二重积分说课

《高等数学》（下）——说课稿说课教师：方政蕊（经济与数学系）各位评委、老师：大家好!我是经济与数学系的数学教师方政蕊，很荣幸能够参加此次的说课活动，希望各位评委、老师对我的说课内容提出宝贵意见。下面我将就本学期我所担任的《高等数学》这门课程所使用的教材、该课程的地位作用、教学方法的选择、学生学法的指导和教学过程的设计等几个方面来向大家做一简要介绍。一、教材介绍这门课所使用的教材是同济大学出版社出版的面向21世纪普通高等教育规划教材《高等数学》的下册，该教材内容符合教学大纲的要求，知识系统、体系结构清晰、例题丰富、语言通俗易懂，讲解透彻难度适中，在上册一元函数微积分的基础上进一步较系统地介绍多元函数微分学，多元函数积分学，无穷级数和微分方程等高等数学的知识。二、课程介绍1、地位和作用高等数学在当今社会的各个领域都有广泛的应用，因而“高等数学”是理工类本科教学重要基础课之一，通过本课程的教学，旨在使学生掌握该课程的基本概念、基本理论和方法，提高学生应用数学知识解决实际问题的意识和能力，为学生继续学习后续相关专业课奠定必要的数学基础。2、教学目标（1）、理解多元函数的概念、会求二元函数的偏导数和全微分（2）、能将多元函数应用到几何上，会求极值（3）、理解多元函数的概念、性质，掌握二重积分的计算方法（4）、掌握三重积分、曲线积分和曲面积分的计算方法（5）、理解无穷级数的概念、性质，掌握判别级数收敛性的方法（6）、会将函数展开成幂级数或傅里叶级数（7）、理解微分方程的概念，掌握求微分方程的解的方法3、教学重点和难点（1）、求二元函数的偏导数、极值（2）、求二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分（3）、无穷级数的收敛性判别、将函数展开成幂级数或傅里叶级数（4）、解微分方程二、教学方法科学合理的教学方法能使教学效果事半功倍，达到教与学的和谐完美统一。数学是本科教学中的重要基础课，是一门培养和发展人的思维的重要学科，因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，我主要采取教师启发讲授、适当点拨和学生探究学习的教学方法。教学过程中，教师可以系统的传授知识，充分发挥教师的主导作用，根据教材提供的线索，安排适当的教学情境，让学生展示相应的数学思维过程，使学生有机会经历数学概念抽象的各个阶段，引导学生独立自主地开展思维活动，深入探究，在思考中体会数学图象变换过程中所蕴涵的数学方法，使之获得内心感受，特别是通过多媒体课件的演示，直观展示函数图象的变化过程，激发学生的兴趣，从而创造性地解决问题，最终形成概念，获得方法，培养能力，突出学生的主体地位．除使用常规的教学手段外，还将使用多媒体投影和计算机来辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识。三、学生学法指导我们常说：“授人以鱼不如授人以渔”，因而在教学中要特别重视学法的指导。转变学生数学学习方式，不仅有利于提高学生的数学素养，而且有利于促进学生整体学习方式的转变。我以教学大纲和课程标准为指导，辅以多媒体手段，结合师生共同讨论、归纳，着重引导学生学会探索研究的学习方法。探究式学习法的好处是学生主动参与知识的发生、发展过程，在探究的过程中激发学生的好奇心和创新意识，在探究过程中学习科学研究的方法,在探究过程中培养坚韧不拔的精神。学生掌握了这种学习方法后，对学生终生学习都有积极意义。四、教学过程的设计为完成本门课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过程设计为六个阶段：创设情境，引入课题；归纳探索，形成概念；掌握求法，适当延展；适当练习，巩固新课；归纳小结，提高认识；作业布置，巩固提高。具体过程如下：1、创设情境，引入课题在学生原有的知识体系上,通过类比逐步引导学生从一元函数的极限、连续、求导和积分到多元函数的的极限、连续、求导和积分过渡,发现两者之间的内在联系,这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中。2、归纳探索，形成概念由引例得出新课的知识点，如在讲多元函数积分的概念上，由两个引例求曲顶柱体的体积和平面薄片的质量的讲解，归纳总结出多元函数积分的概念。3、掌握求法，适当延展通过例题的讲解，让学生掌握多元函数微积分的计算方法。在讲解例题时，不仅在于怎样解，更在于为什么这样解，而及时对解题方法和规律进行概括，有利于发展学生的思维能力。在课本例题的基础上，适当将题目引申,使例题的作用更加突出，有利于学生对知识的串联、累积、加工，从而达到举一反三的效果。4、适当练习，巩固新课针对学生素质的差异进行分层训练，既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而达到拔尖和“减负”的目的，具体做法是课堂提问和让学生到黑板上解题。5、归纳小结，提高认识知识性内容的小结，可把课堂教学传授的知识尽快化为学生的素质；数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好的个性品质目标。6、作业布置，巩固提高：根据学生的不同层次分为必做和选做,由学生自主选择“二重积分”的教学方案的设计经济与数学系方政蕊二重积分是《高等数学》下册第六章第一节的内容。在此之前，学生已学习了定积分,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容在高等数学中，占据着重要地位，以及为其他学科和今后专业课程的学习打下基础。本着课程标准，在吃透教材的基础上，我确立了如下的教学目标、教学重点和教学难点:一、教学目标：1、理解二重积分的概念与性质2、掌握利用直角坐标系和极坐标计算二重积分二、教学重点与难点：二重积分的计算三、教学准备：1、教师：查看参考书、编写教案或课件制作2、学生：课前预习四、教学时间：2课时五、教学方案设计为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学环节设计为四个阶段：创设情境，引入课题；归纳探索，形成概念；掌握求法，适当延展；归纳小结，提高认识，具体过程如下：1、创设情境，引入课题长期以来，我们的学生为什么对数学不感兴趣，甚至害怕数学，其中的一个重要因素就是数学离学生的生活实际太远了。事实上，数学学习应该与学生的生活融合起来，从学生的生活经验和已有的知识背景出发，让他们在生活中去发现数学、探究数学、认识并掌握数学。概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括，只有学生对学习对象有了丰富具体经验以后，才能使学生对学习对象进行主动的、充分的理解，因此在本节的教学中，我从具体的两个实例引出概念：（1）、曲顶柱体的体积先用两分钟时间，让学生回忆学习定积分时求曲边梯形面积的方法，再利用类比的方法讲解求曲顶柱体的体积。（2）、平面薄片的质量用同样的方法求出平面薄片的质量2、归纳探索，形成概念把实际问题抽象成数学模型是学生形成和掌握概念的前提，也是培养学生观察分析能力的重要一步，以上两个实例可以抽象地给出二重积分的定义，从而引出二重积分的概念。（1）、对概念作进一步解释，并与定积分的概念作比较，加深学生的印象，最后强调几个要点。（2）、给出二重积分的性质，使学生能更深刻地理解二重积分。3、掌握求法，适当延展（1）、直角坐标系下二重积分的求法在讲二重积分的计算前，先让学生回顾定积分的基本公式和计算方法，提问两位学生，得出结论。再重点介绍二重积分的计算方法，对于不同的区域要用不同的积分次序进行积分，详细讲解两种区域的特点，推导出计算二重积分的公式。（2）、讲解例题选择典型而具有代表性的例题3个，一个的积分区域是X-型，一个既是X-型又是Y-型，一个既不是X-型也不是Y-型，使学生掌握不同积分区域的二重积分的计算，并及时对解题方法和规律进行概括，有利于发展学生的思维能力。（3）、极坐标下二重积分的求法很多学生没有学过极坐标，所以先对极坐标作简单的介绍，再讲解用极坐标求二重积分，通过直角坐标与极坐标的变换得出公式，并强调在什么情况下选择用极坐标求二重积分。（4）、讲解例题选择例题2个，一个是既可以用直角坐标计算又可以用极坐标计算，另一个是只能用极坐标计算的例子，经过对比，使学生了解有时用极坐标计算二重积分会减少很多计算量。（5）、能力训练为了使学生达到对知识的深化理解，从而达到巩固提高的效果，我特地设计了一组即时训练题，并且把课本的例题熔入即时训练题中，随机抽两位学生到黑板上做课堂练习，再作评讲，使学生能巩固所学知识与解题思想方法。（6）、变式延伸，进行重构重视课本例题，适当对题目进行引申,使例题的作用更加突出，有利于学生对知识的串联、累积、加工，从而达到举一反三的效果。4、归纳小结，提高认识提出问题：这节课你们学到了什么？鼓励学生积极回答，答不完整的没有关系，其它同学补充。以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。5、布置作业根据学生的不同层次分为必做和选做,由学生自主选择。六、板书设计好的板书就像一份微型教案，此板书力图全面而简明的将授课内容传递给学生，清晰直观，便于学生理解和记忆，理清文章脉络。我在上这节课时较注重板书的设计，将定义、性质和计算方法写在黑板的左边，例题和讲解写在黑板的右边，特别是有的例题没有马上擦去，保留到下一个例子讲完，这样就可以进行对比。下面附上板书设计与详细教案：附1：板书设计6.1二重积分一、二重积分的概念与性质1引例（1）、曲顶柱体的体积（2）、平面薄片的质量2、二重积分的概念3、二重积分的性质①②③④⑤二、二重积分的计算1、利用直角坐标系计算例题：2、利用极坐标计算例题练习：**********附2：教案第一节二重积分教学目标：1、理解二重积分的概念与性质2、掌握利用直角坐标系和极坐标计算二重积分教学重点与难点：二重积分的计算一、二重积分的概念1.引例1：曲顶柱体的体积设有一空间立体,它的底是xoy面上的有界区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准线,而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面),(yxfz(0),(yxf)，称这种立体为曲顶柱体。曲顶柱体的体积V可以这样来计算:(1)用任意一组曲线网将区域D分成n个小区域1，2，，n，以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体分划成n个小曲顶柱体1，2，，n。（假设i所对应的小曲顶柱体为i,这里i既代表第i个小区域,又表示它的面积值,i既代表第i个小曲顶柱体,又代表它的体积值）。从而niiV1图9-1-1(2)由于),(yxf连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将第i个小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是iiiif),(，)),(iii整个曲顶柱体的体积近似值为niiiifV1),((3)为得到V的精确值,只需让这n个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念:一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。设n个小区域直径中的最大者为,定义niiiifV10),(lim2.引例2：平面薄片的质量设有一平面薄片占有xoy面上的区域D,它在),(yx处的面密度为),(yx（0),(yx）,现计算该平面薄片的质量M。(1)将D分成n个小区域1，2，，n，i既代表第i个小区域又代表它的面积。(2)第i小平面薄片的质量可近似为图9-1-2iiiiM),(，)),(iii整个平面薄片的质量的近似值为niiiiM1),((3)记i为i的直径，},,,max{21n,整个平面薄片的质量定义为niiiiM10),(lim综上，两种实际意义完全不同的问题,都归结同一形式的极限。因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景,给出一个更广泛、更抽象的数学概念,即二重积分。3.二重积分的定义定义设),(yxf是闭区域D上的有界函数。(1)将区域D任意分成n个小区域1，2，，n其中,i既表示第i个小区域,也表示它的面积。(2)在第i个小区域i