概率论数学期望

概率统计一.数学期望的定义二.随机变量的函数的数学期望三.数学期望的性质四.常见分布的数学期望数学期望概率统计设离散型随机变量X的分布律为:P(X=xk)=pk,k=1,2,…也就是说，离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.1()kkkEXxp1kkkxp若正项级数收敛，定义11.离散型随机变量的数学期望的和为随机变量X的数学期望，记为：则称此级数一.数学期望的定义概率统计注：▲()EX是个(实)数。它形式上是X的可能取值的加权平均值；本质上体现了X的真正的平均，故常称为X的均值；物理上表示了一个质点系的重心坐标。()EX▲▲()EX的计算：当X的可能取值为有限时，则计算有穷和；当X的可能取值为无限时，则计算级数的和。若1kkkxp()EX不绝对收敛，则称不存在概率统计例4.1某商店在年末大甩卖中进行有奖销售，摇奖时从摇箱摇出的球的可能颜色为：红、黄、蓝、白、黑五种，其对应的奖金额分别为：10000元、1000元、100元、10元、1元.假定摇箱内装有很多球，其中红、黄、蓝、白、黑的比例分别为：0.01%,0.15%,1.34%,10%,88.5%,求每次摇奖摇出的奖金额X的数学期望.概率统计解每次摇奖摇出的奖金额X是一个随机变量，易知它的分布律为X100001000100101pk0.00010.00150.01340.10.885因此，E（X）=10000×0.0001+1000×0.0015+100×0.0134+10×0.1+1×0.885=5.725.可见，平均起来每次摇奖的奖金额不足6元.这个值对商店作计划预算时是很重要的.概率统计例4.4设随机变量X服从柯西（Cauchy）分布，其概率密度为试证E（X）不存在.故E（X）不存在.证由于概率统计连续型随机变量的数学期望的引出设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),在数轴上取很密的分点x0x1x2…，则X落在小区间[xi,xi+1)的概率是：1()iixxfxdx()iifxx小区间[xi,xi+1)阴影面积近似为iixxf)(1()()iiifxxx2.连续性随机变量的数学期望概率统计由于xi与xi+1很接近,所以区间[xi,xi+1)中的值可以用xi来近似代替.iiiixxfx)(这正是dxxfx)(的渐近和式.变量近似，该离散型随机变量iixxf)(因此X与以概率取值xi的离散型随机的数学期望为：阴影面积近似为iixxf)(小区间[xi,xi+1)注意到：概率统计由此启发引进如下定义2.设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)，若积分为连续型随机变量X的数学期望，记为：dxxfxXE)()(也就是说，连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.定义2收敛，则称此积分的值dxxfx)(概率统计二.随机变量的函数的数学期望定理4.1设Y是随机变量X的函数，即Y=g(X),g(x)是连续函数。概率统计推广：设Z是随机向量（X,Y）的函数，即Z=g(X,Y)（g(x,y)是连续函数）概率统计例4.6对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间［a，b］内，求球体积的数学期望.解设随机变量X表示球的直径，Y表示球的体积，依题意，X的概率密度为球体积，由（4.6）式得概率统计()()()EXYEXEY3.X,Y是两个随机变量，则：4.X,Y是两个相互独立的随机变量，则：()()()EXYEXEY1.设c是常数，则：()Ecc设c是常数，X是随机变量，则：2.()()EcXcEX三.数学期望的性质概率统计证明：设随机变量（X,Y）的概率密度是f(x,y)，其边缘概率密度为，则则性质（3）得证！)()()()(),(),(x）,（f)()(YEXEdyyyfdxxxfdxdyyxyfdxdyyxfdxdyyxYXYXEYX)(),(fXyfxY概率统计若X和Y相互独立，则故有：性质（4）得证！E(X)E(Y)dy)((x)dxxf(y)dxdyf)(dxdy),(xE(XY)XYyyfxxyfyxyfYX),()(),(fyfxfyxYX概率统计例4.9设一电路中电流I（安）与电阻R（欧）是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为试求电压V=IR的均值.解概率统计(1)(0—1)分布E（X）=0×(1p)+1×p=p.(2)二项分布(3)泊松分布(4)均匀分布(5)指数分布四.常见分布的数学期望概率统计E(X)01qpp它的分布律为:若随机变量X只能取0与1两个值，它的分布律为:(1)()(1)0,1.01kkPXkppkp则：设随机变量X服从参数为(n,p)的二项分布，(1)分布(01)即~(,),XBnp(2)二项分布nkppCkXPknkkn2,1,0,)1()(概率统计0E(X)=nkknknkkcpq1!!()!nknkknkpqknk1(1)!(1)!(1)(1)!nknnpknk1(1)(1)knkpq则：0k0kkp时1!(1)!()!nknkknpqknk1[(1)]nnpppnp即:()EXnp令:k-1=t1)(nqpnpt)1(qt]!t)1[(!t)!1(10tnpnnnpnt)1(t10t1knnkqpCnp概率统计(3)泊松分布若随机变量X的所有可能取值为：而它的分布律(它所取值的各个概率)为：0,1,2,()0,1,2,!kePXkkk)(PX～即:0E(X)!kkkek则:11(1)!kkekee即:E(X)0!j)(kkeXE令：K-1=j概率统计则:()()EXxfxdx1baxdxba2ab(4).均匀分布若连续型随机变量X具有概率密度f(x)为：~[,]XUab即()fxbxaab10其它即:()2abEX概率统计(5).指数分布若连续型随机变量X具有概率密度f(x)为：EXdxxx)(0dxexx0')(dxexx0)(xex0dxex01xe1)0(概率统计22()212xxedxyx令:221()2yyedy222yyedy222yedy()()EXxfxdx(6).正态分布若随机变量X的概率密度为：22()21(),2xfxex2~(,)XN即:则:概率统计022()EX即:结论：正态分布中密度函数的参数恰好就是随机变量X的数学期望.