2013年数学高考备考二轮复习 核心考点三 第7课时 平面向量及其运算

第7课时平面向量及其运算核心考点三平面向量、三角函数A．(4,6)C．(－2，－2)B．(－4，－6)D．(2,2)A1．(2012年广东)若向量AB→＝(1,2)，BC→＝(3,4)，则AC→＝()解析：AC→＝AB→＋BC→＝(4,6)．()A．(－2，－4)C．(6,10)B．(3,4)D．(－6，－10)2．(2012年广东)若向量BA→＝(2,3)，CA→＝(4,7)，则BC→＝A解析：BC→＝BA→－CA→＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．3．(2011年广东)若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()A．4B．3C．2D．0解析：c·(a＋2b)＝c·a＋c·2b＝c·a＋2c·b＝0＋0＝0.故选D.4．(2011年广东)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝()1A.4B.12C．1D．2解析：a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c，得6－4(1＋DB12λ)＝0，解得λ＝.从近几年的高考试题看，平面向量问题的考查比较稳定：客观题倾向于向量的概念、平行与垂直的运算、模与夹角的运算等；解答题则以图形、三角函数、解析几何等知识为载体，考查数量积的相关概念和基本运算．向量的基本运算例1：设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝()解析：因为a⊥c，b∥c，所以有2x－4＝0且2y＋4＝0，解得x＝2，y＝－2，即a＝(2,1)，b＝(1，－2)，所以a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝.故选B.答案：BA.5B.10C．25D．1010【配对练习】1．(2012年广东广州调研)已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－2)，若a∥b，则a＋b＝()A．(－2，－1)B．(2,1)C．(3，－1)D．(－3,1)2．(2011年安徽)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．A60°解析：(a＋2b)·(a－b)＝－6，则a2＋a·b－2b2＝－6，即12＋a·b－2×22＝－6，a·b＝1，因为cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝12，所以〈a，b〉＝60°.BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB·AF＝，则AE·BF的值是________．几何图形中的向量运算例2：(2012年江苏)如图1，在矩形ABCD中，AB＝，→→→→图122解析：由AB→·AF→＝2，得|AB→|·|AF→|·cos∠FAB＝2，由矩形的性质，得|AF→|·cos∠FAB＝DF.∵AB＝2，∴2·DF＝2，∴DF＝1.∴CF＝2－1.记AE→和BF→之间的夹角为θ，∠AEB＝α，∠FBC＝β，则θ＝α＋β.又∵BC＝2,点E为BC的中点，∴BE＝1.【思维点拨】本题也可建立以AB，AD为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解．∴AE→·BF→＝|AE→|·|BF→|·cosθ＝|AE→|·|BF→|·cos(α＋β)＝|AE→|·|BF→|·(cosαcosβ－sinαsinβ)＝|AE→|cosα·|BF→|·cosβ－|AE→|sinα·|BF→|sinβ＝BE·BC－AB·CF＝1×2－2(2－1)＝2.答案：2BC＝10，则AB·AC＝________.【配对练习】3．(2012年浙江)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，→→解析：方法一：此题最适合的方法是特例法．假设△ABC是以AB＝AC的等腰三角形，如图D11，图D11∵AM＝3，BC＝10，∴AB＝AC＝34.∴cos∠BAC＝34＋34－1002×34＝－817.AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|cos∠BAC＝－16.方法二：AB→·AC→＝－12BC→＋AM→·12BC→＋AM→＝－14BC→2＋AM→2＝－14×102＋32＝－16.答案：－164．(2012年北京)已知正方形ABCD的边长为1，点E是______．上的动点，则DE→·CB→的值为________，DE→·DC→的最大值为__11解析：根据平面向量的数量积公式DE→·CB→＝DE→·DA→＝|DE→|·|DA→|cosθ，由图D12，知|DE→|·cosθ＝|DA→|，因此DE→·CB→＝|DA→|2＝1.DE→·DC→＝|DE→|·|DC→|cosα＝|DE→|·cosα，而|DE→|·cosα就是向量DE→在DC→边上的射影，要想让DE→·DC→最大，即让射影最大，此时点E与点B重合，射影为DC→，所以长度为1.图D12平面向量与三角变换的整合例3：(2012年广东惠州一模)设向量m＝(cosx，sinx)，x∈(0，p)，n＝(1，)．(1)若|m－n|＝，求x的值；(2)设f(x)＝(m＋n)·n，求函数f(x)的值域．35解：(1)∵m－n＝(cosx－1，sinx－3)，由|m－n|＝5，得cos2x－2cosx＋1＋sin2x－23sinx＋3＝5，整理，得cosx＝－3sinx，显然cosx≠0，∴tanx＝－33.∵x∈(0，π)，∴x＝5π6.(2)∵m＋n＝(cosx＋1，sinx＋3)，∴f(x)＝(m＋n)·n＝(cosx＋1，sinx＋3)(1，3)＝cosx＋1＋3sinx＋3＝232sinx＋12cosx＋4＝2sinx＋π6＋4.∵0xπ，∴π6x＋π67π6.∴tanx＝－33.∵x∈(0，π)，∴x＝5π6.(2)∵m＋n＝(cosx＋1，sinx＋3)，∴f(x)＝(m＋n)·n＝(cosx＋1，sinx＋3)(1，3)＝cosx＋1＋3sinx＋3＝232sinx＋12cosx＋4＝2sinx＋π6＋4.∵0xπ，∴π6x＋π67π6.(2)∵m＋n＝(cosx＋1，sinx＋3)，∴f(x)＝(m＋n)·n＝(cosx＋1，sinx＋3)(1，3)＝cosx＋1＋3sinx＋3＝232sinx＋12cosx＋4＝2sinx＋π6＋4.∵0xπ，∴π6x＋π67π6.∴32sinx＋π6＋4≤6，即函数f(x)的值域为(3,6]．【思维点拨】首先m－n＝(cosx－1，sinx－)，然后求向量的模；求出m＋n＝(cosx＋1，sinx＋)，然后求f(x)＝(m＋n)·n，再利用三角变换进行化简与求值．33(2)若AC·BC＝－1，求【配对练习】5．已知点A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cosa，→→的值．sinα)，α∈π2，3π2.2sin2α＋sin2α1＋tanα(1)若|AC→|＝|BC→|，求角α的值；解：(1)∵AC→＝(cosα－3，sinα)，BC→＝(cosα，sinα－3)，∴AC→2＝(cosa－3)2＋sin2α＝10－6cosα，BC→2＝cos2α＋(sinα－3)2＝10－6sinα，由|AC→|＝|BC→|，可得AC→2＝BC→2，即10－6cosα＝10－6sinα，得sinα＝cosα.又∵α∈π2，3π2，∴α＝5π4.(2)由AC→·BC→＝－1，得(cosα－3)cosα＋sinα(sinα－3)＝－1，(2)由AC→·BC→＝－1，得(cosα－3)cosα＋sinα(sinα－3)＝－1，∴sinα＋cosα＝23.①又2sin2α＋sin2α1＋tanα＝2sin2α＋2sinαcosα1＋sinαcosα＝2sinαcosα.由①式两边分别平方，得1＋2sinαcosα＝49，∴2sinαcosα＝－59.∴2sin2α＋sin2α1＋tanα＝－59.2．与实数相比，向量运算是全新的独立的运算，与代数运算有很多的相同点，也有很多的不同点，应特别注意平面向量部分的常见错误：1．设a＝x1，y1，b＝x2，y2，则：(1)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2＝x2y1.(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)cosθ＝a·ba·b＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.1．设a＝x1，y1，b＝x2，y2，则：(1)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2＝x2y1.(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.a·b|a|·|b|(1)“a·bc＝ab·c”类比得到“a·b·c＝a·b·c”．(2)“c≠0，ac＝bc⇒a＝b”类比得到“c≠0，a·c＝b·c⇒a＝b”．(3)“a·b＝a·b”类比得到“a·b＝a·b”．(4)“acbc＝ab”类比得到“a·cb·c＝ab”．(5)“a·b2＝a2·b2”类比得到“a·b2＝a2·b2”．(6)“直线a∥b，b∥c⇒a∥c”类比得到“a∥b，b∥c⇒a∥c”．0