基于下浮率的投标分析

第1页，共6页基于下浮率的投标分析南京大学数学系邓光耀（[e-mail])关键词：下浮率，最小二乘法，多项式样条插值几个定义：下浮率：采用定额投标报价时，投标单位承诺按定额价格下浮一定比率进行结算，这个就是“下浮率”。4/N4/N4/N4/N投标法::::假设有Ｎ家单位参加投标，我们去掉下浮率在前面的N/4家单位与在后面的N/4家单位，在剩下的N/2家单位中取他们的算术平均值，最靠近它的单位中标。背景：由于利益趋使，招投标市场常常会出现围标与串标的情况。由于现在深圳市的招标标底一般是公布了的，每家单位只能靠设置、预测下浮率的办法来增加中标的概率，因此下浮率的设置、预测变得十分重要。投标者理性假设：除串谋的胁从者之外，每一个投标者均想在保证最大概率中标的前提下让自己获利最大。问题一：((((合作博弈))))假设有四十家单位参加投标，并且这四十家单位是串通好的，但是由于利益趋使某些单位会违反协议，那么应当怎样设置下浮率？假设招标方设定的下浮率区间为8%—18%之间，假设主谋方为Ａ公司，他打算把下浮率均值控制在１１．８０％左右。答：下面为一种设置方法：把所有单位按照下浮率的大小关系从小到大排序，以下为10到31的下浮率10.10.70%11。10.70%，12。10.74%，13。10.86%，14.10.90%，15.10.93%，16.11.02%，17.11.15%，18,11.25%，19.11.35%，20.11.60%，21.11.70%21.11.70%21.11.70%21.11.70%，22.11.90%，23,12.05%，24,12.15%，25,12.20%，26,12.33%，27.12.47%，28.12.59%，29.12.71%，30。12.80%.31。12.90%以上11到30这二十个数据的平均值为11.67%，假设A公司是标号为21的那家单位，那么按照规则的要求，A公司必定中标。10以前的数据只要不比10.70%大，31以后的数据不比12.90%小就可以了。假如有家单位不遵守规则，则有以下情况：1.他是标号前十的单位假如他的下浮率变为10.70%到11.69%之间的数据，则导致标号11的那家单位变为10，溢出这二十家单位，不遵守规则的这家单位变为标号为11到20之间的单位，则平均值在11.67%到11.7195%之间变动，仍是Ａ公司中标。当他在11.70%到11.74%之间变动时，平均值在11.72%到11.722%之间变动，这时这家单位会中标，但是由于平均值他不知道，出现这种概率很小。当他在11.75%到12.80%变动时，下浮率均值在11.7225%到11.775%变动。仍是Ａ公司中标。2.他是标号为11到20的这家单位，22到30的单位，31到40的单位类似分析。当然有可能导致标号为２０的这家单位中标，例如他是22到30的单位，下浮率在10.70%到11.60%之间变动，此时标号为30这家单位溢出，下浮率的平均值在11.565%（30变为11）到11。第2页，共6页655%变动，此时，导致标号为20202020的这家单位中标，,,,,因此标号为20202020的这家单位最好是与Ａ公司有重大利益关系的单位。这正是鹬蚌相争，渔翁得利的情况。3.有好几家单位（小于10家）不遵守协议，他们中标的概率很小，倒是标号靠近A公司的那些单位渔翁得利。（这与直观认为相反）综合以上讨论，可以得到不遵守协议的这家单位中标的机会很小，倒是标号靠近A公司的那些单位渔翁得利。因此，Ａ公司与标号靠近A公司的那些单位最好组成利益共同体（卡特尔），共同进退。注：（1）虽然不遵守协议方不能导致他中标，但是由于巨大利益趋势仍然会有不遵守协议的情况发生。这与买彩票者的动机一样，仍然中奖的概率很小，但是仍然有人去买彩票。（2）另外从博弈论方面考虑，这种情况就像囚徒困境模型中的帕累托效率最大的是相互合作，但是纳什均衡点却是相互违背。（3）对于渔翁得利的情况，应该如何处理？我们可以先与渔翁得利方约定，如果他方中标，可以通过补钱的办法仍使Ａ公司中标。当然A公司有额外的损失，但是相比不中标，损失要小得多。问题二：（序贯博弈）假设有四十家单位参加投标，Ａ公司只能控制１０家单位的下浮率设置，那么应当怎样设置下浮率？答：首先我们按照序贯分析的原理将这10家单位模拟投标一次，这样可以估计到大概的下浮率平均值。当然这时这10家单位要各自独立设置下浮率。由于前面十位的单位，后面十位的单位按照4/N投标法会舍去，因此在设置下浮率的时候要注意把能控制的这10家单位尽可能地设置在模拟下浮率平均值的周围，这样中标的概率更大。理想状态为能控制的这10家单位在标号为11到30之间。（按下浮率的大小从小到大排列）问题的关键是如何预测不能控制的单位的下浮率？这个问题我们转到问题三中去解决。注：（1）没有参加串谋的单位如何让自己中标的概率最大？这仍然靠预测下浮率。（2）（寡头垄断）假如四十家单位分成四组，每组10家单位且均有一个主谋单位，那么下浮率的设置是个什么样的情形？实际上由于每一个主谋单位都会意识到自己对下浮率均值的影响，因此下浮率设置变得扑朔迷离，无法预测。这种情况比竞争博弈情形更难处理。问题三::::（竞争博弈）假设有四十家单位参加投标，Ａ公司对一家单位的下浮率也不能控制，应当怎样设置下浮率才能使中标的概率最大？答：对于这个问题，只有能很好地预测其他单位下浮率的情况下才能增大中标的概率。第一，基本分析法：同一单位在同类工程的投标报价有规律可循，如果排除不正当竞争等因素影响，一般投标单位报价应该是由两部分组成，即本单位成本加适当的利润。施工单位中标是为了盈利，无利可图的事一般不会做。施工单位在投标前，会先根据定额算出该工程的标底价，同时根据市场测算成本价，然后根据本单位的实力、市场行情等因素综合决定投标报价。所以一般情况下，同一个决策人出的报价会有一定规律可循，同类工程报价离标底的下浮率会趋向于某一值上下波动。这就是对手投标报价预测的基础。在正常竞争条件下，一定的时间内，某投标单位在某类工程的报价趋于一稳定水平，考虑到主材价格的市场变化，历史纪录中该单位在同类工程的最近几次投标下浮率最有参考意义。当然在实际投标过程中，某些投标人会作出很多无规律可寻的报价，对于这些“意外”，历史数据的作用可能会减弱，但利用数据模拟的方法，可以瞬间模拟数十、数百种可能情况，并提供参考报价区间，供决策人参考。第二，技术分析法：A：最小二乘法第3页，共6页假设下浮率Z由两部分组成，即固定下浮率X与利益趋使的下浮率Y。即yxz+=（１）那么我们可以按照历史数据估计这家单位的下浮率，以下为方法：按照历史数据，我们只能得到不同的Z值，历史数据中Ｘ，Ｙ值不会明显列出来。但是我们自己单位的下浮率的11,yx值是会知道的，实际上，按照以后的推导，自己单位的下浮率的11,yx值也不必知道，我们只要知道我们自己单位的下浮率1z的历史数据就可以了。假如Ａ公司利益趋使的下浮率1y与要预测的单位对利益趋使的下浮率Y值成比例，即byy=1（２）出现这种情况是有可能的，因为Ａ公司与要预测的单位存在利益趋同，结合111yxz+=（３）我们得到11)(bzbxxz+−=令1bxxa−=可得1bzaz+=（4）我们建立两变量的线性回归模型ε++=bxay（5）其中y对应（4）式中的z，x对应（4）中的1z，),0(~2σεN为正态分布。利用历史数据，可以算出a,b的值，但是收集到的历史数据多于两组时，利用gramer法则知道解可能不存在。我们利用最小二乘原理，可以求出使回归残差平方和最小的a,b值，即最小二乘解。即求满足22)]([iiiiibxay+−=∑∑ε(6)最小值的a,b的值。为表示方便，令∑=iiv2ε，我们计算残差平方和对a,b的偏导数，并令这两个偏导数同时等于零，即第4页，共6页0)]([2=+−−=∂∂∑iiibxayav0)]([2=+−−=∂∂∑iiibxaybv这个方程组称为正规方程组。令y，x分别代表y,x两个变量的样本均值，容易求得xbya−=（7）()()()∑∑∑∑−×−=−−−=iiiiiiiiiixnxyxnyxxxxxyyb222（8）例：A公司与B公司2010年8月1号在招标方控制的下浮率8%到18%情况下招标下浮率分别为11.25%与12.35%，2010年9月1号在招标方控制的下浮率10%到20%情况下招标下浮率分别为12.50%与15.10%，2010年10月1号在招标方控制的下浮率5%到15%情况下招标下浮率分别为7.25%与10.34%，那么当2010年11月1号在招标方控制的下浮率6%到16%情况下，A公司的下浮率为10.12%，那么预测Ｂ公司的下浮率为多少？解：先要把下浮率区间换算到一样的范围内，再利用公式（7）、（8）可以求得a,b的值，再利用（4）式可以求得Ｂ公司的下浮率。具体计算比较复杂，可以借助计算器进行。在叙述下面方法之前，先叙述数学中著名的Stone-Stone-Stone-Stone-WeierstrassWeierstrassWeierstrassWeierstrass定理，即任何函数可以由多项式函数逼近。本定理的证明，要用到比较高等的数学知识，我们可以在现代分析学中可以找到其严格的证明。实际上，我们可以从函数展开成泰勒（Taylor）级数的形式可以得到一个直观的认识。BBBB：多项式样条估计设mttt,,,21L一组指定的节点，+∞∞−mtttL21。构造一组多项式函数mitxxii,,2,1,)()(3L=−=+ϕ342321)(,)(,)(,1)(xxxxxxxmmmm====++++ϕϕϕϕ其中，下标+表示函数的负值部分重新定义为零。则立方样条函数为)(41ximiiϕβ∑+=第5页，共6页若希望用它逼近函数)(xfy=，就应当最小化2411))((imjjjniixy∑∑+==−ϕβ得到系数的估计iβ∧，这样)(xfy=的多项式样条估计就是)()(40xximiifϕβ∑+=∧∧=CCCC：拉格朗日插值法定义1:1:1:1:设连续函数y=f（x）在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点10,xx…nx,上取值分别为,,10yy…ny,（设a≤10xx…bxn≤）。若在函数类φ中存在一简单函数P（X），使,1,0()(==iyxPii…)n，则称P(X)为f(x)的插值函数。插值函数类φ常取代数多项式，三角多项式和有理函数等。本文只讨论多项式插值，即求一次数不超过n的多项式：nnnxaxaaxP+++=L10)(，使得)(),,1,0()(xPniyxPiiinL==称为f(x)在节点),,1,0(nixiL=处的n次插值多项式。定义2222：若n次多项式),,0,0)((njkxlkL==在n+1个互异节点nxxx,,,10L上满足),1,0,(,0,1)(njkkjkjxlkjjkL=⎩⎨⎧≠===δ则称),,0,0)((njkxlkL==为节点nxxx,,,10L上满足则称为节点上的n次插值函数。易求出n次插值基函数为)())(()()())(()()(110110nkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxl−−−−−−−−=+−+−LLLL第6页，共6页),1,0(nkL=于是满足插值条件),,1,0()(njyxLjjnL==的n次插值多项式)(xLn为∑==nkkknxlyxL0)()(记)())(()()(1001nnjjnxxxxxxxxx−−−=−=∏=+Lω则)())(()()(110/1nkkkkkkknxxxxxxxxx−−−−=+−+LLω因此∑=++−=nkknknknxxxxyxL0/11)()()()(ωω。以上两种方法十分专业，一般的人很难理解掌握。DDDD：数据拟合法本方法就是利用已知的历史数据，通过画出数据所代表的曲线，在利用曲线的形状来预测下浮率，这种方法一般不精确。EEEE：编订指数法这种方法类似于股票中各种指数对股票价格的