关于圆-需要分类讨论的几种类型

关于圆——需要分类讨论的几种类型圆是对称图形，既是轴对称也是中心对称，还具有旋转不变形性，所以会有许多的分类讨论情况。尤其是当题设中未画出图像时，更有可能要分类讨论。解答这一类问题时，需要按照一定的标准（定理、模型），分成若干种情况，逐一加以讨论。一、根据点与圆的位置关系，需要分类讨论例一：若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则此圆的半径为例二：P在⊙O内，距圆心O的距离为4，⊙O半径长为5，经过P点，交于⊙O的弦为整数的有多少条？例三：如图，⊙O的半径为2.5，动点P到定点O的距离为2，动点Q到P的点的距离为1，则点P、Q与⊙O有何位置关系？二、弦与弦的位置关系不唯一，需要分类讨论例四：1、⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD之间的距离是（）。A.7cmB.8cmC.7cm或1cmD.1cm2、已知弓形的弦长为8cm，所在圆的半径为5cm，则弓形的高为例五：如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB=2，AC=，在图中画出弦AD，使AD等于1，并求出∠CAD的度数。例六：1、油桶问题：一个横截面为圆的圆柱形油桶，放倒后油面为60cm，其半径为50cm，求油面的最大深度？2、拱桥问题：某地有一座圆弧形拱桥圆心为O，桥下水面宽度为7.2m，过O作OC⊥AB于D，交圆弧于C，CD=2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面AB=2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？三、点在直径上的位置不唯一，需要分类讨论例七：已知⊙O的直径AB=10cm，弦CD⊥AB于点于点M。若OM：OA=3：5，则弦AC的长为多少？四、弦所对圆周角的不唯一，需要分类讨论例八：圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为（）。A.30°或60°B.60°C.150°D.30°或150°例九：半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为3，那么这条线所对的圆周角的度数等于五、点与弦的相对位置时，需要分类讨论例十：⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC于D，且∠BOD＝48°，则∠BAC＝_________。例十一：在⊙O中，AB为直径，CD为弦，AB⊥CD，P为圆周上与C、D不重合的任意一点。判断COB与CPD的数量关系，并尝试证明你的结论。六、圆心与角的位置，需要分类讨论例十二：在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为和，则∠BAC的度数是____________。七、点在弧上的位置，需要分类讨论例十三：如下图，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、B不重合），则∠OPB＝_________度。八、相交圆圆心与公共弦的位置关系不唯一时，需要分类讨论例十四：已知半径为4和的两圆相交，公共弦长为4，则两圆的圆心距为_________。九、直线与圆的位置，需要分类讨论例十五：两圆的半径分别为4和2，如果它们的两条公切线互相垂直，求两圆的圆心距。十：圆和三角形的关系中，需要分类讨论例十六：1、△ABC内接于⊙O，AOC=1000，则ACB=2、△ABC是半径为2cm的园内接三角形，若BC=23cm，则∠A的度数为例十七：已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，OB=5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求AB的长。解答一、点与圆的位置关系，需要分类讨论例1：若所在⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a＞b），则此圆的半径为（）。分析：P可在园内，也可在圆外（A）（B）（C）或（D）a+b或a－b图1—1图1—2⑴P在圆内时。如图1—1。连接O、P所在的直线交⊙O于A、B。则PA=a，PB=b直径AB=PA+PB=a+b，半径OA=OB=AB=（a+b）⑵P在圆外时。如图1—2。此时直径AB=PA－PB=a－b，半径OA=OB=AB=（a－b）由⑴⑵可知，应选（C）。例二：过不在⊙O上的一点A，作⊙O的割线，交⊙O于B、C，且AB·AC＝64，OA＝10，则⊙O的半径R为___________。解：依题意，点A与⊙O的位置关系有两种：（1）点A在⊙O内，如图1，延长AO交⊙O于F，则AERAFR1010，由相交弦定理得：RR101064所以R241（负值已舍去）（2）点A在⊙O外，如图2，此时AERAFR1010，由割线定理得：101064RR所以R6（负值已舍去）故⊙O的半径R为241或6。二、弦与弦的位置关系不唯一，需要分类讨论例3：⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD之间的距离是（）。（A）7cm（B）8cm（C）7cm或1cm（D）1cm分析：弦AB与CD可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧。图2—1图2—2⑴弦AB与CD在圆心的同侧。如图2—1。过O作弦AB的垂线，交AB于M，交CD于N。连接OB，OD。∵AB∥CD，OM⊥AB，ON⊥CD由垂径定理，BM=AB=3cm，DN=CD=4cm，又OB=OD=5cm在Rt△BMO中，OM==4cm，同理ON=3cm∴MN=OM－ON=4－3=1cm⑵弦AB与CD在圆心的异侧。如图2—2。此时，MN=OM+ON=4+3=7cm故选（C）。例4：如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB=2，AC=，在图中画出弦AD，使AD等于1，并求出∠CAD的度数。分析：弦AC与弦AD可能在直径AB的同侧，可能在直径AB的异侧。⑴弦AC与弦AD在直径AB的同侧。如图3—1。连OC、OD。由OC=OD=AB=1，AC=∴OC+OD=AC∴∠AOC=90°，∠CAO=∠ACO=45°又OA=OD=AD，∴∠DAO=60°∴∠DAC=∠DAO－∠CAO=15°⑵弦AC与弦AD在直径AB的异侧。此时，∠DAC=∠DAO+∠CAO=115°三、点在直径上的位置不唯一，需要分类讨论例5：已知⊙O的直径AB=10cm，弦CD⊥AB于点于点M。若OM：OA=3：5，则弦AC的长为多少？分析：垂足M可能在半径OA上，也可能在半径OB上。⑴M在半径OA上。如图4—1。连接OC。OC=OA=AB=5cm，又OM：OA=3：5，∴OM=3cm∵AB是直径，弦CD⊥AB∴在Rt△OMC中，MC==4cm又AM=OA－OM=2cm∴在Rt△AMC中，AC===2（cm）⑵M在半径OB上。如图4—2.此时，AM=OA+OM=8cmAC===4（cm）四、弦所对圆周角的不唯一，需要分类讨论例6：圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为（）。（A）30°或60°（B）60°（C）150°（D）30°或150°分析：弦（不是直径）所对的弧有两条，一条优弧，一条劣弧，因此，一条弦所对的圆周角也有两个，并且这两个圆周角互补。如图5。劣弧所对的角为∠ACB，优弧所对的角为∠ADB。由AB=0A=OB，∴∠AOB=60°∴∠ACB=∠AOB=30°∠ADB=（360°－∠AOB）=（360°－60°）=150°故选（D）五、点与弦的相对位置，需要分类讨论例7：⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC于D，且∠BOD＝48°，则∠BAC＝_________。解：（1）点A和圆心O在弦BC同侧，如图3，可求得∠BAC＝∠BOD＝48°（2）点A和圆心O在弦BC异侧，如图4，可求得∠BAC＝132°六、圆心与角的位置，需要分类讨论例8：在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为3和2，则∠BAC的度数是____________。解：如图7，当圆心在∠BAC内部时，连接AO并延长交⊙O于E在Rt△ABE中，由勾股定理得：BEAE112所以∠BAE＝30°同理，在Rt△CAE中，EC＝AC，所以∠EAC＝45°，∠BAC304575当圆心O在∠BAC的外部时（∠BAC'），由轴对称性可知：∠BAC'453015所以∠BAC为75°或15°七、点在弧上的位置，需要分类讨论例9：如图8，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、B不重合），则∠OAB＝_________度，∠OPB＝_________度。解：依题意可知△AOB是等腰直角三角形，所以∠OAB＝45°当动点P在OAB⌒上时，∠OPB＝∠OAB＝45°当动点P在OB⌒上时，∠OPB＝180°－45°＝135°故∠OPB为45°或135°。八、相交圆圆心与公共弦的位置关系不唯一，需要分类讨论图8例10：已知半径为4和22的两圆相交，公共弦长为4，则两圆的圆心距为_________。分析：相交两圆圆心的位置有在公共弦的同侧和异侧两种情况。解：如图9、图10，在RtOAC1中，OCOAAC1122224223在RtOAC2中，OCOAAC2222222222（1）当圆心OO12、在公共弦AB的同侧时，如图9。OOOCOC1212232（2）当圆心OO12、在公共弦AB的异侧时，如图10。OOOCOC1212232九、直线与圆的位置，需要分类讨论例11：两圆的半径分别为4和2，如果它们的两条公切线互相垂直，求两圆的圆心距。分析：两圆的公切线有内公切线和外公切线两种，公切线互相垂直，有三种情况。解：（1）当内公切线与外公切线垂直时，如图11，AB切⊙O1于A，切⊙O2于B，EF切⊙O1于E，切⊙O2于F，AB⊥EF于D。由切线定理，得：∠∠∠∠ODAODEODBODF11224545所以∠，，ODOODOD1212904222故有OOODOD121222210（2）当内公切线垂直时，如图12，作OElODl1221⊥，⊥，交点为E，则OOOEOE12122222424262（3）当外公切线垂直时，如图13，作OElOFlOGOE122221⊥，⊥，⊥于G，则OOOGOGOEGEEF1212221222242222.