圆内接四边形的面积公式

1圆内接四边形的面积公式高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式——海伦公式〔Heron'sFormula〕：假设有一个三角形，边长分别为,,,cba，三角形的面积S可由以下公式求得：))()((cpbpaps，而公式里的)(21cbap，称为半周长。我国南宋著名数学家秦九韶也发现了与海伦公式等价的“三斜求积”公式。三角形的面积和三边有如此优美和谐的关系，我们不禁会类比猜想，简单四边形的面积和它的四条边又是什么关系呢？由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设四条边长分别为dcba,,,，且2dcbap,则S四边形=))()()((dpcpbpap。证明：如图，延长DA，CB交于点E。设EA=eEB=f∵∠1+∠2=180○∠2+∠3=180○∴∠1=∠3,∴△EAB～△ECD,∴eaf=cfe=db，ABCDEABSS四边形=222bdb解得：e=22)(bdcdabb③f=22)(bdbcadb④由于S四边形ABCD=222bbdS△EAB将③，④跟b=2222)(bdbdb代入海伦公式公式变形，得：∴S四边形ABCD=2224bbd222222)(4fbebe=2224bbd22222222222222222242222224)])()()()()()([()()()(4bdbcadbbdbdbbdcdabbbdbdcdabb=2224bbd22222222224224])()()[()()(4)(bcadbdcdabbdcdabbdbcab图1ABC2=)(4122bd2222222222]}{}{}[{)()(4bcadbdcdabbdcdab=)(4122bd)2()()(42222224422222222cbdabdbddcbabdcdab=)(4122bd)()([)()(422222222222222cabddcdbabbdcdab=)(4122bd])()(4[)(222222222abdccdabbd=41)22)(22(22222222cabdcdababdccdab=])()][()()[(412222cadbdbca=))()()((41acdbbcdacdbadcba=))()()((dpcpbpap。