O为坐标原点,若ω1☉ω2=0,则在△P1OP2中,∠P1OP2的大小为.解析:设非零复数ω1=a1+b1i,ω2=a2+b2i(a1,a2,b1,b2∈R,≠0≠0),则得点P1(a1,b1),P2(a2,b2).由题意知P1,P2不为原点,且由ω1☉ω2=0,得a1a2+b1b2=0.由两条直线垂直的充要条件,知直线OP1,OP2垂直.所以OP1⊥OP2,即∠P1OP2=90°.答案:90°三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)已知复数z=(2+i)m1-i).求当实数m取什么值时,复数z是:(1)零;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数?分析:先把复数z化简整理为a+bi(a,b∈R)的形式,再根据复数的分类及其几何意义求解即可.解:因为m∈R,所以复数z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i.(1)m=2时,z为零.(2)当m2-3m+2≠0,即m≠2,且m≠1时,z为虚数.(3)m=,z为纯虚数.(4)当2m2-3m-2=-(m2-3m+2),即m=0或m=2时,z是复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数.17.(8分)已知复数z满足|z|=1+3i-z,.解:设z=a+bi(a,b∈R),∵|z|=1+3i-z,-3i+a+bi=0,z=-4+3i,+4i.18.(9分)设z1,z2互为共轭复数,且(z1+z2)2+5z1z2i=8+15i,求z1,z2.解:设z1=x+yi(x,y∈R),则z2=x-yi.将z1,z2代入(z1+z2)2+5z1z2i=8+15i,得[(x+yi)+(x-yi)]2+5(x+yi)(x-yi)i=8+15i,即4x2+5(x2+y2)i=8+15i.利用复数相等的充要条件,解故所求复数z1,z219.(10分)复数z满足|z+||z|的最大值和最小值.解:|z+|-P为圆心,.如图所示,则|OP|=|-|显然|z|max=|OA|=|OP||z|min=|OB|=|OP|20.(10分)已知复数z1=cosα+isinα,z2=cosβ-isinβ,且zz1,z2的值.分析:解答本题的关键是利用复数相等的充要条件,将复数问题实数化,即从z,建立关于α,β的正弦、余弦的方程组,再结合三角函数的知识求解.解:由zcosα+isinα∴cosα+isinα+cosβ+isinβ即(cosα+cosβ)+i(sinα+sinβ.∴cos2α+sin2α整理,得cosβ=β,代入sin2β+cos2β=1,可解得sinβ=0或sinβ当sinβ=0时,cosβ=1,cosα=sinα当sinβ,cosβ=cosα=1,sinα=0.∴z1=z2=1或z1=1,z2=.