2013年数学高考备考二轮复习 核心考点一 第3课时 函数与方程

第3课时函数与方程1．(2012年广东)函数y＝的定义域为_______________．⇔－1≤x0或x0.x＋1x[－1,0)∪(0，＋∞)解析：y＝x＋1x中的x满足：x＋1≥0，x≠02．(2012年天津)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：因为函数f(x)＝2x＋x3－2的导数为f′(x)＝2xln2＋3x2≥0，所以函数f(x)＝2x＋x3－2单调递增．又f(0)＝1－2＝－10，f(1)＝2＋1－2＝10，所以根据根的存在性定理可知，函数在区间(0,1)内的零点个数为1个．故选B.B3．(2011年广东)设函数f(x)＝x3cosx＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.4．(2011年广东)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A．f(x)＋|g(x)|是偶函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数解析：因为g(x)是R上的奇函数，所以|g(x)|是R上的偶函数，从而f(x)＋|g(x)|是偶函数．故选A.－9解析：f(a)＝a3cosa＋1＝11，即a3cosa＝10，则f(－a)＝(－a)3cos(－a)＋1＝－a3cosa＋1＝－10＋1＝－9.A从近几年广东的高考试题看(2010年是个例外)，函数与方程问题是广东高考的热点内容，在2005年和2007年都以解答题的形式出现，考查函数的基本性质及方程根的分布．在备考时应着重注意新课标增加的内容“二分法”及“利用根的存在性定理”确定根的范围．数形结合法讨论方程的根的分布例1：(2011年陕西)函数f(x)＝在[0，＋∞)内()A．没有零点C．有且仅有两个零点B．有且仅有一个零点D．有无穷多个零点y＝cosx，它们在[0，＋∞)的图象如图1，显然两函数的图象的交点有且只有一个，∴函数f(x)＝在[0，＋∞)内有且仅有一个零点．x－cosx解析：令f(x)＝x－cosx＝0，则x＝cosx，设函数y＝xx－cosx图1答案：B【思维点拨】利用数形结合法进行直观判断，也可根据函数的性质(值域、单调性等)进行判断．【配对练习】1．(2012年天津)已知函数y＝|x2－1|x－1的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是____________．解析：函数y＝|x2－1|x－1＝|x－1x＋1|x－1.当x≥1时，y＝|x2－1|x－1＝|x＋1|＝x＋1；当x1时，y＝|x2－1|x－1＝－|x＋1|＝－x－1，－1≤x1，x＋1，x－1.综上所述，函数y＝|x2－1|x－1＝x＋1，x≥1，－x－1，－1≤x1，x＋1，x－1.作出函数的图象如图D3的实线部分，要使函数y与y＝kx－2有两个不同的交点，则直线y＝kx－2必须在四边形区域ABCD内(和直线y＝x＋1平行的直线除外)如图D3，答案：(0,1)∪(1,4)图D3此时直线经过点B(1,2)，则k＝2－－21－0＝4.综上所述，实数的取值范围是0k4，且k≠1，即0k1或1k4.利用函数的性质讨论方程根的分布例2：(2012年湖北)函数f(x)＝xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为()A．4个B．5个C．6个D．7个∈[0,4]，k＝0,1,2,3,4，∴共有6个解．故选C.答案：C解析：f(x)＝0，则x＝0或cosx2＝0，x2＝kπ＋π2，k∈Z，又xZ【配对练习】2．(2012年山东)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2012)＝()A．335B．338C．1678D．2012解析：由f(x＋6)＝f(x)，可知函数的周期为6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)＝f(1)＋f(2)＋335×1＝335＋3＝338.故选B.B3．(2012年江苏)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，其中a，b∈R.若则a＋3b的值为________．联立①②，解得a＝2，b＝－4，∴a＋3b＝－10.f(x)＝ax＋1－1≤x0，bx＋2x＋10≤x≤1，f12＝f32，－10解析：∵f(x)是定义在R上且周期为2的函数，∴f(－1)＝f(1)，即－a＋1＝b＋22.①又∵f32＝f－12＝－12a＋1，f12＝b＋43，f12＝f32，∴－12a＋1＝b＋43.②利用导数讨论方程的根的分布例3：(2012年广东佛山一模)设a∈R，函数f(x)＝lnx－ax.(1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在点P(1，－2)处的切线方程；(2)若f(x)无零点，求实数a的取值范围；(3)若f(x)有两个相异零点x1，x2，求证：x1·x2e2.解：在区间(0，＋∞)上，f′(x)＝1x－a＝1－axx.(1)当a＝2时，f′(1)＝1－2＝1，则切线方程为y－(－2)＝－(x－1)，即x＋y＋1＝0.(2)方法一：①若a0，则f′(x)0，f(x)是区间(0，＋∞)上的增函数，∵f(1)＝－a0，f(ea)－aea＝a(1－ea)0，∴f(1)·f(ea)0，函数f(x)在区间(0，＋∞)有唯一零点．②若a＝0，f(x)＝lnx有唯一零点x＝1.③若a0，令f′(x)＝0，得x＝1a.在区间0，1a上，f′(x)0，函数f(x)是增函数；在区间1a，＋∞上，f′(x)0，函数f(x)是减函数．故在区间(0，＋∞)上，f(x)的极大值为f1a＝ln1a－1＝－lna－1.③若a0，令f′(x)＝0，得x＝1a.在区间0，1a上，f′(x)0，函数f(x)是增函数；在区间1a，＋∞上，f′(x)0，函数f(x)是减函数．故在区间(0，＋∞)上，f(x)的极大值为f1a＝ln1a－1＝－lna－1.故在区间(0，＋∞)上，f(x)的极大值为f1a＝ln1a－1＝－lna－1.由f1a0，即－lna－10，解得a1e.故所求实数a的取值范围是1e，＋∞.方法二：函数f(x)无零点⇔方程lnx＝ax，即a＝lnxx在(0，＋∞)上无实数解．令g(x)＝lnxx，则g′(x)＝1－lnxx2.由g′(x)＝0，即1－lnxx2＝0，得x＝e.在区间(0，e)上，g′(x)0，函数g(x)是增函数；在区间(e，＋∞)上，g′(x)0，函数g(x)是减函数．故在区间(0，＋∞)上，g(x)的极大值为g(e)＝1e.注意到当x∈(0,1)时，g(x)∈(－∞，0)；当x＝1时，g(1)＝0；当x∈(1，＋∞)时，g(x)∈0，1e.故方程a＝lnxx在(0，＋∞)上无实数解⇔a1e.即所求实数a的取值范围是1e，＋∞.注：方法二只说明了gx的值域是－∞，1e，但并没有证明(3)设x1x20，∵f(x1)＝0，f(x2)＝0，∴lnx1－ax1＝0，lnx2－ax2＝0.∴lnx1＋lnx2＝a(x1＋x2)，lnx1－lnx2＝a(x1－x2)．则原不等式x1·x2e2⇔lnx1＋lnx22⇔lnx1－lnx2x1－x22x1＋x2⇔lnx1x22x1－x2x1＋x2.令x1x2＝t，则t1，于是lnx1x22x1－x2x1＋x2⇔lnt2t－1t＋1，设函数g(t)＝lnt－2t－1t＋1(t1)，则g′(t)＝1t－4t＋12＝t－12tt＋120，故函数g(t)是(1，＋∞)上的增函数，∴g(t)g(1)＝0.即不等式lnt2t－1t＋1成立，故所证不等式x1·x2e2成立(2)求函数g(x)＝【配对练习】4．(2012年广东深圳二模)已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．(1)求函数f(x)的解析式；－4lnx的零点个数．fxx解：(1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，∴f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a0.∵a0，f(x)＝a[(x－1)2－4]≥－4，且f(1)＝－4a，∴f(x)min＝－4a＝－4，得a＝1.故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.(2)∵g(x)＝x2－2x－3x－4lnx＝x－3x－4lnx－2(x0)，∴g′(x)＝1＋3x2－4x＝x－1x－3x2.x，g′(x)，g(x)的取值变化情况如表：x(0,1)1(1,3)3(3，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)极大值极小值x，g′(x)，g(x)的取值变化情况如表：当0x≤3时，g(x)≤g(1)＝－40.又g(e5)＝e5－－20－225－1－22＝90.故函数g(x)只有1个零点，且零点x0∈(3，e5)．3e5函数与方程部分主要考查两个方面：(1)二分法(新课标增加的内容，高考的热点内容，多以选择题形式命题)：①如果函数y＝f(x)在区间[m，n]上的图象是连续不断的一条曲线，且f(m)·f(n)0，则函数y＝f(x)在区间(m，n)上有零点，通过不断地把函数y＝f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．②给定精度ε，用二分法求函数y＝f(x)的零点近似值的步骤如下：f(m)f(x1)0，则令n＝x1[此时零点x0∈(m，x1)]；若f(x1)f(n)0，则令m＝x1[此时零点x0∈(x1，n)]．ⅰ)确定区间[m，n]，验证f(m)·f(n)0，给定精度ε；ⅱ)求区间[m，n]的中点x1；ⅲ)计算f(x1)：若f(x1)＝0，则x1就是函数y＝f(x)的零点；若(2)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布：①方程f(x)＝0的两根中一根比r大，另一根比r小⇔a·f(r)＜0.④二次方程f(x)＝0在区间(p，q)内只有一根⇔f(p)·f(q)＜0.若f(p)＝0，则另一根在(p，q)内；若f(q)＝0，则另一根在(p，q)内．②二次方程f(x)＝0的两根都大于r⇔Δ＝b2－4ac0，－b2ar，a·fr0.③二次方程f(x)＝0在区间(p，q)内有两根⇔Δ＝b2－4ac0，p－b2aq，a·fq0，a·fp0.