第1节 映射与变换

§1映射与变换重点1、单射、满射、双射、逆映射概念2、映射复合定义与性质3、单射和双射的性质如果存在一个对应法则f，/()afa一、映射定义通过这个法则f，使得S中的每一个元素a，则称f为记为称为a在映射f下的象，/a都有中一个唯一确定的元素与它对应,/S/a设S和是给定的两个非空集合，/SS到的一个映射，/S映射简单记为/fSS/:fSS或为了强调对应法则也可记为/:fSS/aa1、映射定义①设映射,/:fSS②集合S到S自身的映射称为S的一个变换．/().fSS显然，称为S在映射f下的象集。③注意f表示映射的对应规则。④区分函数与映射、映射与变换概念之间关系．⑤两个映射相等是指对任意元素，它们的像相等。(){()}fSfaaS集合注释1（前提是定义域相同）例1判断下列S到对应法则是否为映射/S/1,,,1,2,3SabcS（）:()1,()2,()3ffafbfc:()1,()1,()3ggagbgc:()1,()2,()3hgagagc20,1,2,,1,2,3,ZZ（）:(),ffnnnZ:()1,ggnnnZ例3任意一个在实数集R上的函数都是()yfx即I把S上的每个元素映到它自身，I是一个映射，实数集R到自身的映射，称I为S上的恒等映射或单位变换，的一个特殊情形。(),,IaaaS例2S是一个集合，定义映射:,ISS（注意映射乘法中起的作用，见下面的注释）即函数可以看成是映射记为.SI2、特殊映射则称f是S到的一个单射；/S如果S中不同元素的像也不同，121212,,()()aaSaafafa如果f既是单射又是满射，则称f为双射.1）若即对任意的/,yS，均存在如果/(),fSS存在,xS使得(),yfx则称f是S到的满射;/S即假设有一个映射/:.fSS①对有限集来说，两集合之间存在双射的充要条件是它们所含元素的个数相同（单射条件？）。②对有限集A及其真子集B，A与B之间不可能存在双射；但是对于无限集未必如此。例如注释2:1,2,3,2,4,6,f()2fnn③证明映射是单射和满射的方法只有定义法，其中单射用定义的逆否命题，满射相当于解方程。称gf是映射f和g的复合或乘积。定义新的映射二、映射的复合与逆映射设有两个映射///,fgSSS//:,gfSS()(())gfagfa注释2（1）对任意映射/:,fSS和映射复合定义容易验证由单位变换/,.SSfIfIff单位变换在映射乘法中起的作用类似1在数的乘法中起的作用（2）映射的复合不满足交换律（见教材例子）定理1.1映射的复合满足结合律，即若有三个映射//////,fghSSSS()().hgfhgf则证明下面利用映射相等定证明之。映射相等满足什么条件？首先，(gh)f和g(hf)都是S到的映射。///S,aS齐次，对任意的由映射乘法的定义得()()hgfa()()hgfa()(())hgfa((()))hgfa((()))hgfa(())hgfa对于两个映射//,,fgSSSS/,,SSfgIgfI如果则称f是可逆的映射并且称g是f的逆映射。映射可逆的条件是什么？可逆映射的逆映射唯一吗？函数中的反函数与此有关吗？定理2.2（1）映射可逆的充分必要条/:fSS件是f是双射。（2）可逆映射的逆映射是唯一的。/:,gSS证明（1）假设f是可逆的。令f的一个逆映射为则由逆映射的定义知/,.SSfgIgfI对任意的,,abS如果()(),fafb则()SaIa()()gfa(())gfa(())gfb()gfbb单射对任意的//,aS/(),agaS记/()(())fafga则满射///()SIaa/()fga/(),faa假设f是双射。既然f是满射，//,aS于是对任意的存在,aS使得并且由f是单射知对应于的a是唯一的。/a利用f定义新的映射/,gSS/(),gaa/().faa如果容易验证/,.SSfgIgfI因此，f可逆并且g是f的一个逆映射。（2）见教材。由于可逆映射的逆映射是唯一的，于是把可逆映射f的逆映射记为1.f从上面的证明知可逆映射与其逆映射之间的关系/,fSS/;faa1/,fSS1/.faaf与互逆1f注意如果f是函数，则它的逆映射就是反函数。显然，f可逆时，1f也可逆并且11().ff例1（1）如果f,g都是单射，则gf也是单射。则gf也是满射。（2）如果f,g都是满射，则gf也是双射并且（3）如果f,g都是双射，111().gffg证明（1）假设并且,abS()().gfagfbg是单射(())(())gfagfb()()fafbf是单射ab///.fgSSS假设有两个映射gf是单射（2）对任意的////.aS///gSS是满射///()gaa存在使//,aS/fSS是满射存在使/()faa,aS()(())gfagfa///()gaagf是满射（3）由（1）（2）知gf是双射。1111()()gffggffg由于1SgIg1gg/SI1111()()fggffggf/1SfIfSI1ff于是由逆映射的定义和唯一性知111().gffg作业：P81Ex2