高中数学极值点偏移问题

极值点偏移问题沈阳市第十一中学数学组：赵拥权一：极值点偏移（俗称峰谷偏）问题的定义对于可导函数y=f(x)在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点𝑥0,方程f(x)=0(f(x)=m)的解分别为𝑥1,𝑥2且a𝑥1𝑥0𝑥2b.若𝑥1+𝑥22≠𝑥0，,则称函数f(x)在区间（a,b）上极值点𝑥0偏移；（1）𝑥1+𝑥22𝑥0,则称函数f(x)在区间（a,b）上极值点𝑥0左偏移；（2）𝑥1+𝑥22𝑥0,则称函数f(x)在区间（a,b）上极值点𝑥0右偏移；二：极值点偏移的判定定理对于可导函数y=f(x)在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点𝑥0,方程f(x)=0（f(x)=m)的解分别为𝑥1,𝑥2且a𝑥1𝑥2b.（1）若f(𝑥1)𝑓(2𝑥0−𝑥2)则𝑥1+𝑥22𝑥0即函数f(x)在区间（a,b）上极大值点𝑥0右偏；（即峰偏右）（2）若f(𝑥1)𝑓(2𝑥0−𝑥2)则𝑥1+𝑥22𝑥0即函数f(x)在区间上（a,b）极小值点𝑥0左偏;（即谷偏左）（3）若f(𝑥1)𝑓(2𝑥0−𝑥2)则𝑥1+𝑥22𝑥0即函数f(x)在区间上（a,b）极大值点𝑥0左偏;（即峰偏左）（4）若f(𝑥1)𝑓(2𝑥0−𝑥2)则𝑥1+𝑥22𝑥0即函数f(x)在区间上（a,b）极小值点𝑥0右偏;（即谷偏右）x=𝑥1+𝑥22x=𝑥1+𝑥22y=mxy=f(x)x=𝑥0x=𝑥0拓展：1）若)()(xbfxaf，则)(xf的图象关于直线2bax对称；特别地，若)()(xafxaf（或f(x)=f(2a-x)），则)(xf的图象关于直线ax对称2）若函数f(x)满足∀x∈(0,a)有下列之一成立：①f(x)在(0,a)递增，在(a,2a)递减,且f(a-x)（）f(a+x)(f(x)()f(2a-x))②f(x)在(0,a)递减,在(a,2a)递增,且f(a-x)()f(x+a)(f(x)()f(2a-x))则函数f(x)在(0,2a)的图象关于直线x=a偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数)其中①极大值左偏（或右偏）也称峰偏左（或右）②极小值偏左（或偏右）也称谷偏左（或右）；性质：1))(xf的图象关于直线ax对称若𝑥1,𝑥2∈(0,2𝑎)𝑥1≠𝑥2则𝑥1+𝑥2=2𝑎=f(𝑥1)=𝑓(𝑥2),(𝑓′(𝑥1)+𝑓′(𝑥2)=0,𝑓′(𝑥1+𝑥22)=0);2)已知函数是满足条件的极大值左偏（峰偏左）若𝑥1,𝑥2∈(0,2𝑎)𝑥1≠𝑥2则f(𝑥1)=𝑓(𝑥2)则𝑥1+𝑥22a,及𝑓′(𝑥1+𝑥22)0极值点偏移解题步骤：①求函数f(x)的极值点𝑥0；②构造函数F(x)=f(x+𝑥0)-f(𝑥0−𝑥)(F(x)=f(𝑥0−𝑥)-f(𝑥0+𝑥),F(x)=f(x+2𝑥0)-f(−𝑥),F(x)=f(x)-f(2𝑥0−𝑥))确定F(x)单调性③结合F(0)=0（F(-𝑥0)=0,F(𝑥0)=0)判断F(x)符号从而确定f(x+𝑥0),f(𝑥0−𝑥)(f(x+2𝑥0)与f(−𝑥);f(x)与f(2𝑥0−𝑥)）的大小关系;答题模式：已知函数y=f(x)满足f(𝑥1)=𝑓(𝑥2),𝑥0为函数y=f(x)的极值点,求证：𝑥1+𝑥22𝑥0①求函数f(x)的极值点𝑥0；②构造函数F(x)=f(x+𝑥0)-f(𝑥0−𝑥)确定F(x)单调性③判断F(x)符号从而确定f(x+𝑥0),f(𝑥0−𝑥)的大小关系;假设F(x)在(0,+∞）上单调递增则F(x)F(0)=0，从而得到x0时f(x+𝑥0)f(𝑥0−𝑥)④1.（2016年全国I高考）已知函数有两个零点.设x1，x2是的两个零点，证明：+x22.2.(2010年高考天津卷理科21)（本小题满分14分）已知函数f(x)=xe-x（xR）.(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值；(Ⅱ)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，证明当x1时，f(x)g(x)(Ⅲ)如果12,xx且12()(),fxfx证明122xx证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)2xe令F(x)=f(x)-g(x),即2()(2)xxFxxexe于是22'()(1)(1)xxFxxee当x1时，2x-20,从而2x-2e10,0,Fxe又所以’(x)0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。又F(1)=-1-1ee0，所以x1时，有F(x)F(1)=0,即f(x)g(x).Ⅲ)证明：（1）若121212(1)(1)0,)),1.xxxxxx12由（）及f(xf(x则与矛盾。（2）若121212(1)(1)0,)),.xxxxxx12由（）及f(xf(x得与矛盾。根据（1）（2）得1212(1)(1)0,1,1.xxxx不妨设由（Ⅱ）可知，)2f(x)2g(x,则)2g(x=)2f(2-x，所以)2f(x)2f(2-x,从而)1f(x)2f(2-x.因为21x，所以221x，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以1x22x,即12xx2.3.已知函数．（I）讨论的单调性；（II）设，证明：当时，；（III）若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：xaaxxxf)2(ln)(2)(xf0aax10)1()1(xafxaf)(xfyf（x0）＜0．解：（I）（i）若单调增加.（ii）若且当所以单调增加，在单调减少.（II）设函数则当.故当，………………8分（III）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，故，从而的最大值为不妨设由（II）得从而由（I）知，4．已知函数f(x)=xlnx−12𝑚𝑥2−𝑥(m∈R)若f(x)有两个极值点𝑥1,𝑥2且𝑥1𝑥2求()(0,),fx的定义域为1(21)(1)()2(2).xaxfxaxaxx0,()0,()(0,)afxfx则所以在10,()0,afxxa则由得11(0,),()0,,()0.xfxxfxaa时当时1()(0,)fxa在1(,)a11()()(),gxfxfxaa3222()ln(1)ln(1)2,2()2.111gxaxaxaxaaaxgxaaxaxax10,()0,(0)0,()0xgxggxa时而所以10xa时11()().fxfxaa0,()ayfx时函数0a()fx11(),()0.ffaa且1212121(,0),(,0),0,0.AxBxxxxxa则111211()()()0.fxfxfxaaa1221021,.2xxxxxaa于是0()0.fx证::𝑥1∙𝑥2𝑒25.已知函数f(x)=𝑒𝑥−𝑎𝑥(a∈R)若f(x)有两个不同零点𝑥1,𝑥2且𝑥1𝑥2其极值点为𝑥°求证:①𝑥1+𝑥22②𝑥1+𝑥22𝑥°③𝑥1∙𝑥21（已知函数f(x)=𝑒𝑥−𝑎𝑥+𝑎(a∈R)，其图象与轴交于A(𝑥1,0)B(𝑥2,0)两点且𝑥1𝑥2，求证：𝑓′(√𝑥1∙𝑥2)0）6.已知函数f(x)=ln(x+a)−𝑎𝑥(a1)若f(x)有两个不同零点𝑥1,𝑥2且𝑥1𝑥2求证：𝑥1+𝑥207.已知函数f(x)=a−1𝑥−𝑙𝑛𝑥(a∈R)若f(x)有两个不同零点𝑥1,𝑥2且𝑥1𝑥2求证：2𝑥1+𝑥23𝑒𝑎−1-18.已知函数f(x)=xlnxf(𝑥1)=f(𝑥2)且0𝑥1𝑥21求证:①2𝑒𝑥1+𝑥21②1√𝑥1+√𝑥22√𝑒9．已知函数f(x)=lnx−𝑎𝑥(a∈R)若f(x)有两个不同零点𝑥1,𝑥2且𝑥1𝑥2求证：𝑥1∙𝑥2𝑒210.已知函数f(x)=x−𝑒𝑎𝑥(𝑎0)f(𝑥1)=f(𝑥2)=0且𝑥1𝑥2求证:𝑥1𝑥2𝑎𝑒11.已知函数f(x)=𝑙𝑛𝑥−𝑎𝑥−𝑏(a,b∈R)若f(x)有两个不同零点𝑥1,𝑥2且𝑥1𝑥2求证：𝑥1∙𝑥21𝑎212.已知函数f(x)=𝑥2−(𝑎−2)𝑥−𝑎𝑙𝑛𝑥(a∈R)若f(x)=c有两个不同根𝑥1,𝑥2求证：𝑓′(𝑥1+𝑥22)013.已知函数f(x)=alnx−𝑥2(a∈R)①令g(x)=f(x)+ax,g(x)在(0,3)单调递增求a范围;②当a=2时,函数h(x)=f(x)-mx的图象与轴交于A(𝑥1,0)B(𝑥2,0)且0𝑥1𝑥2又ℎ′(𝑥)是h(x)导函数,α0,β0且α≤β满足α+β=1证明:ℎ′(𝛼𝑥1+𝛽𝑥2)014．已知函数f(x)=(lnx−k−1)𝑥(k∈R)①若x1时讨论f(x)的单调性，并确定其极值;②若对∀x∈[𝑒,𝑒2]都有f(x)4lnx,求k范围;③若𝑥1≠𝑥2且f(𝑥1)=f(𝑥2)证明：𝑥1∙𝑥2𝑒2𝑘;15.已知函数f(x)=a𝑥2+𝑥−𝑙𝑛𝑥,(a0)①讨论f(x)的单调性;②f(x)的极值点为𝑥°若存在𝑥1,𝑥2∈(0,+∞)且𝑥1≠𝑥2求证:𝑥1+𝑥22𝑥°;16.已知函数f(x)=𝑥2−1+𝑎𝑙𝑛(1−𝑥),(a∈R);①讨论f(x)的单调性;②若f(x)存在两个极值点𝑥1,𝑥2，𝑥1𝑥2证明：𝑓(𝑥1)𝑥2𝑓(𝑥2)𝑥1;17.已知函数f(x)=x+alnx与g(x)=3-𝑏𝑥在(1,1)处有相同切线；①若y=2(x+n)与y=f(x)图象有两个交点,求n范围；②若F(x)=3(x−𝑚2)+𝑚2𝑔(𝑥)−2𝑓(𝑥)有两个极值点𝑥1,𝑥2，𝑥1𝑥2证明：F(𝑥2)𝑥2−1；18.已知函数g(x)=−a𝑥2+(2−𝑎)𝑥+𝑙𝑛𝑥,(a∈R)①讨论f(x)的单调性;②若f(x)=g(x)+(a+1)𝑥2−2𝑥有两个不同零点𝑥1,𝑥2,证明：𝑓′(𝑥1+𝑥22)0;19.已知函数g(x)=x∙𝑒(2−𝑎)𝑥,(a∈R);①讨论g(x)的单调性;②若f(x)=lng(x)-a𝑥2与y=m,(m∈R)图象有两个交点A、B,线段A、B中点为𝑥°，证明：𝑓′(𝑥°)0;20.已知函数f(x)=a𝑥32−𝑙𝑛𝑥−23图象的一条切线为x轴；①求a值；②令g(x)=|𝑓(𝑥)+𝑓′(𝑥)|若存在不同𝑥1,𝑥2满足g(𝑥1)=g(𝑥2),证明:𝑥1∙𝑥2121.已知函数F(x)与f(x)=lnx关于直线y=x对称；①若xf(x)≥ax−1对∀x∈(0,+∞)恒成立,求a最大值；②设f(x)∙F(x)=1在(1,+∞)的实根为𝑥°，m(x)={𝑥𝑓(𝑥)(1𝑥≤𝑥°)𝑥𝑓(𝑥)(𝑥𝑥°)若在区间(1,+∞)上存在m(𝑥1)=m(𝑥2),求证：𝑥1+𝑥22𝑥°22．已知函数f(x)=𝑒𝑥−12𝑥2−𝑎𝑥,(a∈R)；①若函数f(x)的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b,求a,b的值②若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；③如果函数g(x)=f(x)-(a-12)𝑥2恰有两个不同的极值点𝑥1,𝑥2,证明:𝑥1+𝑥22ln2a;23．已知函数f(x)=𝑥2-(a-2)x-al