3.1空间向量及其运算

3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算3.1空间向量及其运算1．经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念．2．掌握空间向量的加法、减法、数乘运算．学习目标[重点](1)空间向量的加减运算及运算律；(2)空间向量的数乘运算及运算律．[难点]应用向量解决立体几何问题．重点难点范老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶2000m，再向西行驶2500m，最后乘电梯上升30m到10楼的住处．在这个过程中，范老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成(如图所示)，它们是不在同一平面内的位移．如何刻画这样的位移呢？复习与预习►知识点一空间向量及其加减运算1.几类特殊向量名称定义及表示零向量__________的向量叫零向量，记为______单位向量__________的向量叫单位向量相反向量与向量a长度______而方向______的向量，叫a的相反向量，记为－a相等向量方向____且模______的向量称为相等向量，在空间，______且______的有向线段表示同一向量或相等向量长度为0模为10相反相等相同相等同向等长2.空间向量的加、减法运算．如图3­1­1所示，OB→＝__________＝____________，CA→＝____________＝______________．OA→＋OC→a＋ba－bOA→－OC→3．空间向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝______________．a＋(b＋c)[探究1]下列说法中正确的是()A．若|a|＝|b|，则a，b为相等向量B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|C．空间向量的减法满足结合律D．在四边形ABCD中，一定有AB→＋AD→＝AC→B►知识点二空间向量的数乘运算1．数乘运算的定义实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．如图3­1­2所示，当λ0时，λa与向量a方向______；当λ0时，λa与向量a方向______；当λ＝0时，λa＝0.λa的长度是a的长度的|λ|倍．相同相反2．运算律分配律：λ(a＋b)＝________；结合律：λ(μa)＝________．λa＋λb(λμ)a►知识点三共线向量1．共线向量的定义如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相______或______，则这些向量叫作共线向量或平行向量．0与任意向量都是共线向量．2．空间两向量共线的充要条件对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得________．平行重合a＝λb3．点P在直线l上的充要条件如图3­1­3所示，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP→＝OA→＋ta①，其中向量a叫作直线l的______向量．图3­1­3在l上取AB→＝a，则①式可化为OP→＝OA→＋tAB→②.②式即为P，A，B三点共线的充要条件．方向►知识点四共面向量1．共面向量的定义平行于同一个平面的向量，叫作____________．空间任意两个向量总是________的，但空间任意三个向量____________．2．共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使____________．共面向量共面不一定共面p＝xa＋yb3．如图3­1­4所示，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使AP→＝xAB→＋yAC→，或对空间任意一点O，有OP→＝OA→＋xAB→＋yAC→.图3­1­4[探究2]已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C满足关系式OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x＋y＋z＝1)，判断点P与点A，B，C是否共面．解：因为OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→＝xOA→＋y(OA→＋AB→)＋z(OA→＋AC→)＝OA→＋yAB→＋zAC→，所以P，A，B，C四点共面．【小结】共面问题常用结论：设A，B，C三点不共线，则：(1)四点P，A，B，C共面⇔存在有序实数对(x，y)，使AP→＝xAB→＋yAC→；(2)四点P，A，B，C共面⇔对空间任意一点O，都有OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，且x＋y＋z＝1.例1(1)下列关于空间向量的说法中正确的是()A．若向量a，b平行，则a，b所在直线平行B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反C．若向量AB→，CD→满足|AB→||CD→|，则AB→CD→D．若两个非零向量AB→与CD→满足AB→＋CD→＝0，则AB→∥CD→►考点回扣一向量概念的应用D(2)给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD­A1B1C1D1中，必有AC→＝A1C1→；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中假命题的个数是()A．1B．2C．3D．4C空间向量的加、减运算的方法是什么？解：任意两个空间向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加、减法，如图所示．OB→＝OA→＋AB→＝a＋bOB→＝OA→＋OC→＝a＋bBA→＝OA→－OB→＝a－b①首尾相接的若干向量之和等于由________向量的起点指向________向量的终点的向量；②若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为________．起始末尾0►考点回扣二空间向量的加减运算例2如图3­1­5所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为AC1→的共有()①(AB→＋BC→)＋CC1→；②(AA1→＋A1D1→)＋D1C1→；③(AB→＋BB1→)＋B1C1→；④(AA1→＋A1B1→)＋B1C1→.A．1个B．2个C．3个D．4个D例3已知A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心，求证：AG→＝13(AB→＋AC→＋AD→)．证明：连接BG并延长，交CD于点E(图略)，由G为△BCD的重心，知BG→＝23BE→.∵E为CD的中点，∴BE→＝12BC→＋12BD→，∴AG→＝AB→＋BG→＝AB→＋23BE→＝AB→＋13(BC→＋BD→)＝AB→＋13（AC→－AB→）＋（AD→－AB→）＝13(AB→＋AC→＋AD→)．【变式】如图3­1­6所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点．(1)化简：A1O→－12AB→－12AD→＝________；(2)用AB→，AD→，AA1→表示OC1→，则OC1→＝________________．AA112121AAADAB[小结](1)平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加(减)法运算．(2)对于有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变．(3)三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量．[导入](1)空间向量a，b共线时，表示a，b的两条有向线段所在直线一定是同一条直线吗？(2)空间中的两非零向量a，b共面，能否推出a＝λb(λ∈R)?解：(1)不一定，也可能是两条平行直线．解：(2)不能．因为空间中任意两向量都共面，a，b共面时未必有a∥b，即不一定有a＝λb.►考点回扣三空间向量的共线问题例4(1)已知空间向量a，b，且AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D【变式】若非零空间向量e1，e2不共线，则使2ke1－e2与e1＋2(k＋1)e2共线的k的值为________．[答案](1)A(2)－12[解析](2)若2ke1－e2与e1＋2(k＋1)e2共线，则2ke1－e2＝λ[e1＋2(k＋1)e2]，∴2k＝λ，－1＝2λ（k＋1），∴k＝－12.[小结]可以利用向量之间的关系判断空间任意三点共线，这与利用平面向量基本定理判断平面内三点共线是相似的．结合共线向量的有关知识可知，要证空间中E，F，B三点共线，只需证明下面结论中的一个成立即可：(1)EB→＝mEF→；(2)AB→＝AE→＋λEF→；(3)AB→＝nAE→＋(1－n)AF→.例6已知斜三棱柱ABC­A′B′C′，设AB→＝a，AC→＝b，AA′→＝c，在面对角线AC′和棱BC上分别取点M，N使AM→＝kAC′→，BN→＝kBC→(0≤k≤1)，求证：MN→与向量a和c共面．证明：∵AM→＝kAC′→＝kb＋kc，AN→＝AB→＋BN→＝a＋kBC→＝a＋k(－a＋b)＝(1－k)a＋kb，∴MN→＝AN→－AM→＝(1－k)a＋kb－kb－kc＝(1－k)a－kc，因此，MN→与向量a和c共面．►考点回扣四空间向量的共面问题1．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若A1B1→＝a，A1D1→＝b，A1A→＝c，则下列向量中与B1M→相等的向量是()A．－12a＋12b＋cB．12a＋12b＋cC．12a－12b＋cD．－12a－12b＋c当堂自测A2．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，向量D1A→，D1C→，A1C1→是()A．有相同起点的向量B．等长向量C．共面向量D．不共面向量C3．如图3­1­8所示，四面体A­BCD中，点E是CD的中点，记AB→＝a，AC→＝b，AD→＝c，则BE→＝()A．a－12b＋12cB．－a＋12b＋12cC．12a－b＋12cD．－12a＋b＋12c图3­1­8B当堂自测4．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量OP→＝15OA→＋23OB→＋λOC→确定的点P与A，B，C共面，则λ＝________．2155．在空间四边形ABCD中，连接BD，若△BCD是正三角形，且E为其重心，则AB→＋12BC→－32DE→－AD→的化简结果为________．0当堂自测[课堂小结]知识方法易错空间向量的定义类比平面向量向量的方向空间向量的相关概念类类比平面向量的相关概念相等向量容易忽视作业《练习册》P39-P40