线性代数期末试卷及详细答案

一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）1、设1D=3512，2D=345510200，则D=12DDOO=_____________。2、四阶方阵AB、，已知A=116，且=B1-12A2A，则B=_____________。3、三阶方阵A的特征值为1，-1，2，且32B=A-5A，则B的特征值为_____________。4、若n阶方阵A满足关系式2A-3A-2EO，若其中E是单位阵，那么1A=_____________。5、设11,1,1，21,2,3，31,3,t线性相关，则t=_____________。二、单项选择题（每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表内，每小题2分，共20分）1、若方程13213602214xxxx成立，则x是（A）-2或3；（B）-3或2；（C）-2或-3；（D）3或2；2、设A、B均为n阶方阵，则下列正确的公式为（A）332233AB+3AB+BABA；（B）22ABA+B=AB；（C）2AE=AEA+E；（D）222AB=AB3、设A为可逆n阶方阵，则**A=（A）AE；（B）A；（C）nAA；（D）2nAA；4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵（A）100002；（B）100010011；（C）011101001；（D）010002100；5、下列命题正确的是（A）如果有全为零的数1,k2k3,,,mkk使1122mmkkk，则1,2，，m线性无关；（B）向量组1,2，，m若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,2，，m线性相关；（C）向量组1,2，，m的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关；（D）向量组1,2，，m线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。6、1,2，，m和1，2，，m为两个n维向量组，且1=2+3++m2=1+3++mm=1+2++1m则下列结论正确的是（A）1212,,,,,,mmRR（B）1212,,,,,,mmRR（C）1212,,,,,,mmRR（D）无法判定7、设A为n阶实对称方阵且为正交矩阵，则有（A）A=E（B）A相似于E（C）2AE（D）A合同于E8、若1234,,,是线性方程组AXO的基础解系，则1+2+3+4是AXO的（A）解向量（B）基础解系（C）通解；（D）A的行向量；9、1,2都是n阶矩阵A的特征值，12，且1X和2X分别是对应于1和2的特征向量，当1,k2k满足什么条件时，1122XkXkX必是矩阵A的特征向量。（A）10k且20k；（B）10k，20k（C）120kk（D）10k而20k10、下列哪一个二次型的矩阵是110130000（A）22121222(,)23fxxxxxx；（B）22121122(,)3fxxxxxx;(C)221231222(,,)23fxxxxxxx;(D)22123112232(,,)3fxxxxxxxxx;三、计算题（每小题9分，共63分）1、设3阶矩阵，23=23A，23B=，其中23，，，均是3维行向量，且已知行列式A=18，B=2，求A+B2、解矩阵方程AX+B=X，其中010A=111101，112053B3、设有三维列向量组11=11，21=11，31=11，20=为何值时：（1）可由1，2，3线性表示，且表示式是唯一的；（2）不能由1，2，3线性表示；（3）可由1，2，3线性表示，且有无穷种表示式，并写出表示式。4、已知四元非齐次线性方程组AX=满足()3RA，123，，是AX=的三个解向量，其中122402，231034求AX=的通解。5、已知A=B，且11A=111aabb，000B=010002求a,b6、齐次线性方程组123123122303402a0xxxxxxxxx中当a为何值时，有非零解，并求出通解。7、用正交变换法化二次型222123123121323(,,)444444fxxxxxxxxxxxx为标准型，并求出正交变换。四、证明题（7分）设A为m×n矩阵，B为n阶矩阵，已知()nRA证明：若AB=O，则B=O《线性代数》期末考试题A题参考答案与评分标准一、填空题1、-10；2、81；3、4，6，12；4、132AE；5、5；一、二、单项选择题(每小题2分，共20分)题号12345678910答案番号ACDBCCCADC一、三、计算题(每小题9分，共63分)1、2233++A+B=3=124（2分）=2312+2312（4分）=232+2312（7分）=2×18+12×2=60（9分）2、AX+BXEAXB（2分）11010130102EA（3分）1XEAB（5分）102113213011EA（7分）02111311321202030115311X（9分）3、设112233kkk21+1111111+1(+3)11+1=(+3)0111+111+A0且3时，方程组有唯一解即可由1，2，3唯一线性表示，（2）当=3时21101213A=1213011211290006R(A)=2，RA=3无解即当=3时，不能由1，2，3线性表示（6分）（3）当=0时11101110A=1110000011100000R(A)=RA=13有无穷组解基础解系为：1110，2101通解为12112212ccXcccc当=0时可由1，2，3线性表示为无穷多种形式1211223()cccc1c，2c为任意常数（9分）4、R(A)=34AX=的基础解系含一个解（2分）iA（i=1，2，3）设1223211404()()0033242（4分）1432为基础解系（6分）1212111AA222A012121021U为特解（8分）故AX的通解为0124312ccXUcccc为任意常数（9分）5、ABEAEB322221113(2)()11aEAabababb（2分）320010(1)(2)32002EBa（4分）32222323(2)()32abab（6分）比较同次幂系数有22222()0abab(8分)解之，得0ab（9分）6、21301113410112003Aaa（3分）当3a时，RA=23有非零解（5分）基础解系为111（8分）通解为Xcc为任意常数（9分）7、2422242(2)(8)0224EA（3分）特征值为18，232（4分）特征向量为1111，2101，3011（6分）正交单位化为111131，211021，311261（7分）标准型为222123822fyyy（8分）正交变换为11132612036111326XY（9分）四、证明题（）12,,,nB1212,,,,,,nnABAAAAO（2分）iA(1,2,,)inB的每一列向量为齐次方程组AX的解（4分）由于RAnAX只有零解BO线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）1.若022150131x，则__________。2．若齐次线性方程组000321321321xxxxxxxxx只有零解，则应满足。3．已知矩阵nsijcCBA)(，，，满足CBAC，则A与B分别是阶矩阵。4．矩阵323122211211aaaaaaA的行向量组线性。5．n阶方阵A满足032EAA，则1A。二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分）1.若行列式D中每个元素都大于零，则0D。（）2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（）3.向量组maaa，，，21中，如果1a与ma对应的分量成比例，则向量组saaa，，，21线性相关。（）4.0100100000010010A，则AA1。（）5.若为可逆矩阵A的特征值，则1A的特征值为。()三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分)1.设A为n阶矩阵，且2A，则TAA（）。①n2②12n③12n④42.n维向量组s，，，21（3sn）线性无关的充要条件是（）。①s，，，21中任意两个向量都线性无关②s，，，21中存在一个向量不能用其余向量线性表示③s，，，21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④s，，，21中不含零向量3.下列命题中正确的是()。①任意n个1n维向量线性相关②任意n个1n维向量线性无关③任意1n个n维向量线性相关④任意1n个n维向量线性无关4.设A，B均为n阶方阵，下面结论正确的是()。①若A，B均可逆，则BA可逆②若A，B均可逆，则AB可逆③若BA可逆，则BA可逆④若BA可逆，则A，B均可逆5.若4321，，，是线性方程组0A的基础解系，则4321是0A的（）①解向量②基础解系③通解④A的行向量四、计算题(每小题9分，共63分)1.计算行列式xabcdaxbcdabxcdabcxd。2.设BAAB2，且A,410011103求B。3.设,1000110001100011B2000120031204312C且矩阵满足关系式'(),XCBE求。4.问a取何值时，下列向量组线性相关？123112211,,221122aaa