34数值分析 李庆杨 课件 Cht2插值法

§1引言第2章插值法一、问题背景?)(xfy),,1,0()(nixfyii),,1,0()()()(nixfxPxPii，满足求简单应用：例如程控加工机械零件等。二、一般概念若存在一个上的函数值且已知它在点上有定义在区间设函数.,,,,],[)(1010nnyyybxxxabaxfy.,,,)()((1.1)),,1,0()()(10插值节点插值函数为，点的为则称，满足条件简单函数niixxxxfxPniyxPxP.)((1.2))()()(10插值多项式为则称为实数其中的代数多项式是一个次数不超过若xPaxaxaaxPnxPinn.三角插值分段插值；三、其他几何上、发展和实践上.本章：求出插值多项式,分段插值函数,样条插值函数；讨论P(x)的存在唯一性、收敛性及误差估计.§2拉格朗日插值一、线性插值和抛物插值对给定插值点,求出形如(1.2))()(10为实数其中innaxaxaaxP的插值多项式的方法有多种..几何意义.)(,)()(),(),(],[,111111111kkkkkkkkkkyxLyxLxLxfyxfyxxn，满足要求线性插值多项式及端点函数值假定给定区间时先考察)()(111kkkkkkxxxxyyyxL已有公式：)(11111kkkkkkkkyxxxxyxxxxxL(2.3)),()()(2.2)(,)(1111111xlyxlyxLxxxxxlxxxxxlkkkkkkkkkkkk则所求线性插值多项式）（令(2.3)),()()(2.2)(,)(1111111xlyxlyxLxxxxxlxxxxxlkkkkkkkkkkkk则所求线性插值多项式）（令.1,)(0)(0)(1)()()(11111线性插值基函数称为，，，并满足也是线性插值多项式，和其中kkkkkkkkkkxlxlxlxlxlxl.几何图示.几何意义.)(,)(,)()(,,,21122112211kkkkkkkkkyxLyxLyxLxLxxxn，满足二次插值多项式，要求假定给定插值节点时再考察(2.4)1.)(0)(0)(0,)(1)(0)(0)(0)(1)()()(),(11111111111111kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxlxlxlxlxlxlxlxlxlxlxlxl，，，，，，，并满足是二次函数，和采用基函数法，基函数.))(())(()(111111kkkkkkxxxxxxxxxl同理.))(())(()(,))(())(()(111111111kkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxlxxxxxxxxxl.几何图示(2.5)),()()()(11112xlyxlyxlyxLkkkkkk项式于是，所求二次插值多.))(())(())(())(())(())(()(,111111111111112kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxL也就是(2.7)),,1,0,(,1,0)(),(nkikikixlxlnikk满足次个仍采用基函数法，求一插值基函数),())(()()(110nkkkkxxxxxxxxAxl可知二、拉格朗日插值多项式(2.6)).,,1,0(,)()(110niyxLxLnxxxniinnn，满足次插值多项式要求，个插值节点对于给定的一般情况，),())(()()(110nkkkkxxxxxxxxAxl可知(2.8)),,1,0()())(()()())(()()(,,1)(110110nkxxxxxxxxxxxxxxxxxlAxlnkkkkkknkkkkkk于是得到由).(,),(),(1,,,11010xlxlxlnnxxxnnn朗日基函数拉格次个上的个节点从而得到在.)((2.9))()(0拉格朗日插值多项式次称为次插值多项式于是，所求nxLxlyxLnnnkkkn(2.8)),,1,0()())(()()())(()()(,0110110nkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxlnkjjjkjnkkkkkknkkk也就是需要指出…(2.10))())(()(101nnxxxxxxx引入记号)())(()()(1101nkkkkkkknxxxxxxxxx则得(2.11))()()()(011nkknknknxxxxyxL于是.)()6.2(,是存在唯一的的插值多项式满足条件中的多项式集合在次数不超过nnnHxLHn定理1.,0,1,,)(,10nmxxlxmnkkmk得由定理1)(0nkkxlnkxlxxnjjkj,,1,0,0)()(0练习给定数据表xi0123yi01514求三次拉格朗日插值多项式L3(x).123)2)(1(14)1(12)3)(1(5)2()1(1)3)(2(10xxxxxxxxx)(14)(5)(1)(0)(39.232103xlxlxlxlxLn解并代入数据表值得）中，取：在（).12)(1(616)132(2xxxxxx)())(()()())(()(0110110nkjjjkjnkkkkkknkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx或.),,((2.14),)()!1()()()()(],,[,)(2.61)()(,),()(,],[)(0)1(10)1()(xbaxxnfxLxfxRbaxbxxxanxfxLbaxfbaxfnjjnnnnnnn且依赖于其中插值余项则对于任何的插值多项式足条件上的满个节点在是内存在在设上连续在设定理2三、插值余项与误差估计(2.16)|,)(|)!1(|)(|,|)(|max1n11)1(xnMxRMxfnnnnbxa则若(2.17)],,[),)(()(21)()(21)(,1101021xxxxxxfxfxRn线性插值余项时当(2.18)],,[),)()(()(61)(,2202102xxxxxxxxfxRn抛物插值余项时当例1已知sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用线性插值计算sin0.3367的值,并估计误差.0.330365.)3367.0()3367.0(3367.0sin0010101xxxyyyL解：|,))((|2|)(|1021xxxxMxR.1092.00033.00167.00.333521|)3367.0(|,3335.0sin|)(|max511220RxxfMxxx例1已知sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用抛物插值计算sin0.3367的值,并估计误差.0.330365.)3367.0(3367.0sin))(())(())(())(())(())(()(2201021210120120102102LxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxL解：.10178.00233.00033.00167.00.82861|)3367.0(|,828.0)cos(|,))()((|6|)(|620321032RxMxxxxxxMxR作业P58,2,6.Lagrange插值公式的优缺点•优点：结构紧凑、思路清晰、显式表示、公式对称，与插值节点的编号无关，适合理论分析•缺点|：没有承袭性§3差商与牛顿插值一、差商及其性质拉格朗日插值优缺点….(3.1)),()())(()()(10101010nnnxxxxaxxxxaxxaaxP为此考察.),,1,0(,)(,,,10确定件为待定系数，由插值条其中niyxLaaaiinn.)(,0000faxPxxn时当.)()(,01011101011xxffafxxaaxPxxn，推得时当.))(()()(,12010102022212022021022xxxxffxxffafxxxxaxxaaxPxxn推得，时当.)(][][],[一阶差商定义2的及在两点为函数称jiijijjixxxfxxxfxfxxf.,,)(],[],[],,[二阶差商的三点在为称kjijkjikikjixxxxfxxxxfxxfxxxf..,,3差商定义的一般表达式，引进为写出系数依此递推得到knaaa一般地，称.)(,,,1)((3.2)],,[],,,[],,,[101102010均差阶差商也称为的点在为kkkkkkkkxxxkxfxxxxfxxxfxxxf差商的基本性质:(3.3).)())(()()(],,[:(1)01100kjnjjjjjjjkxxxxxxxxxfxxf如的线性组合，差商可以表示为函数值.,][][][][],[,1.:011100010110命题成立时当数学归纳法证明xxxfxxxfxxxfxfxxfkmmjjmjjjjjjjmmmjmjjjjjjjmxxxxxxxxxfxxxfxxxxxxxxxfxxfmk101102010111010)())(()()(],,,[)())(()()(],,[,,1和即命题成立时设1102001],,[],,,[],,[mmmmmmxxxxfxxxfxxfm知阶差商定义和上面两式由121011120201211011)()()(1)()()(1)())(()(11)(mmmmmmmmmmmmmjmmmjjjjjjmjmjjxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxxxxxxxxxxxxf..)())(()()(0110归纳法完成时命题成立于是，当mkxxxxxxxxxfmjmjjjjjjj],,,,,,[],,,,,,[:(2)00kijkjixxxxfxxxxf如性，无关，称为差商的对称差商与所含节点的次序(3.4)],,[],,[],,,[(3)010110xxxxfxxfxxxfkkkk差商还可表示为(3.5)],[,!)(],,[,,],[,,,)()4()(010banfxxfnbaxxxxfnnn使得点则在此区间内至少有一阶导数上具有的区间在含有如果)1()2(罗尔定理差商定义由(3.4)得差商表:kxkf(xk)一阶差商二阶差商三阶差商…01234┆x0x1x2x3x4┆f(x0)f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)┆f[x0,x1]f[x1,x2]f[x0,x1,x2]f[x2,x3]f[x1,x2,x3]f[x0,x1,x2,x3]f[x3,x4]f[x2,x3,x4]f[x1,x2,x3,x