四年级奥数第二讲-图形的计数问题含答案

第二讲图形的计数问题一、知识点：几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、．无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．二、典例剖析：例（1）数出右图中总共有多少个角分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个角。练一练：数一数右图中总共有多少个角？答案:总共有角：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）例（2）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）解：：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三角形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）答：在△ABC中共有线段60条，共有三角形30个。练一练：共有多少个三角形？答案:18例（3）数一数图中长方形的个数分析：AB边上分成的线段有：5+4+3+2+1=15.BC边上分成的线段有：3+2+1=6.解：共有长方形：（5+4+3+2+1）×（3+2+1）=15×6=90（个）答：共有长方形90个。练一练：数一数图中长方形的个数答案:90例（4）数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）.分析：为叙述方便，我们规定最小正方形的边长为1个长度单位，又称为基本线段，图中共有五类正方形.①以一条基本线段为边的正方形个数共有：6×5=30（个）.②以二条基本线段为边的正方形个数共有：5×4=20（个）.CDAB③以三条基本线段为边的正方形个数共有：4×3=12（个）.④以四条基本线段为边的正方形个数共有：3×2=6（个）.⑤以五条基本线段为边的正方形个数共有：2×1=2（个）.解：正方形总数为：6×5+5×4+4×3+3×2+2×1=30+20+12+6+2=70（个）答：练一练：下图共有几个正方形?答案:10例（5）数一数图中三角形的个数分析：这样的图形只能分类数，可以采用类似数正方形的方法，从边长为一条基本线段的最小三角形开始.Ⅰ.以一条基本线段为边的三角形：①尖朝上的三角形共有四层，它们的总数为：W①上=1+2+3+4=10（个）.②尖朝下的三角形共有三层，它们的总数为：aaW①下=1+2+3=6（个）.Ⅱ.以两条基本线段为边的三角形：①尖朝上的三角形共有三层，它们的总数为：W②上=1+2+3=6（个）.②尖朝下的三角形只有一个，记为W②下=1（个）.Ⅲ.以三条基本线段为边的三角形：①尖朝上的三角形共有二层，它们的总数为：W③上=1+2=3（个）.②尖朝下的三角形零个，记为W③下=0（个）.Ⅳ.以四条基本线段为边的三角形，只有一个，记为：W④上=1（个）.解：所以三角形的总数是10+6+6+1+3+1=27（个）.答：三角形的总数是个。练一练：数一数图中三角形的个数答案：24例（6）数一数图中一共有多少个三角形？分析：分析这是个对称图形，我们可按如下三步顺序来数：第一步：大矩形ABCD可分为四个相同的小矩形：AEOH、EBFO、OFCG、HOGD，每个小矩形内所包含的三角形个数是相同的.第二步：每两个小矩形组合成的图形共有四个，如：ABFH、EBCG、HFCD、AEGD，每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.第三步：每三个小矩形占据的部分图形共有四个：如△ABD、△ADC、△ABC、△DBC，每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.最后把每一步中每个图形所包含三角形个数求出相加再乘以4就是整个图形中所包含的三角形的个数.解：：Ⅰ.在小矩形AEOH中：①由一个三角形构成的有8个.②由两个三角形构成的三角形有5个.③由三个或三个以上三角形构成的三角形有5个.这样在一个小矩形内有17个三角形.Ⅱ.在由两个小矩形组合成的图形中，如矩形AEGD，共有5个三角形.Ⅲ.由三个小矩形占据的部分图形中，如△ABC，共有2个三角形.所以整个图形共有三角形个数是：（8+5+5+5+2）×=25×4=100（个）答：图中一共有100个三角形。练一练：数一数图中一共有多答案：35个模拟测试（2）一、填空题（每小题5分）1、.下列图形各有几条线段()条()条()条2、一条直线上共有50个点,可以数出()条线段.3、数一数下图共有()条线段.()条.()条.4、下图中各有（）个三角形.5、数一数下图有（）个长方形.6、右图一共有()个长方形?BACD7、右图一共有()个正方形？8、下图共有()个平行四边形.9、一共有()个梯形.10、下图共有()个三角形.二、简答题(每小题10分)1、右图的图形中一共有多少个三角形?2、下图共有几个正方形?3、下图共有多少个长方形?4、下图中一共有多少个三角形?5、下图共有几个三角形?.模拟测试（2）解答一、填空题1、a有10条,b有15条,c有21条.2、50492=1225(条).3、36;27.4.33;5、30个.图中AB边上共有线段4+3+2+1=10条.BC边上共有线段:2+1=3(条),把AB上的每一条线段作为长,BC边上每一条线段作为宽,每一个长配一个宽,就组成一个长方形,所以图中共有长方形为:(4+3+2+1)(2+1)=103=30(个).6、一共有64个.7、一共有18个.解:分三类计算,边长是1的正方形有2+4=13(个),边长为2的正方形有4(个),边长为3的正方形有1个.因此,图中共有正方形13+4+1=18(个).8、315个3151521)256()267((个)9、45个最好的办法是先数出长方形和梯形的总数,再减去长方形的个数.长方形和梯形的总数为:(1+2+3+4+5+6)×(1+2)=63(个)长方形的个数为:(1+2+3)×(1+2)=18(个)梯形的总数为:63-18=45(个)10、126个Ⅰ.尖朝上的三角形有五种:(1)W①上=8+7+6+5+4=30(2)W②上=7+6+5+4=22(3)W③上=6+5+4=15(4)W④上=5+4=9(5)W⑤上=4∴尖朝上的三角形共有:30+22+15+9+4=80(个)Ⅱ.尖朝下的三角形有四种:(1)W①下=3+4+5+6+7=25(2)W②下=2+3+4+5=14(3)W③下=1+2+3=6(4)W④下=1尖朝下的三角形共有25+14+6+1=46(个)∴80+46=126个.二、简答题1、解：①单个三角形有6个.②两个图形组成的有4个.③三个图形组成的有1个.④四个图形组成的有2个.⑤八个图形组成的有1个.答：一共有:6+4+1+2+1=14个.2、解：一共有正方形52+42+32+22+12=25+16+9+4+1=55(个).答：一共有正方形55个。3、解：①在大长方形中共有长方形:(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(个);②在小长方形中共有长方形:(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(个);③在①与②中重复的长方形有:1+2=3(个);④两个长方形共同组成的长方形有:(1+2)×(2+2)+1×(2+2)=16(个).⑤图中共有长方形:60+60-3+16=133(个).答：共有长方形有133个。4、解：①基本的三角形有:4×9=36(个).②由两个基本的三角形组成的三角形有:4×9=36(个).③由四个基本的三角形组成的三角形:4×3×2=24(个).④由九个基本的三角形组成的三角形:4×2=8(个).⑤由八个基本的三角形组成的三角形:4×4=16(个).⑥由十八个基本的三角形组成的三角形:4(个).答：共有三角形:36+36+24+8+16+4=124(个).5、解：①一个三角形构成的有12个.②两个三角形构成的有12个.③三个三角形构成的有6个.④四个三角形构成的有6个.⑤六个三角形构成的有1个.答：一共有:12+12+6+6+1=37(个).