极坐标与参数方程高考真题

1极坐标1、定义设M是平面内一点，极点O与点M的距离||OM叫作点M的极径，记为，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫作点M的极角，记为，有序实数对(,)叫作点M的极坐标，记为(,)M（1）当M在极点时，它的极坐标为(0,)（R）（2）一般地，如果规定0,02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示，同时极坐标(,)表示的点也是唯一的2、极坐标与平面直角坐标的转化设点M直角坐标为()xy，，极坐标为(,)（0），则有cossinxy==或者22tanxyyx+==（0x）2参数方程1、概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点P的坐标xy、都是某个变数t的函数：()()xftygt==，并且对于t的每一个允许的取值，由方程组确定的点(,)xy都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，变数t叫作变参数，简称参数。相对而言，直接给出点的横纵坐标之间的关系的方程叫普通方程3、圆与椭圆参数方程圆222xyr+=的参数方程为cossinxryr==；（为参数）圆22200()()xxyyr−+−=的参数方程00cossinxxryyr=+=+（为参数）椭圆22221xyab+=的参数方程cossinxayb==（为参数）4、直线参数方程过点000(,)Pxy、倾斜角为的直线l的参数方程为00cos[0,)sinxxtyyt=+=+，其中t表示点(,)Pxy与0P之间的有向线段的数量（有正负）。当0PP与(cos,sin)方向一致时，t为正；方向相反时，t为负当已知直线的方向向量为(,)ab时，直线的参数方程也可以写成00xxatyybt=+=+，此时t的正负由0PP与(,)ab向量的方向相同还是相反决定，且有220||||PPabt=+已知直线ykxb=+，则此直线的一个方向向量为(1,)k；已知直线0axbyc++=，则此直线的一个方向向量为(,)ba−，法向量为(,)ab3极坐标与参数方程高考真题1、（2018全国1）在直角坐标系xOy中，曲线1C的方程为||2ykx=+，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为22cos30+−=.（1）求2C的直角坐标方程；（2）若1C与2C有且仅有三个公共点，求1C的方程.2、（2018全国2）在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为2cos4sinxy==，（为参数），直线l的参数方程为1cos2sinxtyt=+=+，（t为参数）（1）求C和l的直角坐标方程（2）若曲线C截直线l所得线段中点坐标为(1,2)，求直线l的斜率43、（2018全国3）在平面直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为cossinxy==，（为参数），过点(0,2)−且倾斜角为的直线l与圆O交于AB、两点（1）求的取值范围（2）求AB的中点P的轨迹的参数方程4、（2016全国1）在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为cos1sinxatyat==+（t为参数，0a）。在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4cos=C（1）说明1C是哪一种曲线，并将1C的方程化为极坐标方程（2）直线3C的极坐标方程为0=，其中0满足0tan2=，若曲线1C与2C的公共点都在3C上，求a55、（2016全国2）在平面直角坐标系xOy中，圆C方程为22(6)25++=xy（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程（2）直线l的参数方程是cos()sin为参数==xttyt，l与C交于,AB两点，||10=AB，求l的斜率6、（2016全国3）在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为3cos()sinxy==为参数.以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()224+=（1）写出1C的普通方程和2C的直角坐标系方程（2）设点P在1C上，点Q在2C上，求||PQ的最小值及此时P的直角坐标67、（2015全国1）在平面直角坐标系xOy中，曲线1:2Cx=−，圆222:(1)(2)1Cxy−+−=，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求12,CC的极坐标方程（2）若直线3C的极坐标方程为4=（R），设2C与3C的交点为MN、，求2CMN△的面积8、（2014全国1）已知曲线22:149xyC+=，直线2:()22xtltyt=+=−为参数（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求PA的最大值与最小值7【参考答案】1、（1）由cosx=，siny=得2C的直角坐标方程为22(1)4xy++=．（2）由（1）知2C是圆心为(1,0)A−，半径为2的圆．由题设知，1C是过点(0,2)B且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为1l，y轴左边的射线为2l．由于B在圆2C的外面，故1C与2C有且仅有三个公共点等价于1l与2C只有一个公共点且2l与2C有两个公共点，或2l与2C只有一个公共点且1l与2C有两个公共点当1l与2C只有一个公共点时，A到1l所在直线的距离为2，所以2|2|21kk−+=+，故43k=−或0k=．经检验，当0k=时，1l与2C没有公共点；当43k=−时，1l与2C只有一个公共点，2l与2C有两个公共点．当2l与2C只有一个公共点时，A到2l所在直线的距离为2，所以2|2|21kk+=+，故0k=或43k=．经检验，当0k=时，1l与2C没有公共点；当43k=时，2l与2C没有公共点．综上，所求1C的方程为4||23yx=−+．2、（1）曲线C的直角坐标方程为221416xy+=．当cos0时，l的直角坐标方程为tan2tanyx=+−，当cos0=时，l的直角坐标方程为1x=．（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程22(13cos)4(2cossin)80tt+++−=．①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为1t，2t，则120tt+=．8又由①得1224(2cossin)13costt++=−+，故2cossin0+=，于是直线l的斜率tan2k==−．3、（1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点．当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．综上，的取值范围是．（2）的参数方程为为参数，．设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是为参数，4、2211(I)(0,1),:2sin10(II)1CaCaa−+−==是以为圆心为半径的圆，5、2(I):12cos1101515(II)33C++=−或O221xy+=2=lO2tank=l2ykx=−lO22||11k+1k−1k(,)42(,)24(,)44lcos,(2sinxttyt==−+44)ABPAtBtPt2ABPttt+=AtBt222sin10tt−+=22sinABtt+=2sinPt=P(,)xycos,2sin.PPxtyt==−+P2sin2,222cos222xy==−−(44)96、2212min(I):1,:40331(II)||2,(,)22xCyCxyPQP+=+−==7、（1）1:cos2C=−；22:2cos4sin40C−−+=（2）128、2cos(I)(),:2603sin22525(II)|PA|,|PA|55xClxyy=+−==曲线的参数方程直线普通方程最大值最小值