计数原理专项讲义

计数原理专项训练王绳慧-2018年年2⽉月25⽇日⼀一、加乘原理理1、加法原理：做⼀件事有!类办法，每类办法中有!种⽅法，那么完整这件事⼀共有!种不同的⽅法2、乘法原理：做⼀件事有!个⼦步骤，每个步骤有!种⽅法，那么完整这件事⼀共有!种不同的⽅法本质区别：从!类办法中取⼀类，可以完成这个事情；从!个步骤中取⼀步，这个事情并没有完成举例：吃饭，可以吃饭（3家），⾯（4家），馄饨（6家）三类，⼀共有13种选择（吃任何⼀种都是完成了吃饭这件事情，分类）吃饭，先喝汤（3种），再吃主⾷（2种），再吃甜点（5种），⼀共有30种选择（汤喝完吃饭这件事情还没有结束，分步）⼩技巧：1、先分类再分步（先选后排）2、特殊元素特殊考虑3、正难则反【例1】⽤1，2，3，4，5这5个数字（1）可以组成_________个数字允许重复的四位数（2）可以组成_________个数字不重复的四位数（3）可以组成_________个数字不重复的四位偶数（4）可以组成_________个⼤于1300的数字不重复的四位数（5）可以组成_________个⼩于2200的数字不重复的四位数【答案】（1）625（2）120（3）48（4）114（5）30【例2】⽤0，1，2，3，4，5这6个数字，（1）可以组成_________个数字允许重复的三位数（2）可以组成_________个数字不允许重复的三位数（3）可以组成_________个数字不允许重复的三位奇数（4）可以组成_________个⼤于3000，⼩于5421的数字不重复的四位数nm1,m2...mnN=m1+m2...+mnnm1,m2...mnN=m1×m2...×mnnn排列列组合专项训练1王绳慧15895876847【答案】（1）180（2）100（3）48（4）175【拓展1】从1，2，3，4，5这5个数字中，随机抽取3个数字（允许重复），组成⼀个三位数，其各位数字之和等于9的数有_________个【答案】!3、概率的加乘原理（1）概率的加法原理：如果事件!可以分解成!⼏个互不交叉的事件，那么事件!发⽣的概率就等于!发⽣的概率之和【例】在数学考试中，⼩明的成绩在90分以上的概率是0.05，在80-89分的概率是0.1，在70-79分的概率是0.25，在60-69分的概率是0.5，60以下的概率是0.1，那么⼩明在数学考试中取得80分以上成绩的概率为0.05+0.1=0.15（2）概率的乘法原理：如果事件!的发⽣可以看成⼏个事件!的先后发⽣，那么事件!发⽣的概率就等于事件!发⽣的概率之积【例】投掷3枚硬币，3枚硬币都是正⾯朝上的概率为!4、利⽤加乘原理求事件出现的概率法⼀）!满⾜条件的事件的个数/总的事件的个数法⼆）概率的加乘原理【例3】袋中装有红、黄、⽩3中颜⾊的球，其中红球3个，黄球和⽩球各2个，有放回地抽取3次，求：（1）3只颜⾊全相同的概率；（2）3只颜⾊不全相同的概率；（3）3只颜⾊全不相同的概率；【答案】（1）!（2）!（3）!【拓展2】某情报站有!四种不同的密码，每周使⽤其中的⼀种密码，且每周都是上周未使⽤的三种密码中等可能地随机选⽤⼀种，若第⼀周使⽤!种密码，那么第五周也使⽤!种密码的概率是_________19AA1,A2...AnAA1,A2...AnAA1,A2...AnAA1,A2...An(12)3=18P=4334330034372343A,B,C,DAA排列列组合专项训练2王绳慧15895876847【答案】!⼆二、排列列1、排列数：从!个不同元素中取出!!个元素排成⼀列（考虑元素先后出现次序），称此为⼀个排列，此种排列的总数成为排列数。记为!2、阶乘：!!3、排列数的计算：!!（由乘法原理推导出来的）举例：从!中选取2个数，组成⼀个两位数，⼀共就有!种4、全排列：!【例4】（2017泰州期中）将数字1，2，3，4，5，6按第⼀⾏1个数，第⼆⾏2个数，第三⾏3个数的形式随机排列，设!表⽰第!中最⼤的数，则满⾜!的所有排列的种数是_________【答案】240【例5】（2015常州五校）!五⼈站成⼀排，如果!必须站在!的右边（!可以不相邻），那么不同的排法⼀共有_________种【答案】!三、组合1、组合数的定义：从!个不同元素中取出!!个元素的所有组合的个数，记为!组合和排列的区别就是组合只选不排，排列既要选还要排2、组合数的计算：!!（由排列数计算推导）举例：从全班15⼈中选取2⼈，⼀共就有!种选法727mn(n≤m)Anmn!=n(n−1)(n−2)...2⋅1(n+1)!n!=n+1Anm=m!(m−n)!=m(m−1)...(m−n+1)1,2,3A23=3×2=6Amm=m!Ni(i=1,2,3)iN1N2N3A,B,C,D,EBAA,BA35=60mn(n≤m)CnmCnm=m!n!(m−n)!=m(m−1)...(m−n+1)n!C215=15×142×1=105排列列组合专项训练3王绳慧158958768473、两个等式!（!的求法⼩技巧；规定!为1）!（可⽤实际意义解释⼀下，把!分成!和1两个部分）【例6】（2017扬州期末）在8张奖券中有⼀、⼆、三等奖各1张，其余5张⽆奖.将这8张奖券分配给4个⼈，每⼈2张，不同的获奖情况有_________种【答案】60【例7】熊⼤、熊⼆、熊三、熊四、熊五、熊六这六只熊打算⼀起做游戏，已知它们的⾝⾼依次递减.现在要从它们6个熊中选择出若⼲熊组成!两个⼩组，每个⼩组⾄少有1个熊，并且要求!组中最矮的要⽐!组中最⾼的还要⾼，请问有多少种不同的选法？【答案】129【例8】盒中共有9个球，其中4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜⾊外完全相同，从盒⼦中⼀次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为!，!中最⼤数为2的概率为_________【答案】!四、排列列组合中的常⽤用⼩小技巧1、插空法：适⽤用于要分开，不不能在⼀一起的时候（⼀一定要在⼀一起⽤用捆绑法）【例9】⼀个晚会的节⽬有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节⽬不能连续出场，则节⽬的出场顺序有_______种【答案】!【例10】在1，2，3，4，5，6，7的任⼀排列中，使相邻两数都互质的排列种数为________【答案】!2、捆绑法：适⽤用于条件中需要相邻的【例11】⽤字母!，数字!构成⼀个字符不重复的五位号牌，要求字母!不相邻，数字!相邻，可以构成的号牌个数是________【答案】!3、隔板法：适⽤用于需要分组的Cnm=Cm−nmC810C0mCnm+Cn+1m=Cn+1m+1n+1nA,BBAx1,x2,x3x1,x2,x31114A55A46A44×3×A24=864A,Y1,8,9A,Y8,92×2×A23=24排列列组合专项训练4王绳慧15895876847【例12】（1）10个运动员分给7个班，每个班⾄少⼀个，有_______种分配⽅案（2）10个运动员分给7个班，有_______种分配⽅案（3）!，!的整数解的个数为_________【答案】（1）!（2）!（3）!【拓展2】马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九只路灯，现在要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏或者3盏，也不能关掉两端的2盏，求满⾜条件的关灯⽅法有_________种【答案】!【拓展3】（2017福建预赛）将8个三好⽣名额分配给甲，⼄，丙，丁四个班级，每班⾄少⼀个名额，则甲班恰好分到2个名额的概率为_________【答案】!4、平均分组与有序分组问题【例13】（1）12个警察分3组，每组4个⼈，有_________种分法（2）12个警察分3组，每组4个分别到3个不同的路⼜执勤，有_________种分法【答案】（1）!（2）!5、环（圆）排问题直排法环形排列问题：如果在圆周上!个不同的位置编上不同的号码，那么从!个不同的元素的中选取!个不同的元素排在圆周上不同的位置，这种排列和直线排列是相同的；如果从!个不同的元素的中选取!个不同的元素排列在圆周上，位置没有编号，元素间的相对位置没有改变，不计顺逆⽅向，这种排列和直线排列是不同的，这就是环形排列的问题。【例14】（1）8⼈围桌⽽坐，共有_________种坐法（2）6颗颜⾊不同的钻⽯，可穿成_________种钻⽯圈【答案】（1）!（2）!x1+x2+x3=8(x1≥1,x2,x3≥0)C69C616C29C35=1027C412C48C44A33C412C48C44mnmnmA77=5040A55=120排列列组合专项训练5王绳慧158958768476、混合问题先选后排法【例15】⼀个班有6名战⼠，其中正、副班长各1⼈。现从中选4⼈完成四种不同的任务，每⼈完成⼀种任务，且正、副班长有且只有1⼈参加，则不同的选法有_________种【答案】!⾼考链接（2016江苏⾼考23）（1）求!的值（2）设!求证：!【解析】!又!则原式=!!五、⼆二项式定理理1、定理内容：!2、特殊地：①!时，!；②!时，!③!3、有条件的近似处理：!【例16】（1）（2017全国课标卷）!展开式中!的系数为_________C12C34A44=1927C36−4C47m,n∈N*,n≥m,(m+1)Cmm+(m+2)Cmm+1+(m+3)Cmm+2+...+nCmn−1+(n+1)Cmn=(m+1)Cm+2n+2(m+k+1)Cmm+k=(m+k+1)(m+k)!m!k!=(m+k+1)!(m+1)!k!(m+1)=(m+1)Ckm+k+1Cnm+Cn+1=mCn+1m+1(m+1)(C0m+1+C1m+2+...+Cn−mn+1)=(m+1)(1−C0m+2+C1m+3−C1m+3+...−Cn−m−1n+1+Cn−mn+2)=(m+1)Cm+2n+2(a+b)n=C0nan+C1nan−1b1+C2nan−2b2+...+Crnan−rbr+...+Cnnbna=1,b=x(1+x)n=1+C1nx+C2nx2+C3nx3+...+Cnnxna=1,b=−x(1−x)n=1−C1nx+C2nx2−C3nx3+...+(−1)nCnnxnC0n+C1n+C2n+...+Cnn=2n(1+x)n≈1+nx(1+1x2)(1+x)6x2排列列组合专项训练6王绳慧15895876847（2）（2013全国课标卷）设!为正整数，!展开式的⼆项式系数的最⼤值为!，!展开式的⼆项式系数的最⼤值为!.若!，则!_________（3）（2015盐城三模）设!.若数列!的各项均为1，则!_________【答案】（1）30（2）6（3）0【例17】（2017苏北四市）已知等式!（1）求!展开式中含!的项的系数，并化简：!（2）证明：!【答案】（1）!【例18】设!（1）求值：①!②!（2）化简：!【答案】（1）①0②0（2）!m(x+y)2ma(x+y)2m+1b13a=7bm=F(n)=a1−a2C1n+a3C2n−a4C3n+...+(−1)nan+1Cnn(n≥2,n∈N*){an}F(n)=(1+x)2n−1=(1+x)n−1⋅(1+x)n(1+x)2n−1xnC0n−1Cnn+C1n−1Cn−1n+...+Cn−1n−1Cn(C1n)2+2(C2n)2+...+n(Cnn)2=nCn2n−1Cn2n−1n∈N*,n≥3,k∈N*kCkn−nCk−1n−1k2Ckn−n(n−1)Ck−2n−2−nCk−1n−112C0n+22C1n+32C2n+...+(k+1)2Ckn+...+(n+1)2Cnn2n−2(n2+5n+4)排列列组合专项训练7王绳慧15895876847