2013年数学高考备考二轮复习 核心考点一 第4课时 函数与导数

第4课时函数与导数1．(2012年广东)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________________．解析：y′＝3x2－1，当x＝1时，y′＝2，此时k＝2，故切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.2x－y＋1＝02．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y)＝(1－x)f′(x)的图象如图1，则下列结论中一定成立的是(A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)图1解析：由图象可知，当x－2时，y＝(1－x)f′(x)0，所以此时f′(x)0，函数递增；当－2x1时，y＝(1－x)f′(x)0，所以此时f′(x)0，函数递减；当1x2时，y＝(1－x)f′(x)0，所以此时f′(x)0，函数递减；当x2时，y＝(1－x)f′(x)0，所以此时f′(x)0，函数递增．所以函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)．故选D.答案：D3.(2011年广东)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．解析：∵f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)或(2，＋∞)，递减区间为(0,2)，∴f(x)在x＝2处取得极小值．22010年广东高考没有考导数，2011年高考关于导数的内容是一大一小(其中大题是压轴题)，预计2013年高考会保持稳定，选择(填空)题应以导数的几何意义、导数的运算为主，解答题应以利用导数解决函数的单调性与最值为主．另外，定积分的内容是文科与理科的主要区分点，因此也很有可能以选择题或填空题的形式出现(2009年广东省高考曾出现一道在定积分背景下的小题)．利用导数求切线的斜率例1：已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在x＝2处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．解：(1)f′(x)＝3x2－8x＋5，f′(2)＝1，又f(2)＝－2.∴曲线f(x)在x＝2处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.解得x0＝2，或x0＝1.∴经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.(2)设切点坐标为(x0，x30－4x20＋5x0－4)，f′(x0)＝3x20－8x0＋5，则切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，又切线过点(x0，x30－4x20＋5x0－4)，则x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2)，整理，得(x0－2)2(x0－1)＝0，【思维点拨】(1)求曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处(该点为切点)的切线方程，其方法如下：①求出函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)，即函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率；②切点为P(x0，f(x0))，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(2)求曲线y＝f(x)过点P(x0，f(x0))(该点不一定为切点)的切线方程，其方法如下：①设切点A(xA，yA)，求切线的斜率k＝f′(xA)；②利用斜率公式k＝y0－yAx0－xA＝f′(xA)，建立关于xA的方程，解出xA，进而求出切线方程．【配对练习】1．(2011年湖南)曲线y＝处的切线的斜率为()sinxsinx＋cosx－12在点Mπ4，0A．－12B.12C．－22D.22解析：y′＝cosxsinx＋cosx－sinxcosx－sinxsinx＋cosx2＝1sinx＋cosx2，∴y′|x＝π4＝1sinπ4＋cosπ42＝12.π4xB，其中a为正实数．2．(2011年安徽)设f(x)＝(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．(1)当a＝时，求f(x)的极值点；43ex1＋ax2解：对f(x)求导，得f′(x)＝ex1＋ax2－2ax1＋ax22.①(1)当a＝43时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝32，x2＝12.结合①，知：xf′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值－∞，1212，3232，＋∞1232(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a0，知：ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，∴Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，解得0≤a≤1.又∵a0，∴0a≤1.∴x1＝32是极小值点，x2＝12是极大值点．定积分的应用例2：(2012年湖北)已知二次函数y＝f(x)的图象如图2，则它与x轴所围图形的面积为()A.2π5B.43C.32D.π2图2解析：根据图象，可得y＝f(x)＝－x2＋1，再由定积分的几何意义，可求得面积为S＝11(－x2＋1)dx＝13113xx＝43.答案：B【配对练习】3．(2011年福建10(ex＋2x)dx＝()A．1B．e－1C．eD．e＋1解析：01(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)10＝e＋1－e0－0＝e.C4．(2012年山东)设a0，若曲线y＝x与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.解析：由已知，得S＝32002d3aaxxx＝23a32＝a2，∴a12＝23.∴a＝49.a＝49导数的应用例3：(2012年广东汕头一模)设函数f(x)＝x－a(x＋1)ln(x＋1)(x－1，a≥0)．(1)求f(x)的单调区间；(2)当a＝1时，若方程f(x)＝t在－12，1上有两个实数解，求实数t的取值范围；(3)证明：当mn0时，(1＋m)n(1＋n)m.(1)解：f′(x)＝1－aln(x＋1)－a.①当a＝0时，f′(x)0，∴f(x)在(－1，＋∞)上是增函数；②当a0时，f(x)在(－1，1e1)aa上单调递增，在这［1e1,)aa上单调递减．(2)解：由(1)，知：f(x)在－12，0上单调递增，在[0,1]上单调递减，又f(0)＝0，f(1)＝1－ln4，f－12＝－12＋12ln2，∴f(1)－f－120.∴当t∈－12＋12ln2，0时，方程f(x)＝t有两个实数解．(3)证明：要证(1＋m)n(1＋n)m，只需证nln(1＋m)mln(1＋n)，只需证ln1＋mmln1＋nn.设g(x)＝ln1＋xx(x0)，则g′(x)＝x1＋x－ln1＋xx2＝x－1＋xln1＋xx21＋x.由(1)，知：x－(1＋x)ln(1＋x)在(0，＋∞)上单调递减，∴x－(1＋x)ln(1＋x)0，即g(x)是减函数．而mn，∴g(m)g(n)，故原不等式成立．【思维点拨】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、不等式等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识．【配对练习】5．(2012年新课标)已知函数f(x)满足f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋12x2.(1)求f(x)的解析式及单调区间；(2)若f(x)≥12x2＋ax＋b，求(a＋1)b的最大值．解：(1)∵f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋12x2∴f′(x)＝f′(1)ex－1－f(0)＋x.令x＝1，得f(0)＝1.f(x)＝f′(1)ex－1－x＋12x2⇒f(0)＝f′(1)e－1＝1⇒f′(1)＝e，即f(x)＝ex－x＋12x2⇒g(x)＝f′(x)＝ex－1＋x.g′(x)＝ex＋10⇒y＝g(x)在x∈R上单调递增．f′(x)0＝f′(0)⇔x0，f′(x)0＝f′(0)⇔x0.综上所述，f(x)的解析式为f(x)＝ex－x＋12x2，且单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)．(2)f(x)≥12x2＋ax＋b⇔h(x)＝ex－(a＋1)x－b≥0，则h′(x)＝ex－(a＋1)．①当a＋1≤0时，h′(x)0⇒y＝h(x)在x∈R上单调递增．当x→－∞时，h(x)→－∞与h(x)≥0矛盾．②当a＋10时，h′(x)0⇔xln(a＋1)，h′(x)0⇔xln(a＋1)，∴当x＝ln(a＋1)时，h(x)min＝(a＋1)－(a＋1)·ln(a＋1)－b≥0⇒(a＋1)b≤(a＋1)2－(a＋1)2·ln(a＋1)(a＋10)．令F(x)＝x2－x2lnx(x0)，则F′(x)＝x(1－2lnx)．F′(x)0⇔0xe，F′(x)0⇔xe.当x＝e时，F(x)max＝e2，故当a＝e－1，b＝e2时，(a＋1)b的最大值为e2.1．导数的几何意义是切线的斜率，物理意义是速度与加速度，代数意义就是瞬时增长率、瞬时变化率等．2．易错点：(1)求函数的导数首先要清楚对谁求导(即自变量是什么)，否则容易出错．(2)过点求切线方程应注意该点是否为切点，特别提醒：求“在某点处的切线方程”时，该点为切点；求“过某点的切线方程”时，该点有可能是切点，也有可能不是切点．(3)要彻底改变“切线与曲线有且只有一个公共点”、“直线与曲线只有一个公共点，则该直线就是切线”这一传统误区，如“直线y＝1与y＝sinx相切，却有无数个公共点”，而“直线x＝1与y＝x2只有一个公共点，显然直线x＝1不是切线”．3．定积分在几何中的应用：被积函数为y＝f(x)，由曲线y＝f(x)与直线x＝a，x＝b(ab)和y＝0所围成的曲边梯形的面积为S.(1)当f(x)0时，S＝abf(x)dx；(2)当f(x)0时，S＝－abf(x)dx；(3)当x∈[a，c]时，f(x)0；当x∈[c，b]时，f(x)0，则S＝acf(x)dx－cbf(x)dx.