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第1页共53页目录第一章函数………………………………………………………………………1第二章极限与连续………………………………………………………………5§1数列极限§2函数的极限§3无穷小与无穷大§4极限的性质及四则运算法则§5无穷的比较§6数列极限§7连续函数的运算法则§8初等函数的连续性§9闭区间上连续函数的性质第三章导数与微分………………………………………………………………15§1导数的概念§2导数的运算法则§3反函数的导数§4复合函数的导数§5隐函数的导数§6参数方程所确定的函数的导数§7高阶导数§8微分第四章微分中值定理与导数的应用……………………………………………26§1中值定理§2洛必达法则§3函数单调性的判别法§4函数的极值和最值§5曲线的凹凸与渐进线§6函数图形的描绘第五章不定积分…………………………………………………………………35§1原函数与不定积分§2不定积分的性质§3不定积分的计算第六章定积分……………………………………………………………………40§1定积分的概念§2定积分的性质§3微积分基本定理§4定积分的计算第七章定积分的应用……………………………………………………………47§1定积分的几何应用§2定积分的物理应用第2页共53页高等数学讲义第一章函数一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1.理解函数的概念．2.了解分段函数、基本初等函数、初等函数的概念．3.了解反函数、复合函数的概念，会分析复合函数的复合结构.4.会建立简单实际问题的函数模型.（二）内容提要1.函数的定义(1)函数的定义定义1设x和y是两个变量,D是一个给定的数集,如果对于每个数Dx,变量y按照一定法则总有惟一确定的数值与其对应,则称y是x的函数,记作)(xfy.数集D称为该函数的定义域,x称为自变量,y称为因变量.当自变量x取数值0x时，因变量y按照法则f所取定的数值称为函数)(xfy在点0x处的函数值，记作)(0xf.当自变量x遍取定义域D的每个数值时,对应的函数值的全体组成的数集W=Dxxfyy),(称为函数的值域.定义2设D与B是两个非空实数集，如果存在一个对应规则f，使得对D中任何一个实数x，在B中都有惟一确定的实数y与x对应，则对应规则f称为在D上的函数，记为BDfyxf::或,y称为x对应的函数值，记为Dxxfy),(,其中，x称为自变量，y称为因变量.由定义2知,函数是一种对应规则，在函数)(xfy中，f表示函数，)(xf是对应于自变量x的函数值，但在研究函数时，这种对应关系总是通过函数值表现出来的，所以习惯上常把在x处的函数值y称为函数，并用)(xfy的形式表示y是x的函数.但应正确理解，函数的本质是指对应规则f.例如104(23xxxf）就是一个特定的函数，f确定的对应规则为10)(4)()(23f就是一个函数.(2)函数的两要素函数)(xfy的定义域D是自变量x的取值范围，而函数值y又是由对应规则f来确定的，所以函数实质上是由其定义域D和对应规则f所确定的，因此通常称函数的定义域和对应规则为函数的两个要素.也就是说，只要两个函数的定义域相同，对应规则也相同，就称这两个函数为相同的函数，与变量用什么符号表示无关，如2vzxy与，就是相同的函数.2．函数的三种表示方法(1)图像法第3页共53页(2)表格法(3)公式法在用公式法表示函数时经常遇到下面几种情况：①分段函数在自变量的不同取值范围内，用不同的公式表示的函数，称为分段函数.如就是一个定义在区间]5,(上的分段函数.②用参数方程确定的函数用参数方程)()(tytx（tΙ）表示的变量x与y之间的函数关系，称为用参数方程确定的函数.例如函数)]1,1[(12xxy可以用参数方程)0(sincosttty表示.③隐函数如果在方程0),(yxF中，当x在某区间I内任意取定一个值时，相应地总有满足该方程的惟一的y值存在，则称方程0),(yxF在区间I内确定了一个隐函数.例如方程01exyx就确定了变量y是变量x之间的函数关系.注意能表示成)(xfy(其中)(xf仅为x的解析式)的形式的函数,称为显函数.把一个隐函数化成显函数的过程称为隐函数的显化.例如01exyx可以化成显函数xyxe1.但有些隐函数确不可能化成显函数,例如xyxe0ey.3．函数的四种特性设函数)(xfy的定义域为区间D，函数的四种特性如下表所示.函数的四种特性表函数的特性定义图像特点奇偶设函数)(xfy的定义域D关于原点对称，若对任意Dx满偶函数的图形关于y轴对称;奇函数的图,52,ln,20,,0,1)(2xxxxxxxf第4页共53页性足),()(xfxf则称)(xf是D上的偶函数；若对任意Dx满足),()(xfxf则称)(xf是D上的奇函数，既不是奇函数也不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数形关于原点对称单调性若对任意),(,21baxx，当21xx时，有)(1xf)(2xf,则称函数)(xfy是区间),(ba上的单调增加函数；当21xx时，有)(1xf)(2xf,则称函数)(xfy是区间),(ba上的单调减少函数，单调增加函数和单调减少函数统称单调函数，若函数)(xfy是区间),(ba上的单调函数，则称区间),(ba为单调区间单调增加的函数的图像表现为自左至右是单调上升的曲线;单调减少的函数的图像表现为自左至右是单调下降的曲线有界性如果存在0M，使对于任意Dx满足Mxf)(则称函数)(xfy是有界的图像在直线My与My之间周期性如果存在常数T，使对于任意Dx，DTx，有)()(xfTxf则称函数)(xfy是周期函数，通常所说的周期函数的周期是指它的最小周期在每一个周期内的图像是相同的4．基本初等函数六种基本初等函数见下表六种基本初等函数表函数解析表达式常函数Cy（C为常数）幂函数axy（a为常数）指数函数xay（10aa且,a为常数）对数函数xaylog（10aa且,a为常数）三角函数xyxyxyxyxyxycsc,sec,cot,tan,cos,sin反三角函数,arctan,arccos,arcsinxyxyxyyarc,cotxyarcxsec,yarcxcsc5.反函数、复合函数和初等函数二、主要解题方法1．求函数定义域的方法例1求下列函数的定义域:(1)y=216x+xsinln，第5页共53页(2)y=)12arcsin(312xx.小结函数由解析式给出时，其定义域是使解析式子有意义的一切函数.为此求函数的定义域时应遵守以下原则：(I)在式子中分母不能为零；(II)在偶次根式内非负；(III)在对数中真数大于零；(IV)反三角函数xxarccos,arcsin，要满足1x；(V)两函数和（差）的定义域，应是两函数定义域的公共部分；(VI)分段函数的定义域是各段定义域的并集.(VII)求复合函数的定义域时，一般是外层向里层逐步求.2．将复合函数分解成基本初等函数或简单函数的方法例2将下列复合函数分解成基本初等函数或简单函数(1)11sin22xy，（2）)eln(tansin22xxy.小结（I）复合函数的复合过程是由里到外，函数套函数而成的.分解复合函数，是采取由外到内层层分解的办法.从而拆成若干基本初等函数或基本初等函数的四则运算.（II）基本初等函数经有限次四则运算所得到的函数称为简单函数.3．建立实际问题的函数模型的方法例3某工厂生产某产品年产量为若干台，每台售价为300元，当年产量超过600台时，超过部分只能打8折出售，这样可出售200台，如果再多生产，则本年就销售不出去了，试写出本年的收益函数模型.例4一下水道的截面是矩形加半圆形(如图)，截面积为A，A是一常量。这常量取决于预定的排水量.设截面的周长为s，底宽为x，试建立s与x的函数模型.小结运用数学工具解决实际问题时，通常要先找出变量间的函数关系，用数学式子表示出来，然后再进行分析和计算.建立函数模型的具体步骤可为：(1)分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示.(2)根据所给条件，运用数学、物理、经济及其他知识，确定等量关系.(3)具体写出解析式)(xfy，并指明其定义域.三、学法建议1．本章的重点是函数、复合函数、初等函数等概念以及定义域的求法.2．本章所介绍的内容虽然绝大部分属于基本概念，并且在中学已经学过，但它们是微积分学本身研究问题时的主要依据.因次，学习本章的内容应在原有的基础上进行复习提高.3．从实际问题中建立函数模型是解决实际问题关键性的一步，也是比较困难的一步，因为要用到几何学、物理学、经济学等方面的知识与定律.但我们仍要注意这方面的训练，以便逐步培养分析问题和解决问题的能力.第6页共53页第二章极限与函数一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1．了解极限的描述性定义．2．了解无穷小、无穷大的概念及其相互关系和性质．3．会用两个重要极限公式求极限．4．掌握极限的四则运算法则．5．理解函数在一点连续的概念，知道间断点的分类．6．了解初等函数的连续性及连续函数在闭区间上的性质（最大值和最小值定理、根的存在定理、介值定理）．7．会用函数的连续性求极限．（二）内容提要１．极限的定义(1)函数极限、数列极限的描述性定义极限定义表类型描述性定义极限记号极限的时函数)(xfx设函数)(xfy在bxb(为某个正实数)时有定义，如果当自变量x的绝对值无限增大时，相应的函数值无限接近于某一个固定的常数A，则称A为x（读作“x趋于无穷”）时函数)(xf的极限Axfx)(lim或)()(xAxf极限的时函数)(xfx设函数aaxfy(),()(在为某个实数)内有定义，如果当自变量x无限增大时，相应的函数值)(xf无限接近于某一个固定的常数A，则称A为x（读作“x趋于正无穷”）时函数)(xf的极限Axfx)(lim或)()(xAxf极限的时函数)(xfx设函数),()(axfy在(a为某个实数)内有定义，如果当自变量x无限增大且0x时，相应的函数值)(xf无限接近于某一个固定的常数A，则称A为x（读作“x趋于负无穷”）时函数)(xf的极限Axfx)(lim或)()(xAxf极限的时函数)(0xfxx设函数)(xfy在点0x的去心邻域),ˆ(0xN内有定义，如果当自变量x在),ˆ(0xN内无限接近于0x时，相应的函数值)(xf无限接近于某一个固定的常数A，Axfxx)(lim0或)()(0xxAxf第7页共53页则称A为当0xx（读作“x趋近于0x”）时函数)(xf的极限极限的时函数)(0xfxx设函数)(xfy在点0x的左半邻域),(00xx内有定义，如果当自变量x在此半邻域内从0x左侧无限接近于0x时，相应的函数值)(xf无限接近于某个固定的常数A，则称A为当x趋近于0x时函数)(xf的左极限Axfxx)(lim0或AxfxxAxf)0()()(00或极限的时函数)(0xfxx设函数)(xfy的右半邻域)(0,0xx内有定义，如果当自变量x在此半邻域内从0x右侧无限接近于0x时，相应的函数值)(xf无限接近于某个固定的常数A，则称A为当x趋近于0x时函数)(xf的右极限Axfxx)(lim0或AxfxxAxf)0()()(00或数列nu的极限对于数列nu，若当自然数n无限增大时，通项nu无限接近于某个确定的常数,则称A为当n趋于无穷时数列nu的极限，或称数列nu收敛于AAunnlim或)(nAun若数列nx的极限不存在，则称数列nx发散nnulim不存在（2）单侧极限与极限的关系定理①Axfx)(lim的充分必要条件是)(lim