2013年数学高考备考二轮复习 核心考点七 第20课时 排列与组合及二项式定理

核心考点七概率与统计第20课时排列与组合及二项式定理1．(2012年广东)的展开式中，x3的系数为________(用数字作答)．20x2＋1x6解析：Tr＋1＝Cr6(x2)6－r1xr＝Cr6x12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，∴C36＝20.2．(2011年广东)的展开式中，x4的系数是________(用数字作答)．84xx－2x7解析：求x4的系数即求x－2x7展开式中x3的系数，x－2x7展开式的通项为Tr＋1＝Cr7x7－r·(－2x－1)r＝(－2)rCr7x7－2r.由7－2r＝3，得r＝2.∴x4的系数是(－2)2C27＝84.3．(2010年广东)为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同．记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是()A．1205秒C．1195秒B．1200秒D．1190秒解析：每次闪烁的时间为5s，共5×120＝600s，每两次闪烁之间的间隔为5s，共5×(120－1)＝595s，则总共有600＋595＝1195s.答案：C计数原理、排列、组合与二项式定理是高考常考内容，计数原理、排列、组合往往与概率相结合，是解概率与统计解答题的基础，二项式定理一般是一道选择题或填空题．从近几年的高考试题看，二项式定理是每年必考，相对较独立，主要考查求特定项的系数．二项式系数例1：(2012年湖南)的二项展开式中的常数项为________(用数字作答)．2x－1x6答案：－160【思维点拨】本题主要考查二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法．解析：2x－1x6的展开式的通项是Tr＋1＝Cr6(2x)6－r－1xr＝Cr626－r(－1)rx3－r.由题意，知：3－r＝0，得r＝3，∴二项展开式中的常数项为T4＝C3623(－1)3＝－160.Tr＋1＝Crnan－rbr【配对练习】1．(2012年四川)(1＋x)7的展开式中，x2的系数是()DA．42C．28B．35D．21解析：由二项式定理，得T3＝C27·15·x2＝21x2，∴x2的系数为21.故选D.排列问题例2：7位同学站成一排：(1)共有多少种不同的排法？(2)站成两排(前3后4)，共有多少种不同的排法？(3)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(4)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(5)甲、乙不能站在两端的排法共有多少种？(6)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？(7)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？(8)甲、乙和丙三位同学都相邻的排法共有多少种？(9)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？(10)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(11)甲、乙、丙三位同学都不能相邻的排法共有多少种？(12)甲、乙、丙三位同学不都相邻的排法共有多少种？(13)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？(14)甲、乙两同学不能相邻，甲、丙两同学也不能相邻的排法共有多少种？(15)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？解：7位同学站成一排：(1)共有A77种不同的排法．(2)站成两排(前3后4)，共有A77种不同的排法．(3)其中甲站在中间的位置，共有A66种不同的排法．(4)甲、乙只能站在两端的排法共有A22A55种不同的排法．(5)甲、乙不能站在两端的排法共有A25A55种不同的排法．(6)甲不排头、乙不排尾的排法共有：方法一：甲排尾，共有A66种不同的排法；甲不排尾，共有A15A15A55种不同的排法；故共有A66＋A15A15A55种不同的排法．方法二：7位同学站成一排，共有A77种不同的排法；甲排头，共有A66种不同的排法；乙排尾，共有A66种不同的排法；甲排头且乙排尾，共有A55种不同的排法，故共有A77－2A66＋A55种不同的排法．(7)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列，有A66种不同的排法，再将甲、乙两位同学“松绑”进行排列，有A22种不同的排法．故这样的排法一共有A66A22＝1440种．(8)甲、乙和丙三位同学都相邻的排法共有A55A33＝720种．(9)甲、乙两位同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有：方法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A25种不同的排法；将剩下的4个元素进行全排列有A44种不同的排法；最后将甲、乙两位同学“松绑”进行排列，有A22种排法．所以这样的排法一共有A25A44A22＝960种不同的排法．小结：对于相邻问题，常用“捆绑法”(先捆后松)．方法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有2A55种不同的排法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有(A66－2A55)·A22＝960种不同的排法．方法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择，共有A14种不同的排法，再将其余的5个元素进行全排列共有A55种不同的排法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以一共有A14A55A22＝960种不同的排法．(10)甲、乙两同学不能相邻的排法共有：方法一：(排除法)A77－A66·A22＝3600种．方法二：(插空法)先将其余五位同学排好，有A55种不同的排法，此时他们留下六个位置(就称为“空”吧)，再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)，有A26种不同的排法，所以一共有A55A26＝3600种不同的排法．(11)甲、乙、丙三位同学都不能相邻的排法共有：先将其余四位同学排好，有A44种不同的排法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三位同学分别插入这五个“空”，有A35种不同的排法，所以一共有A44A35＝1440种不同的排法．(12)甲、乙、丙三位同学不都相邻的排法共有：7位同学站成一排，共有A77种不同的排法；甲、乙和丙三位同学都相邻的排法共有A55A33＝720种，故共有A77－A55A33种不同的排法．(13)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有A22A44A25种．(14)甲、乙两同学不能相邻，甲、丙两位同学也不能相邻的排法共有：7位同学站成一排，共有A77种不同的排法；甲、乙两同学相邻，共有A66A22＝1440种；甲、丙两同学相邻，共有A66A22＝1440种；甲、乙和丙三位同学都相邻且甲在乙和丙的中间，共有A55A22种不同的排法；故共有A77－2A66A22＋A55A22种不同的排法．(15)7位同学站成一排，共有A77种不同的排法，甲必须站在乙的左边的不同排法共有A772种．【思维点拨】(1)有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素(位置)法(优限法)；(2)某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；(3)某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；(4)在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排列问题的根基．【配对练习】2．(2012年安徽)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为()DA．1或3B．1或4C．2或3D．2或4解析：①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为2人，②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为4人．排列与组合问题例3：6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：(1)平均分给甲、乙、丙三人，每人两本；(2)平均分为三份，每份两本；(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；(5)分为三份，一份一本，一份一本，一份四本；(6)分给甲、乙、丙三人，甲一本，乙一本，丙四本；(7)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人一本，一人四本；(8)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．解：(1)平均分给甲、乙、丙三人，每人两本，有C26C24C22种不同的选法．(2)平均分为三份，每份两本，有C26C24C22A33种不同的选法．(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本，有C16C25C33种不同的选法．(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本，有C16C25C33A33种不同的选法．(5)分为三份，一份一本，一份一本，一份四本，有C16C15C44A22种不同的选法．(6)分给甲、乙、丙三人，甲一本，乙一本，丙四本，有C16C15C44种不同的选法．(7)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人一本，一人四本，有C16C15C44A22A33种不同的选法；(8)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有可能是1,2,3或1,1,4或2,2,2，所以共有C16C25C33A33＋C16C15C44A22A33＋C26C24C22种不同的选法．【思维点拨】注意分组与分到人之间的区别，还应特别注意“等分”之间没有顺序，对本题的各小题之间应充分理解其区别，才有可能真正地把握其实质，才有可能起到复习的功效．【配对练习】3．(2012年山东)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A．232种C．472种B．252种D．484种答案：C解析：若没有红色卡，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有C14C14C14＝64种不同取法；若有2色相同，则有C23C12C24C14＝144种不同取法；若红色卡片有1张，则剩余2张若不同色，有C14C23C14C14＝192种不同取法，若同色，则有C14C23C24＝72种不同取法，∴共有64＋144＋192＋72＝472种不同取法．故选C.1．关于排列、组合问题的求解，应掌握以下基本方法与技巧：①特殊优先原则：特殊元素(特殊位置)优先安排；②排列、组合混合问题先选后排(先组合后排列)；③相邻问题捆绑处理；④不相邻问题插空档处理；⑤“小集团”排列问题先整体后局部；⑥合理分类与准确分步；⑦正难则反，等价转化．2．在利用二项式定理解题时要掌握通项公式项的系数还是二项式系数．Tr＋1＝Crnan－rbr