2016-2017学年高中数学新人教版选修2-2课件：第一章-导数及其应用1.5定积分的概念

§1.5定积分的概念第一章导数及其应用1.了解定积分的概念.2.理解定积分的几何意义.3.通过求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程，了解“以直代曲”“以不变代变”的思想.4.能用定积分的定义求简单的定积分.学习目标栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠知识梳理自主学习知识点一曲边梯形的面积和汽车行驶的路程答案y＝f(x)1.曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示).答案小曲边梯形(2)求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些，对每个“以直代曲”,即用的面积近似代替的面积，得到每个小曲边梯形面积的，对这些近似值，就得到曲边梯形面积的(如图②所示).小曲边梯形小曲边梯形矩形近似值求和近似值(3)求曲边梯形面积的步骤：①，②，③，④.2.求变速直线运动的(位移)路程如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用，，，的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.答案分割近似代替求和取极限分割近似代替求和取极限思考(1)如何计算下列两图形的面积？答案①直接利用梯形面积公式求解.②转化为三角形和梯形求解.答案答案(2)求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？答案为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小.知识点二定积分的概念答案如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0x1…xi－1xi…xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)作和式i＝1nf(ξi)Δx＝i＝1nb－anf(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的，记作abf(x)dx，即abf(x)dx＝limn→∞i＝1nb－anf(ξi).定积分答案积分下限其中a与b分别叫做与，区间[a，b]叫做，函数f(x)叫做，x叫做，f(x)dx叫做.积分上限积分区间被积函数积分变量被积式思考(1)如何理解定积分？答案定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即abf(x)dx＝abf(u)du＝abf(t)dt＝…(称为积分形式的不变性)，另外，定积分abf(x)dx的值与积分区间[a，b]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分限不同，所得的值也不同，例如01(x2＋1)dx与03(x2＋1)dx的值就不同.答案答案①分割：将区间[a，b]n等分，记第i个小区间为[xi－1，xi]，区间长度Δx＝xi－xi－1；②近似代替、求和：取点ξi∈[xi－1，xi]，abf(x)dx≈i＝1nf(ξi)Δx；③取极限：abf(x)dx＝limΔx→0i＝1nf(ξi)Δx.(2)用定义求定积分abf(x)dx的一般步骤是什么？答案知识点三定积分的几何意义与性质1.定积分的几何意义由直线x＝a，x＝b(ab)，x轴及一条曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积设为S，则有：(1)在区间[a，b]上，若f(x)≥0，则S＝abf(x)dx，如图(1)所示，即.abf(x)dx＝S答案(2)在区间[a，b]上，若f(x)≤0，则S＝－abf(x)dx，如图(2)所示，即.abf(x)dx＝－S.(3)若在区间[a，c]上，f(x)≥0，在区间[c，b]上，f(x)≤0，则S＝acf(x)dx－cbf(x)dx，如图(3)所示，即(SA，SB表示所在区域的面积).abf(x)dx＝SA－SB答案2.定积分的性质(1)abkf(x)dx＝(k为常数)；(2)ab[f1(x)±f2(x)]dx＝；(3)abf(x)dx＝(其中acb).kabf(x)dxabf1(x)dx±abf2(x)dxacf(x)dx＋cbf(x)dx答案思考设v＝v(t)在时间区间[t1，t2]上连续且恒有v(t)≥0，定积分t1t2v(t)dt的意义是什么？返回答案答案定积分t1t2v(t)dt表示做变速直线运动的物体在时间区间[t1，t2]内经过的路程，这就是定积分t1t2v(t)dt的物理意义.题型探究重点突破题型一求图形的面积问题解析答案反思与感悟例1用定积分的定义求曲线y＝x3＋1与x＝0，x＝1及y＝0所围成的曲边梯形的面积.跟踪训练1求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形的面积.解析答案题型二求汽车行驶的路程解析答案例2汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为s＝vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝t2＋2(v的单位：km/h，t的单位：h)，那么它在1≤t≤2这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？反思与感悟解析答案跟踪训练2一物体自200m高空自由落下，求它在开始下落后的第3秒至第6秒之间的距离.(g＝9.8m/s2)题型三由定积分的几何意义求定积分解析答案例3利用定积分的几何意义，求：(1)－339－x2dx；解在平面上y＝9－x2表示的几何图形为以原点为圆心，以3为半径的上半圆，如图(1)所示.其面积为S＝12πr2＝92π.由定积分的几何意义知－339－x2dx＝92π.解析答案反思与感悟(2)03(2x＋1)dx.03(2x＋1)dx表示直线f(x)＝2x＋1，其面积为S＝12(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知03(2x＋1)dx＝12.解在坐标平面上，f(x)＝2x＋1为一条直线.x＝0，x＝3围成的直角梯形OABC的面积，如图(2)所示.解析答案跟踪训练3利用定积分的几何意义计算.(1)－11xdx；解如图①所示，定积分为图中阴影部分面积A减去B.∵SA＝SB＝12，∴－11xdx＝12－12＝0.解析答案(2)－RRR2－x2dx.解如图②所示，定积分为图中阴影部分面积，而阴影部分面积为π2R2，∴－RRR2－x2dx＝π2R2.解析答案因对定积分的几何意义理解不准确致误例4如图所示，f(x)在区间[a，b]上，则阴影部分的面积S为()返回A.abf(x)dxB.acf(x)dx－cbf(x)dxC.－acf(x)dx－cbf(x)dxD.－acf(x)dx＋cbf(x)dx易错易混防范措施当堂检测12341.把区间[1,3]n等分，所得n个小区间的长度均为()解析区间[1,3]的长度为2，B解析答案A.1nB.2nC.3nD.12n故n等分后，每个小区间的长度均为2n.1234A.与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关B.与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关C.与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关D.与f(x)、积分区间[a，b]和ξi的取法都有关A答案2.定积分abf(x)dx的大小()1234解析答案解析将区间5等分所得的小区间为1，65，65，75，75，85，85，95，95，2，1.02于是所求平面图形的面积近似等于1101＋3625＋4925＋6425＋8125＝110×25525＝1.02.1234①01xdx_____01x2dx；②024－x2dx_____022dx.4.根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：答案课堂小结(3)求和：i＝1nf(ξi)·b－an；1.求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤：(1)分割：n等分区间[a，b]；(2)近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；(4)取极限：S＝limn→∞i＝1nf(ξi)·b－an.“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点).2.定积分abf(x)dx是一个和式i＝1nb－anf(ξi)的极限，是一个常数.返回3.可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分.4.定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.