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要点梳理1.奇函数、偶函数的概念一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有_______________,那么函数f(x)就叫做偶函数.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有_______________,那么函数f(x)就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.§2.4函数的奇偶性基础知识自主学习f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)2.判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是:(1)考查定义域是否关于____________;(2)考查表达式f(-x)是否等于f(x)或-f(x):若f(-x)=_______,则f(x)为奇函数;若f(-x)=________,则f(x)为偶函数;若f(-x)=_______且f(-x)=________,则f(x)既是奇函数又是偶函数;若f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x),则f(x)既不是奇函数又不是偶函数,即非奇非偶函数.原点对称-f(x)f(x)-f(x)f(x)3.奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性______,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性______(填“相同”、“相反”).(2)在公共定义域内,①两个奇函数的和是________,两个奇函数的积是偶函数;②两个偶函数的和、积是_________;③一个奇函数,一个偶函数的积是_________.奇函数偶函数奇函数相同相反基础自测1.对任意实数x,下列函数为奇函数的是()A.y=2x-3B.y=-3x2C.y=ln5xD.y=-|x|cosx解析A为非奇非偶函数,B、D为偶函数,C为奇函数.设y=f(x)=ln5x=xln5,∴f(-x)=-xln5=-f(x).C2.(2008·全国Ⅱ理)函数的图象关于()A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称解析∵∴f(x)是奇函数.∴f(x)的图象关于原点对称.xxxf1)(,1)(xxxf).()1(1)(xfxxxxxfC3.下列函数中既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的函数是()A.f(x)=sinxB.f(x)=-|x-1|C.D.解析∵函数是奇函数,排除B、C(B中函数是非奇非偶函数,C中是偶函数),∵[-1,1]∴f(x)=sinx在[-1,1]上是增函数,排除A,故选D.)(21)(xxaaxfxxxf22ln)(],2,2[D4.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是()A.B.C.D.解析依题意得31312121,031,021babaa.31031baB5.(2008·福建理)函数f(x)=x3+sinx+1(x∈R),若f(a)=2,则f(-a)的值为()A.3B.0C.-1D.-2解析设g(x)=x3+sinx,很明显g(x)是一个奇函数.∴f(x)=g(x)+1.∵f(a)=g(a)+1=2,∴g(a)=1,∴g(-a)=-1,∴f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0.B题型一函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性:(1)(2)(3)判断函数的奇偶性,应先检查定义域是否关于原点对称,然后再比较f(x)与f(-x)之间是否相等或相反.题型分类深度剖析思维启迪;11lg)(xxxf;11)1()(xxxxf).0(),0()(22xxxxxxxf解(1)定义域关于原点对称.故原函数是奇函数.(2)≥0且1-x≠0-1≤x1,定义域关于原点不对称,故原函数是非奇非偶函数.,11011xxx),(11lg)11lg(11lg)(1xfxxxxxxxf又xx11(3)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),定义域关于原点对称,又当x0时,f(x)=x2+x,则当x0时,-x0,故f(-x)=x2-x=f(x);当x0时,f(x)=x2-x,则当x0时,-x0,故f(-x)=x2+x=f(x),故原函数是偶函数.判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:一是定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域对解决问题是有利的;二是判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.探究提高分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数,分段函数奇偶性的判断,要分别从x0或x0来寻找等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)成立,只有当对称的两个区间上满足相同关系时,分段函数才具有确定的奇偶性.知能迁移1判断下列函数的奇偶性:(1)(2);3|3|4)(2xxxf.)1(2)1|(|0)1(2)(xxxxxxf解(1)∵∴-2≤x≤2且x≠0,∴函数f(x)的定义域关于原点对称.∴f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.,3|3|042xx,4)(4)(.4334)(2222xxxxxfxxxxxf又(2)当x-1时,f(x)=x+2,-x1,∴f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x).当x1时,f(x)=-x+2,-x-1,∴f(-x)=(-x)+2=-x+2=f(x).当-1≤x≤1时,f(x)=0,-1≤-x≤1,∴f(-x)=0=f(x).综上可知,对于定义域内的每一个x都有f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.题型二函数的奇偶性与单调性【例2】已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证:f(x)是奇函数;(2)如果x为正实数,f(x)0,并且f(1)=试求f(x)在区间[-2,6]上的最值.(1)根据函数的奇偶性的定义进行证明,只需证f(x)+f(-x)=0;(2)根据函数的单调性定义进行证明,并注意函数奇偶性的应用.思维启迪,21(1)证明∵函数定义域为R,其定义域关于原点对称.∵f(x+y)=f(x)+f(y),令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f(x)+f(-x)=0,得f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.(2)解方法一设x,y为正实数,∵f(x+y)=f(x)+f(y),∴f(x+y)-f(x)=f(y).∵x为正实数,f(x)0,∴f(x+y)-f(x)0,∴f(x+y)f(x).∵x+yx,∴f(x)在(0,+∞)上是减函数.又∵f(x)为奇函数,f(0)=0,∴f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.∴f(-2)为最大值,f(6)为最小值.∵f(1)=∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3.∴所求f(x)在区间[-2,6]上的最大值为1,最小值为-3.,21方法二设x1x2,且x1,x2∈R.则f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).∵x2-x10,∴f(x2-x1)0.∴f(x2)-f(x1)0.即f(x)在R上单调递减.∴f(-2)为最大值,f(6)为最小值.∵f(1)=∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3.∴所求f(x)在区间[-2,6]上的最大值为1,最小值为-3.,21探究提高(1)满足f(a+b)=f(a)+f(b)的函数,只要定义域是关于原点对称的,它就是奇函数.(2)运用函数的单调性是求最值(或值域)的常用方法之一,特别对于抽象函数,更值得关注.知能迁移2函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;(3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.解(1)∵对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),∴令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0.(2)令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1).∴f(-1)=f(1)=0.令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x),∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.(3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,f(16×4)=f(16)+f(4)=3,∵f(3x+1)+f(2x-6)≤3,∴f((3x+1)(2x-6))≤f(64)(*)21∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴(*)等价于不等式组∴x的取值范围为.331313753.R331537313,64)62)(13(0)62)(13(64)62)(13(0)62)(13(xxxxxxxxxxxxxxxx或或或或或}.533313137|{xxxx或或题型三函数的奇偶性与周期性【例3】(12分)已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=-f(x).(1)求证:f(x)是周期函数;(2)若f(x)为奇函数,且当0≤x≤1时,f(x)=求使f(x)=在[0,2009]上的所有x的个数.(1)只需证明f(x+T)=f(x),即f(x)是以T为周期的周期函数;(2)由第(1)问可知只需求一个周期中f(x)=的x的个数便可知在[0,2009]上的x的个数.思维启迪,21x2121(1)证明∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),[2分]∴f(x)是以4为周期的周期函数.[3分](2)解当0≤x≤1时,f(x)=设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),[5分]故f(x)=(-1≤x≤1).[6分],21x.21)(21)(xxxf.21)(,21)(xxfxxf即x21解题示范又设1x3,则-1x-21,∴f(x-2)=(x-2).[7分]又∵f(x-2)=-f(2-x)=-f((-x)+2)=-[-f(-x)]=-f(x),∴-f(x)=(x-2),∴f(x)=(x-2)(1x3).[8分][9分]212121)31()2(21)11(21)(xxxxxf由f(x)=解得x=-1.∵f(x)是以4为周期的周期函数,∴f(x)=的所有x=4n-1(n∈Z).[10分]令0≤4n-1≤2009,则又∵n∈Z,∴1≤n≤502(n∈Z),∴在[0,2009]上共有502个x使f(x)=[12分]判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题,是高考考查的重点问题.,2121,2005141n.21探究提高知能迁移3已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(9)的值为()A.-1B.0C.1D.2解析∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x).∴f(x)是周期为4的函数.∴f(9)=f(2×4+1)=f(1).∵f(x+2)=-f(x),令x=-1,得f(1)=-f(-1)=-f(1),∴f(1)=0.∴f(9)=0.B1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题:(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件;(2)f(-x)=-f(
本文标题:2011届高考数学函数的奇偶性复习
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