概率论例题汇总

1例1袋中有2只白球3只黑球，有放回摸球两次，每次摸一只。定义X为第一次摸得的白球数，Y为第二次摸得的白球数，求(X,Y)的联合分布律。解X的可能取值为0,1，Y的可能取值为0,1，2239{0,0}525PXY2326{0,1}525PXY2236{1,0}525PXY2224{1,1}525PXY2259256256254XY01012239{0,0}525PXY2326{0,1}525PXY2236{1,0}525PXY2224{1,1}525PXY3解例2令随机变量X表示在1,2,3,4中等可能地取一个值，令随机变量Y表示在1到X中等可能地取一个值。求),(YX的联合分布律及}2,3{YXP.由于Y的取值依赖于X的取值,由乘法公式得),(YX的联合分布律为},{jYiXPpij)|{){iXjYPiXP,141i41ijXY43214321410008181001211211210161161161161}2,3{YXP.321211218181414设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为例1解其他,00,0,e),()2(yxAyxfyx(2)求概率.}{XYP002dedeyxAyx(1)求系数A；(1)由规范性yxyxfdd),(，121A.2A5(2){}PYXxyO00d),(dxyyxfx002dede2xyxyx02)de1(e2xxx.31(2)2e,0,0(,)0,xyxyfxy其他6袋中有2只白球3只黑球，有放回摸球两次，定义X为第一次摸得的白球数，Y为第二次摸得的白球数，则(X,Y)的联合分布律为例1XY010125925625625453525253Y的边缘分布X的边缘分布XP015352所以X,Y的边缘分布律分别为YP0153527若改为无放回摸球，则(X,Y)的联合分布律为2325310AA2532310A2523310A2225110AAXY010110353525253103103101边缘分布为8XY010110353525253103103101边缘分布为XY010125925625625453525253与有放回的情况比较，但边缘分布却完全相同。两者的联合分布完全不同，若改为无放回摸球，则(X,Y)的联合分布律为9例2设二维随机变量(X,Y)的联合分布为解求：(1)c；(2)YX,的边缘分布；(1)12.01.02.01.01.0c.0.3cXY120010.1c0.10.10.20.2.)1()3(YXP10例2设二维随机变量(X,Y)的联合分布为解求：(1)c；(2)YX,的边缘分布；(1)0.3XY120010.10.10.10.20.2.)1()3(YXP(2)边缘分布0.30.40.30.50.5X10P0.50.5Y120P0.30.40.312.01.02.01.01.0c.0.3c11例2设二维随机变量(X,Y)的联合分布为解求：(1)c；(2)YX,的边缘分布；0.3XY120010.10.10.10.20.2.)1()3(YXP0.30.40.30.50.5)1()3(YXP)0,1()1,0()0,0(YXPYXPYXP.6.02.03.01.012其他,00,10),2(),(xyxxcyyxf求(1)c的值；(2)两个边缘密度；100d)2(dxyxcyxyxyxfdd),(解(1)c245设(X,Y)的概率密度是例5(3)概率.}1{YXPxy01xy，1.524c102d)2(2xxxc13其他,00,10),2(524),(xyxxyyxfxy01xyxyxy0d)2(524,)2(5122xx10x(2)yyxfxfXd),()(其他,010),2(512)(2xxxxfX所以14xy01xy1d)2(524yxxy10y(2)xyxfyfYd),()(所以,)2223(5242yyy其他,010),2223(524)(2yyyyyfY其他,00,10),2(524),(xyxxyyxf15xy01xy(3)}1{YXP2101d)2(d524yyxxyy21032d)323(524yyyy.836455241yx)21,21(其他,00,10),2(524),(xyxxyyxf16例1已知(X,Y)的联合密度函数为14,01,01(,)0,xyxyfxy其他(1)28,0,01(,)0,xyxyyfxy其他(2)讨论X,Y是否独立？例117解11其他,0,10,2)(xxxfX其他,0,10,2)(yyyfY显然，)()(),(1yfxfyxfYX故X,Y相互独立14,01,01(,)0,xyxyfxy其他(1)经计算得边缘密度为18(2)经计算得边缘密度为其他,0,10),1(4)(2xxxxfX其他,0,10,4)(3yyyfY显然，)()(),(2yfxfyxfYX故X,Y不独立1128,0,01(,)0,xyxyyfxy其他19YX,XY例2设二维随机变量相互独立，其联合、关于的边缘分布律中的分布律、关于部分数值如下表。试将其余部分数值填入表中。XY1x2x3x1y2yixXPjyYP416121113132311218124381820设随机变量(X,Y)的联合分布律为例1解XY01410128181818141分别求X+Y、X2+Y2、min(X,Y)的分布律。),(YX)0,0()1,0()2,0()0,1()1,1()2,1(418181814181YX01212322YX014125),min(YX001010210123YXP4141838122YXP012454141814181),(YX)0,0()1,0()2,0()0,1()1,1()2,1(YX01212322YX014125418181814181),min(YX00101001),min(YXP838522例1面额为1元的彩票共发行1万张，其中可得奖金1000元、20元、5元的彩票分别有2张、50张和500张。若某人购买1张彩票，则他获奖金额X的数学期望E(X)为多少？解10002050.0002XP00.0050.050.9448则05.05005.0200002.01000)(XE.55.023例2解设随机变量X的概率密度函数为其它,010,3)(2xxxf求X的数学期望。xxxfXEd)()(xxxd3102.4324例1解X-2-100.1P10.20.30.4设随机变量X的概率分布如下：求)13(XE,2EX.41)13()13(iiipxXE4122iiipxEX.14.043.012.021.05.14.013.002.011.0425解xxfxXEd)()(222221ed2xxx011.例2设随机变量~(0,1),XN2()EX求221(e)2xxd222211ee22xxxdx22ed2xx26设随机变量(X,Y)的联合分布律为例3解XY014101281818181411212382838求:(1)E(X);(2)E(Y);(1)X0P1111()01.222EX(2)Y0P123327()012.8888EY27设随机变量(X,Y)的联合分布律为例3解XY01410128181818141求:(3)E(X+Y);(4)E(XY)。(1)E(X+Y)1(00)41(01)81(02)81(10)81(11)41(12)8118(2)E(XY)1(00)41(01)81(02)81(10)81(11)41(12)812=E(X)+E(Y)≠E(X)·E(Y)28xxyyxx1341d23dyxyxfxyXYEdd),(1)1(1224d)1(12123xxxx162d)11(43xxx.53)511(43解例4设随机变量(X,Y)的联合概率密度为其他,01,1,23),(23xxyxyxyxf1();(2)().EEYXY求(1)1xy(1)291312d123ln23xxxx.43解xxyyxx131d23dyxyxfyYEdd),()(13dln2123xxx1xy例4设随机变量(X,Y)的联合概率密度为其他,01,1,23),(23xxyxyxyxf1();(2)().EEYXY求(1)(2)30设X表示机床A一天生产的产品废品数，Y表示机床B一天生产的产品废品数，它们的概率分布如下：X0120.5P30.30.10.1例1解Y0120.6P30.10.20.1问：两机床哪台质量好？设两台机床的日产量相等。.8.0)()(YEXE均值相等,据此不能判断优劣,再求方差.31X0120.5P30.30.10.1Y0120.6P30.10.20.1.8.0)()(YEXE均值相等,据此不能判断优劣,再求方差.，6.11.091.043.015.00)(2XE,8.11.092.041.016.00)(2YE.96.08.06.1)]([)()(222XEXEXD.16.18.08.1)]([)()(222YEYEYD由于D(X)D(Y),因此机床A的波动较机床B的波动小,质量较稳定.32其它,010,21)(xxxf解例2设随机变量X的概率密度函数求：EX,DX.EX12201()d2EXxxx224()().45DXEXEX10d21xxx10d21xx，311023d21xx，5133解例3已知)2.0,10(~BX，求)(2XE,22.010)(XE,6.18.02.010)(XD.6.5)()]([)(22XDXEXE22)()(EXEXXD22=()+()EXDXEX341.设随机变量YX,相互独立且分布相同，则YX与X2的关系是().A.有相同的分布B.数学期望相等C.方差相等D.以上均不成立2.设随机变量X与Y独立，且X服从均值为1，标准差(均方差)为2的正态分布，而Y服从标准正态分布，则随机变量32YXZ的概率密度函数为。3.设X与Y相互独立，且)2,0(~NX，)2,0(~UY，求)32(),32(YXDYXE及2)(YXE。4.设随机变量X在区间],[ba上均匀分布，1EX，42EX，试求a和b（ba）．5.设随机变量X,Y相互独立，且)30,720(~2NX，)25,640(~2NY，求ZXY的分布,并求概率}{YXP.练习:351.设随机变量YX,相互独立且分布相同，则YX与X2的关系是().解选(B).A.有相同的分布B.数学期望相等C.方差相等D.以上均不成立)