交错网格

1弹性波交错网格有限差分简介汇报人：卢勇旭时间：2013年6月1日21弹性波动方程的解2有限差分算法简介3二维弹性波交错网格有限差分提纲31弹性波动方程的解地球物理学的问题正演问题反演问题按事物一般原理（或模型）及相关的条件（初始条件、边界条件）来预测事物的结果（可由观测可得据地球物理场的实际观测值（有时也用理论计算值）定量或定性解释推断地球内部结构（地质体形态和岩层物性）。基础目的41弹性波动方程的解地质模型地震记录（波场）正演反演51弹性波动方程的解求解正演问题地球物理模拟物理模拟相似原理投资大，选材难，结果真实，数学模拟法解析方法最简捷方便，仅适用少数简单模型数值模拟法正演主要工具效率高，机时少，周期短，费用低。概念：将描述各种地球物理场的方程或表达式及初、边值条件通过数值方法求出它们的数值解。61弹性波动方程的解地震波数值模拟方法主要有三大类：波动方程法，积分方程法和射线追踪法．波动方程数值解法是建立在以弹性或粘弹性理论和牛顿力学为基础的双曲型偏微分方程一地震波传播方程的理论基础上的．由于地下介质性质不同，其相应的地震波传播方程也不同．如声学介质中的声波波动方程；弹性介质中的弹性波波动方程；粘弹性介质中的粘弹性波波动方程；孔隙弹性介质(双相或多相介质)中的双相或多相介质弹性波方程；各向异性介质中的各向异性弹性波波动方程等积分方程法是建立在以惠更斯原理为基础的波叠加原理基础上的，其数学表达形式为波动方程的格林函数域积分方程式和边界积分方程式．射线追踪法是建立在以射线理论为基础的波动方程高频近似理论基础上的，其数学表达形式为程函方程和传输方程．地震波动方程的数值模拟方法主要有:有限差分法、有限元法、反射率法、傅立叶伪谱法等，但这些方法都各具优缺点。71弹性波动方程的解2有限差分算法简介3二维弹性波交错网格有限差分提纲82有限差分算法简介有限差分法是对波动方程中的微分用差分近似代替，把波动理论上的微分形式变成适于数值计算的差分形式，得到差分方程。它的主要优点是计算速度快，占用内存小。地震勘探中的有限差分根据域的不同可分为时域有限差分和频域有限差分。根据网格不同可分为常规网格、交错网格、旋转网格等。本次介绍时域交错网格有限差分。92有限差分算法简介用泰勒级数展开可以推导出导数的有限差分形式。102有限差分算法简介一阶差分：112有限差分算法简介二阶中心差分：121弹性波动方程的解2有限差分算法简介3二维弹性波交错网格有限差分提纲133二维弹性波交错网格有限差分均匀各向同性介质中的一阶（速度-应力）弹性波动方程：2222==xxxxzzxzzzutxzutxz平衡微分方程：iiuvt1=1=xxxxzzxzzzvtxzvtxz（3.1）143二维弹性波交错网格有限差分12jiijjiuuxx几何方程：ijijklklC本构方程：1213212331321122334455662CCCCCCCCCCCC各向同性介质的弹性常数：22xzxxxzzzxzxzuuxzuuxzuuzx22xxxzxzzzxzxzvvtxzvvtxzvvtzx（3.2）iiuvt式（3.1）（3.2）即为二维各向同性介质中的一阶速度应力方程153二维弹性波交错网格有限差分一阶波动方程的离散化，以式（3.3）为例：1=xxxxzvtxz时间的2M阶差分近似：222()1()1()()()()()()222!2!2mTaylormmxxxxxmtvttvttvttvtvtotttmt222()1()1()()()()()()()222!2!2mTaylormmxxxxxmtvttvttvttvtvtotttmt212122111()()()2()()22(21)!2mMmmxxxmmtttvtvtvtotmt两式相减，得2M阶精度的差分近似式：当M=1时，上式即为时间二阶精度差分格式，带入式（3.3）并整理得：（3.3）（3.4）（3.5）()()22xxxzxxtttvtvtxz（3.6）163二维弹性波交错网格有限差分空间的2N阶差分近似：21()2nfxx21()(1,2,)2nfxxn对和在x处进行Taylor展开:2222222222221111()()()()222!211111()()()()222!23313()()()()222!223313()()()()222!2(fffxxfxxxxxnfffxxfxxxxxfffxxfxxxxxnfffxxfxxxxxf2222222121121)()()()222!22121121()()()()222!2nfnfnxxfxxxxxnnnfnfnfxxfxxxxx（3.7）173二维弹性波交错网格有限差分上述的n对等式中，对第n对等式的等号两边同时乘以系数后相减，再将所有式求和，得：()NnC()()()()12123()3()3()12312121()()3(21)223(21)24NNNNNnnnNNNnnnfCfxxfxxCCnCxxxfCCnCx令上式右端仅保留项，即其系数项等于1，其他系数等于0，得到如下方程组：（3.8）fx()1333()2212121()13(21)113(21)013(21)0NNNNNNnnCnCnC（3.9）183二维弹性波交错网格有限差分解式（3.9）带入（3.8）即得到f对x的一阶偏导数的2M阶差分近似式：()112121()()22NNnnfnnCfxxfxxxx（3.10）将式（3.10）带入式（3.6）替换应力对空间的导师，整理得下式,,2,2,,2,21212()()11,11()()ijijijijijijNNmmNmmNmmxxnxxxxnxzxznnijtvvCCxz（2n-1）（2n-1）（2n-1）（2n-1）同理可得到所有的应力-位移方程的离散格式：12,1212,12,12(1),1212,12,(1)1212()()1112,1211()()ijijinjinjijnijnNNkmNmmNmmzxnxzxxnzzxznnijtvvCCxz12,12,,(1),12,(21)212,(21)212,12,1()1212()121211(2)()()ijijinjinjijnijnNNijijmmNmmNmmxxxxnxxnzznntCvvCvvxz12,12,,(1),12,(21)212,(21)212,12,1()1212()121211(2)()()ijijinjinjijnijnNNijijmmNmmNmmzzzznxxnzznntCvvCvvxz,12,12,,(1)(21)2,12(21)2,121()1212()1212,121111()()ijijijnijninjinjNNmmNmmNmmxzxzijnxxnzznntCvvCvvzx（3.11）193二维弹性波交错网格有限差分网格设置：203二维弹性波交错网格有限差分稳定性条件：网格点上的场值是近似值，如果该值含有的误差较大，则随着计算的延续其误差会在网格之间传递甚至放大。稳定性条件就是离散参数所满足的使波动方程的数值计算稳定的条件。当交错网格差分格式为时，稳定性条件为：22111xtxzv22()otx213二维弹性波交错网格有限差分震源模拟：包括震源函数选取和震源加载方式。常用的震源函数有雷克子波、高斯子波等。雷克子波的方程如下：式中为子波主频，为延迟时间。2222220000()12()exp()ftfttftt0f0t震源的加载方式有集中力源、纵波震源和全波震源等。（1）集中力源是将震源函数加载在震源所在点的单一速度分量上。（2）纵波震源是将震源函数加载在震源所在点的正应力上。（3）全波震源是将震源函数加载在震源所在点的速度分量上。223二维弹性波交错网格有限差分233二维弹性波交错网格有限差分243二维弹性波交错网格有限差分