数学建模概率模型

2020年3月13日星期五数学建模之概率模型主讲人：侯致武Email:[e-mail]现实世界的变化受着众多因素的影响，包括确定的和随机的。如果从建模的背景、目的和手段看，主要因素是确定的，随机因素可以忽略，或者随机因素的影响可以简单地以平均值的作用出现，那么就能够建立确定性模型。如果随机因素对研究对象的影响必须考虑，就应建立随机模型。本章讨论如何用随机变量和概率分布描述随机因素的影响，建立随机模型——概率模型。概率模型确定性因素和随机性因素随机因素可以忽略随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现随机因素影响必须考虑概率模型统计回归模型马氏链模型随机模型确定性模型随机性模型概率模型一、概率论基本知识二、概率模型的典型案例一、概率论基础知识1、古典概型)()()|(BPABPBAP例：现有100个零件，其中95个长度合格，94个直径和格，92个两个尺寸都合格。任取一个，发现长度合格，问直径合格的概率。设A=‘长度合格’，B=‘直径合格’9592)()()|(APABPABP10092)(,10095)(ABPAP条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率全概率公式和贝叶斯公式设B1,B2,…,Bn为样本空间S的一个划分，且有P(Bi)0，i=1,2,…,n,则对E的任一事件A，有:niiiBAPBPAP1)()()(｜niBPBAPBPBAPAPABPABPnjjjiiii,,2,1,)()()()()()()(1贝叶斯公式全概率公式例：某电子设备制造厂所用的某种晶体管是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：元件制造厂次品率提供份额甲厂0.020.15乙厂0.010.80丙厂0.030.05设这三家的产品在仓库中是均匀混合的,且无区别的标志。现在仓库中随机地抽取一只晶体管,(1)求它是次品的概率；(2)若已知取到的是次品,问此次品是哪个厂生产的可能性更大？设A=“取到的是一只次品”,Bi=“所取产品由第i厂提供”,易知B1,B2,B3是样本空间的一个划分。解(1)由全概率公式:=0.15×0.02+0.80×0.01+0.05×0.03=0.0125(2)由贝叶斯公式:24.00125.015.002.0)()()()(111APBPBAP|ABP31)()()(iiiBAPBPAp｜同理P(B2|A)=0.64,P(B3|A)=0.12.以上结果表明，这只次品来自乙厂的可能性最大。贝努利试验:设随机试验E只有两种可能的结果:A及,且P(A)=p,（0p1),将试验E独立地重复进行n次,简称n重贝努利试验(Bernoulli)。n重贝努利试验中事件A出现的次数服从二项分布AnkppCkXPknkkn,,1,0,)1(}{二项分布2、随机变量及其分布泊松分布n重贝努利试验中小概率事件出现的次数近似地服从泊松分布.)0,...,2,1,0(,!}{为常数kekkXPk为常数）0(0,00,)(xxexfx背景:指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命，动物的寿命，电话问题中的通话时间，服务时间等.指数分布如：同龄人的身高、体重、考试分数、某地区年降水量等。背景:如果决定试验结果X的是大量随机因素的总和，假设各个因素之间近似独立，并且每个因素的单独作用相对均匀地小，那么X的分布近似正态分布。,21)(222)(xexf)~2，（记为NX正态分布描述了随机变量的概率取值中心—均值数学期望3、数学期望的概念和计算1)(kkkpxXEdxxxfXE)()(dxxfxgXgEYE)()()()(1)()(kkkpxgXgEYEXgY常见的几种分布的命令字符为：正态分布：norm指数分布：exp泊松分布：poiss二项分布：bino2分布：chi2t分布：tF分布：F4、MATLAB中相关的的概率命令MATLAB工具箱对每一种分布都提供5类函数，其命令字符为：概率密度：pdf概率分布：cdf逆概率分布：inv均值与方差：stat随机数生成：rnd当需要一种分布的某一类函数时，将以上所列的分布命令字符与函数命令字符接起来，并输入自变量（可以是标量、数组或矩阵）和参数即可.例1画出正态分布)1,0(N和)2,0(2N的概率密度函数图形.在MATLAB中输入以下命令：x=-6:0.01:6;y=normpdf(x);z=normpdf(x,0,2);plot(x,y,x,z)1．密度函数：p=normpdf(x,mu,sigma)(当mu=0,sigma=1时可缺省)如对均值为mu、标准差为sigma的正态分布，举例如下：例2．计算标准正态分布的概率P{-1X1}.命令为：P=normcdf(1)-normcdf(-1)结果为：P=0.68273．逆概率分布：x=norminv(P,mu,sigma).即求出x，使得P{Xx}=P，此命令可用来求分位数.2．概率分布：P=normcdf(x,mu,sigma)例3有10台机床,每台发生故障的概率为0.08,而10台机床工作独立,每台故障只需一个维修工人排除.问至少要配备几个维修工人,才能保证有故障而不能及时排除的概率不大于5%。解：随机变量X示发生故障的机床的台数,则95.0}{nXP即)08.0,10(~BX4．均值与方差：[m,v]=normstat(mu,sigma)例5求正态分布N(3,52)的均值与方差.命令为：[m,v]=normstat(3,5)结果为：m=3,v=255．随机数生成：normrnd(mu,sigma,m,n).产生m×n阶的正态分布随机数矩阵.例6命令：M=normrnd(0,3,100,1)9.1传送系统的效率9.2报童的诀窍9.3随机存贮策略9.4轧钢中的浪费9.5随机人口模型二、概率模型的典型案例传送带挂钩产品工作台工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。背景在生产进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径9.1传送系统的效率模型分析•进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假定工人们的生产周期相同，即每人作完一件产品后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下这件产品并立即投入下件产品的生产。•可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品总数的比例，作为衡量传送带效率的数量指标。•工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的，并且在一个周期内任一时刻的可能性相同。模型假设1）n个工作台均匀排列，n个工人生产相互独立，生产周期是常数；2）生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在一个周期内是等可能的；3）一周期内m个均匀排列的挂钩通过每一工作台的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的；4）每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只挂钩，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走；若该钩非空，则这件产品被放下，退出运送系统。模型建立•定义传送带效率为一周期内运走的产品数（记作s,待定）与生产总数n（已知）之比，记作D=s/n•若求出一周期内每只挂钩非空的概率p，则s=mp为确定s，从工人考虑还是从挂钩考虑，哪个方便？设每只挂钩为空的概率为q，则p=1-q如何求概率设每只挂钩不被一工人触到的概率为r，则q=rn设每只挂钩被一工人触到的概率为u，则r=1-uu=1/mp=1-(1-1/m)nD=m[1-(1-1/m)n]/n一周期内有m个挂钩通过每一工作台的上方模型解释若(一周期运行的)挂钩数m远大于工作台数n,则)]2)1(1(1[2mnnmnnmD传送带效率(一周期内运走产品数与生产总数之比）])11(1[nmnmD定义E=1-D(一周期内未运走产品数与生产总数之比）提高效率的途径：•增加m当n远大于1时,En/2m~E与n成正比，与m成反比若n=10,m=40,D87.5%(89.4%)mn2119.2报童的诀窍问题报童售报：a(零售价)b(购进价)c(退回价)售出一份赚a-b；退回一份赔b-c每天购进多少份可使收入最大？分析购进太多卖不完退回赔钱购进太少不够销售赚钱少应根据需求确定购进量每天需求量是随机的优化问题的目标函数应是长期的日平均收入每天收入是随机的存在一个合适的购进量等于每天收入的期望建模•设每天购进n份，日平均收入为G(n)调查需求量的随机规律——每天需求量为r的概率f(r),r=0,1,2…准备))(()(rncbrnrbarnr赔退回赚售出nbannr)(赚售出nrnrrnfbarfrncbrbanG01)()()()])(()[()(求n使G(n)最大•已知售出一份赚a-b；退回一份赔b-cnndrrnpbadrrprncbrbanG0)()()()])(()[()(dndG求解将r视为连续变量()()frpr0dndGcbbadrrpdrrpnn)()(0nndrrpbadrrpcb0)()()()(ndrrpbannpba)()()()(ndrrpcbnnpba0)()()()((概率密度)cbbadrrpdrrpnn)()(0结果解释nnPdrrpPdrrp201)(,)(nP1P2cbbaPP21取n使a-b~售出一份赚的钱b-c~退回一份赔的钱ncbnba)(,)(0rp9.3随机存贮策略问题以周为时间单位；一周的商品销售量为随机；周末根据库存决定是否订货，供下周销售。（s,S)存贮策略制订下界s,上界S，当周末库存小于s时订货，使下周初的库存达到S;否则，不订货。考虑订货费、存贮费、缺货费、购进费，制订（s,S)存贮策略,使(平均意义下)总费用最小模型假设•每次订货费c0,每件商品购进价c1,每件商品一周贮存费c2,每件商品缺货损失费c3(c1c3)•每周销售量r随机、连续，概率密度p(r)•周末库存量x,订货量u,周初库存量x+u•每周贮存量按x+u-r计0)(0),()(10uxLuuxLuccuJxxdrrpxrcdrrprxcxL032)()()()()(建模与求解（s,S)存贮策略0usx确定(s,S),使目标函数——每周总费用的平均值最小平均费用订货费c0,购进价c1,贮存费c2,缺货费c3,销售量rSuxusx,0s~订货点，S~订货值12130)()(ccccdrrpdrrpSSuxuxdrrpcdrrpccdudJ0321)()(建模与求解1）设xs,求u使J(u)最小，确定SSSdrrpccdrrpcc01321)()()()(Sux01)(drrp0dudJScSc23,建模与求解xxdrrpxrcdrrprxcxL032)()()()()(0)(0),()(10uxLuuxLuccuJSP1P20rp21PP2）对库存x，确定订货点s)()(101SLxSccJ若订货u,u+x=S,总费用为)(2xLJ若不订货,u=0,总费用为12JJ)()(1xIxLxc记)()(0SIcxI订货点s是的最小正根建模与求解xxdrrpxrcdrrprxcxL032)()()()()(0)(0),()(10uxLuuxLuccuJ)()()(10SLxSccxL不订货)()(101SLSccxLxc)()(0SIcxI)()(0SIcxI最小正根的图解法J(u)在u+x=S处达到最小xI(x)0SI(S)sI(