第三讲-能带理论-中科大

2013/10/161第4讲固体能带理论4.1能带理论概述4.2能带理论的基本假设4.3Bloch定理4.4能带的形成4.5典型能带分析4.6费米面与能态密度4.7能带论的成就与局限4.1能带理论概述能带理论是目前研究固体中电子运动，理解固体电光磁性质最重要的理论基础•首先由年轻人贡献，1928年23岁的Bloch的博士论文“论晶格中的量子力学”最早提出了解释金属电导的能带概念•1931年Wilson用能带观点说明了绝缘体与金属的区别在于能带是否填满，从而奠定了半导体物理的理论基础•能带论提供了半导体解释的基础。理论方法的进步计算机技术的进步能带结构计算4.1能带理论概述2013/10/1624.1能带理论概述假定在体积V=L3中有N个带正电荷的Ze离子实NZ个价电子体系NZ电子动能NZ电子库仑相互作用离子实动能离子实库仑相互作用电子和离子实库仑相互作用体系的薛定谔方程：是1023数量级别的问题，不简化无法求解4.1能带理论概述2013/10/1634.1能带理论的基本假设布洛赫定理简化薛定谔方程的三个基本假设1.绝热近似2.单电子近似3.周期场近似能带Born-Oppenheimer绝热近似注：这部分近似的影响为10-5eV量级；晶体的振动能级在10-3eV量级4.1能带理论的基本假设•基本事实：原子核比电子重得多mM•绝热近似：考虑电子运动时可不考虑原子核的运动。原子核固定在它的瞬间位置。•处理方法：离子实部分的哈密顿量为零2013/10/164单电子势能场单电子近似4.1能带理论的基本假设•运用Hartree-Fock方法将多电子问题（复杂）转变为单电子问题（平均场，简单）•处理方法：用平均场代替Uee,假定每个电子所处的势能场均相同注：可以通过分离变量法单个电子求解（单电子近似）周期场近似4.1能带理论的基本假设•假定单电子势能场具有与晶格同样的平移对称性无论电子之间相互作用的形式如何，都可以假定电子所感受到的势场具有平移对称性（周期场近似）2013/10/165多电子体系问题晶格周期场的单电子定态问题其中：4.1能带理论的基本假设•这个单电子方程是整个能带论的出发点•求解能确定晶体中电子运动规律能带理论基本假设小结4.2Bloch定理及能带4.2Bloch定理及能带当我开始思考这个问题时，感觉到问题的关键是解释电子将如何“偷偷地潜行”于金属中的所有离子之间。…….经过简明而直观的傅立叶分析，令我高兴地发现，这种不同于自由电子平面波的波仅仅借助于一种周期性调制就可以获得。FelixBloch1952NobelPrizeforPhysics2013/10/166•三大基本假设之后，单电子薛定谔方程为4.2Bloch定理及能带其中：为晶格格矢方程的解应具有如下格式：Bloch函数其中：是以格矢为周期的周期函数注：Bloch定理确定了周期势场中波动方程解的基本特征Bloch函数的一般性质1.具有被周期函数所调幅的平面波的形式•反映电子在各原胞之间的公有化运动•具有行进平面波的形式•像一个自由粒子•反映电子在原胞内的运动•由于势场具有与晶格相同的周期性，电子在各原胞点上出现的几率相等•只相差相位eik.r不影响大小4.2Bloch定理及能带2013/10/1674.2Bloch定理及能带2.电子的波矢晶体中的电子：•波矢量对应于平移算符本征值的量子数，标志电子状态量子数2013/10/1683.介于自由电子与孤立原子中间的模型晶体中的电子：自由电子：孤立原子：•晶体中的电子是自由电子和孤立原子的结合•孤立原子分立的能级自由电子连续能级•由于晶体中的电子介于两者之间，因此能量取值就表现为由能量的允带和禁带相间组成的能带结构4.3能带的形成4.3能带的形成将bloch函数带入薛定谔方程，并消去eikr[[关于uk(r)的波动方程(类似于薛定谔方程的本征方程)。本征函数和本征值与k有关。一个本征方程的解不止一个，对每个k有无穷个分立本征解ℇ1(k)，ℇ2(k)，……ℇn(k)Bloch电子状态由n和k两个量子数标记，相应的能量和波函数为：ℇn(k)和Ψnk(r)2013/10/169Gh为k的周期对k与k+GhΨn,kGh(r)=Ψn,k(r)ℇn(k+Gh)=ℇn(k)对确定的n值，ℇn(k)是k的周期函数，只能在一定范围内变化，有能量的上、下限。不同的n代表不同的能带，n为带指标。相邻能带间有间隙(禁带）也可以交迭ℇn(k)的总体称为能带结构能带的性质周期性：周期等于倒格矢，或k空间里相差一个倒格矢的任意两点具有相同的能量反演对称性：ℇn(k)=ℇn(-k)具有k=0的反演对称性能带与实际晶格具有相同的转动对称性：对称操作后，V(r)不变，因而具有相同能量。新状态与k空间转动对应。ℇn(k+Gh)=ℇn(k)2013/10/1610给出了固体电子态函数的特性为了得到清晰确切的结果，必须对特定的固体的实际势能V(r)求解薛定谔方程，即使是简单的势能，也需要及其繁琐的数学推导两个推导特例：近自由电子近似和紧束缚模型近似阶段性总结：1.近自由电子模型（TheNearlyFreeElectronModel）该模型假设晶体势很弱，晶体电子的行为很像是自由电子，我们可以在自由电子模型结果的基础上用微扰方法去处理势场的影响，这种模型得到的结果可以作为简单金属（如：Na,K,Al）价带的粗略近似。2.紧束缚模型（TheTight-BindingModel）该模型假定原子势很强，晶体电子基本上是围绕着一个固定原子运动，与相邻原子存在的很弱的相互作用可以当作微扰处理，所得结果可以作为固体中狭窄的内壳层能带的粗略近似，例如，过渡金属的3d能带。关键是得到周期势场作用下，电子运动的一般特点，给出其状态函数和能谱，并以此来解释固体性质。（有兴趣可以参考黄昆版固体物理）2013/10/1611投影能带图：为了表述方便，有时需要将能带投影，得到投影能带能带相关的几个概念：1.2013/10/16122.2013/10/1613能带解释半导体性质：1.解释半导体导电2013/10/1614解释半导体导电解释金属、半金属、绝缘体和半导体半金属能带的特点，是它的导带与价带之间有一小部分重叠。不需要热激发，价带顶部的电子会流入能量较低的导带底部。因此在绝对零度时，导带中就已有一定的电子浓度，价带中也有相等的空穴浓度。这是半金属与半导体的根本区别。但因重叠较小，它和典型的金属也有所区别。解释半导体类型2013/10/1615Semimetalshavechargecarriersofbothtypes(holesandelectrons),sothatonecouldalsoarguethattheyshouldbecalled'double-metals'ratherthansemimetals.However,thechargecarrierstypicallyoccurinmuchsmallernumbersthaninarealmetal.Inthisrespecttheyresembledegeneratesemiconductorsmoreclosely.Thisexplainswhytheelectricalpropertiesofsemimetalsarepartwaybetweenthoseofmetalsandsemiconductors.)asemiconductorwithadirectgap(likee.g.CuInSe2),B)asemiconductorwithanindirectgap(likeSi)andC)asemimetal(likeSnorgraphite).2.解释直接带隙和间接带隙Energyvs.crystalmomentumforasemiconductorwithanindirectbandgap,showingthatanelectroncannotshiftfromthelowest-energystateintheconductionband(green)tothehighest-energystateinthevalenceband(red)withoutachangeinmomentum.Here,almostalloftheenergycomesfromaphoton(verticalarrow),whilealmostallofthemomentumcomesfromaphonon(horizontalarrow).Energyvs.crystalmomentumforasemiconductorwithadirectbandgap,showingthatanelectroncanshiftfromthelowest-energystateintheconductionband(green)tothehighest-energystateinthevalenceband(red)withoutachangeincrystalmomentum.Depictedisatransitioninwhichaphotonexcitesanelectronfromthevalencebandtotheconductionband.2013/10/1616如何计算能带隙：参考文献：2013/10/16172013/10/1618