2016-2017学年高中数学人教A版选修2-2课件：1.5.3-定积分的概念

1.5.3定积分的概念定积分的概念问题1：求曲边梯形面积的步骤是什么？[提出问题]提示：分割、近似代替、求和、取极限．问题2：你能将区间[a，b]等分吗？提示：可以．[导入新知]定积分的概念如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0x1…xi－1xi…xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式i＝1nf(ξi)Δx＝____________，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫作函数f(x)在区间[a，b]上的，记作abf(x)dx，即abf(x)dx＝_______________．其中a与b分别叫做_________与，区间[a，b]叫做，函数f(x)叫做，x叫做，f(x)dx叫做．i＝1nb－anf(ξi)定积分limn→∞i＝1nb－anf(ξi)积分下限积分上限积分区间被积函数积分变量被积式[化解疑难]对定积分概念的理解由定义可得定积分abf(x)dx是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即abf(x)dx＝abf(t)dt＝abf(u)du.[提出问题]问题1：根据定积分的定义可求12(x＋1)dx的值是多少？提示：12(x＋1)dx＝52.问题2：12(x＋1)dx的值与直线x＝1，x＝2，y＝0，f(x)＝x＋1围成的梯形的面积有什么关系？提示：相等．定积分的几何意义[导入新知]定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有________，那么定积分abf(x)dx表示由________________所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分abf(x)dx的几何意义．f(x)≥0直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x)[化解疑难]评析定积分的几何意义关于定积分的几何意义，当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分abf(x)dx的几何意义是以曲线f(x)为曲边的曲边梯形的面积．一般情况下，如图，定积分abf(x)dx的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图象以及直线x＝a、x＝b之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号.[提出问题]问题1：利用定积分的定义，试求12x2dx，122xdx，12(x2＋2x)dx.提示：计算得12x2dx＝73，122xdx＝3，12(x2＋2x)dx＝163.问题2：由问题1计算得出什么结论？问题3：还有相类似的性质吗？定积分的性质提示：12x2dx＋122xdx＝12(x2＋2x)dx.提示：有．[导入新知]定积分的性质(1)abkf(x)dx＝(k为常数)；(2)ab[f1(x)±f2(x)]dx＝；(3)abf(x)dx＝acf(x)dx＋(其中acb)．kabf(x)dxabf1(x)dx±abf2(x)dxcbf(x)dx[化解疑难]对定积分的性质的说明定积分的性质(1)(2)被称为定积分的线性运算，定积分的性质(3)被称为区间的连续可加性，定积分的性质可以推广为：①ab[f1(x)±f2(x)±…±fm(x)]dx＝abf1(x)dx±abf2xdx±…±abfm(x)dx(m∈N*)；②abf(x)dx＝ac1f(x)dx＋c1c2f(x)dx＋…＋ckbf(x)dx(ac1c2…ckb，且k∈N*)．[例1]利用定积分的定义，计算12(3x＋2)dx的值．[解]令f(x)＝3x＋2.(1)分割．在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[1,2]等分成n个小区间n＋i－1n，n＋in(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝n＋in－n＋i－1n＝1n.(2)近似代替、求和．利用定义求定积分取ξi＝n＋i－1n(i＝1,2，…，n)，则Sn＝i＝1nfn＋i－1n·Δx＝i＝1n3n＋i－1n＋2·1n＝i＝1n3i－1n2＋5n＝3n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＋5＝32×n2－nn2＋5＝132－32n.(3)取极限．12(3x＋2)dx＝limn→∞Sn＝limn→∞132－32n＝132.[类题通法]利用定义求定积分的步骤[活学活用]利用定积分的定义，计算12(x＋1)dx的值．解：f(x)＝x＋1在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]等分成n个小区间1＋i－1n，1＋in(i＝1,2，…，n)，每个区间的长度为Δx＝1n.在1＋i－1n，1＋in上取ξi＝1＋i－1n(i＝1,2，…，n)，∴f(ξi)＝1＋1＋i－1n＝2＋i－1n，∴i＝1nf(ξi)·Δx＝i＝1n2＋i－1n·1n＝i＝1n2n＋i－1n2＝2n·n＋1n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝2＋n－12n＝2＋12－12n＝52－12n，∴12(1＋x)dx＝limn→∞52－12n＝52.[例2]说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值：(1)012dx；(2)12xdx；(3)－111－x2dx.[解](1)012dx表示的是图①中阴影所示长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以012dx＝2.利用定积分的几何意义求定积分(2)12xdx表示的是图②中阴影所示梯形的面积，由于这个梯形的面积为32，所以12xdx＝32.(3)－111－x2dx表示的是图③中阴影所示半径为1的半圆的面积，其值为π2，所以－111－x2dx＝π2.[类题通法]利用几何意义求定积分的方法利用定积分所表示的几何意义求abf(x)dx的值的关键是确定由曲线y＝f(x)，直线x＝a，直线x＝b及x轴所围成的平面图形的形状．常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．[活学活用]用定积分表示下图中阴影部分的面积，并根据定积分的几何意义求出定积分的值．解：图①中，被积函数f(x)＝－1－x在区间[－1,2]上连续不间断，且f(x)≤0，根据定积分的几何意义，图中阴影部分的面积为S＝－－12(－1－x)dx＝12×3×3＝92，所以阴影部分的面积为92.图②中，被积函数f(x)＝－1－x2在区间[－1,1]上连续不断，且f(x)≤0，根据定积分的几何意义，图中阴影部分的面积为S＝－－11－1－x2dx＝12π×12＝π2，所以阴影部分的面积为π2.[例3]已知01x3dx＝14，12x3dx＝154，12x2dx＝73，24x2dx＝563，求下列各式的值：(1)02(3x3)dx；(2)14(6x2)dx；(3)12(3x2－2x3)dx.[解](1)02(3x3)dx＝302x3dx＝301x3dx＋12x3dx＝3×14＋154＝12.利用定积分的性质求定积分(2)14(6x2)dx＝614x2dx＝612x2dx＋24x2dx＝6×73＋563＝126.(3)12(3x2－2x3)dx＝12(3x2)dx－12(2x3)dx＝312x2dx－212x3dx＝3×73－2×154＝－12.[类题通法]定积分与函数的奇偶性若函数f(x)的奇偶性已经明确，且f(x)在[－a，a]上连续，则：(1)若函数f(x)为奇函数，则－aaf(x)dx＝0；(2)若函数f(x)为偶函数，则－aaf(x)dx＝20af(x)dx.[活学活用]已知ab[f(x)＋g(x)]dx＝12，abg(x)dx＝6，求ab3f(x)dx.解：∵abf(x)dx＋abg(x)dx＝ab[f(x)＋g(x)]dx，∴abf(x)dx＝12－6＝6，∴ab3f(x)dx＝3abf(x)dx＝3×6＝18.5.错用定积分的几何意义致误[典例]由y＝cosx及x轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表示为________．[解析]由y＝cosx及x轴围成的介于0与2π之间的平面图形可以分成三部分：0，π2，π2，3π2，3π2，2π，利用定积分的几何意义可得，所求面积为20cosxdx－322cosxdx＋322cosxdx.[答案]20cosxdx－322cosxdx＋322cosxdx[易错防范]1．若对定积分的几何意义理解不到位，则易错误的表示为02πcosxdx.2．写定积分时应注意：当f(x)≥0时，S＝abf(x)dx，而f(x)＜0时，S＝－abf(x)dx.[成功破障]由定积分的几何意义可得－13(3x＋1)dx＝________.解析：由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形，如右图所示．－13(3x＋1)dx表示由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，∴－13(3x＋1)dx＝12×3＋13×(3×3＋1)－12×－13＋1×2＝503－23＝16.答案：16[随堂即时演练]1．下列等式不成立的是()A.ab[mf(x)＋ng(x)]dx＝mabf(x)dx＋nabg(x)dxB.ab[f(x)＋1]dx＝abf(x)dx＋b－aC.abf(x)g(x)dx＝abf(x)dx·abg(x)dxD.－2π2πsinxdx＝－2π0πsinxdx＋02πsinxdx解析：利用定积分的性质可判断A，B，D成立，C不成立．例如02xdx＝2，022dx＝4，022xdx＝4，022xdx≠02xdx·022dx.答案：C2．下图中阴影部分的面积用定积分表示为()A.012xdxB.01(2x－1)dxC.01(2x＋1)dxD.01(1－2x)dx解析：根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为012xdx－011dx＝01(2x－1)dx.答案：B3．由y＝sinx，x＝0，x＝π2，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________．解析：∵0xπ2∴sinx0.∴y＝sinx，x＝0，x＝π2，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为20sinxdx．答案：20sinxdx4．若ab[f(x)＋g(x)]dx＝3，ab[f(x)－g(x)]dx＝1，则ab[2g(x)]dx＝________.解析：ab[2g(x)]dx＝ab[(f(x)＋g(x))－(f(x)－g(x))]dx＝ab[f(x)＋g(x)]dx－ab[f(x)－g(x)]dx＝3－1＝2.答案：25．用定积分的几何意义求－114－x2dx.解：由y＝4－x2可知x2＋y2＝4(y≥0)，其图象如右图．－114－x2dx等于圆心角为60°的弓形CD的面积与矩形ABCD的面积之和．S弓形＝12×π3×22－