《导数各种题型及解法总结》---教师

知识改变命运学习成就未来知识改变命运，学习成就未来第1页/共10页胸中有了超越的目标，就会充满激情，学习就会充满动力，生活就会充满活力！培英堂教育个性化课外辅导《导数各种题型及解法总结》基础知识梳理1.常见题型一、小题：1.函数的图象2.函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性);3.分段函数求函数值；4.函数的定义域、值域（最值）；5.函数的零点；6.抽象函数；二、大题：1.求曲线()yfx=在某点处的切线的方程；2.求函数的解析式3.讨论函数的单调性，求单调区间；4.求函数的极值点和极值；5.求函数的最值或值域；6.求参数的取值范围7.证明不等式；8.函数应用问题2.在解题中常用的有关结论（需要熟记）：(1)曲线()yfx在0xx处的切线的斜率等于0()fx，且切线方程为000()()()yfxxxfx。(2)若可导函数()yfx在0xx处取得极值，则0()0fx。反之，不成立。(3)对于可导函数()fx，不等式()fx00（）的解集决定函数()fx的递增（减）区间。(4)函数()fx在区间I上递增（减）的充要条件是：xI()fx0(0)恒成立（()fx不恒为0）.(5)函数()fx（非常量函数）在区间I上不单调等价于()fx在区间I上有极值，则可等价转化为方程()0fx在区间I上有实根且为非二重根。（若()fx为二次函数且I=R，则有0）。(6)()fx在区间I上无极值等价于()fx在区间在上是单调函数，进而得到()fx0或()fx0在I上恒成立(7)若xI?，()fx0恒成立，则min()fx0;若xI，()fx0恒成立，则max()fx0(8)若0xI，使得0()fx0，则max()fx0；若0xI，使得0()fx0，则min()fx0.(9)设()fx与()gx的定义域的交集为D，若xD()()fxgx恒成立，则有min()()0fxgx.(10)若对11xI、22xI，12()()fxgx恒成立，则minmax()()fxgx.若对11xI，22xI，使得12()()fxgx,则minmin()()fxgx.若对11xI，22xI，使得12()()fxgx，则maxmax()()fxgx.（11）已知()fx在区间1I上的值域为A,，()gx在区间2I上值域为B，若对11xI,22xI，使得1()fx=2()gx成立，则AB。(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0fx有两个不等实根12xx、，且极大值大于0，极小值小于0.(13)证题中常用的不等式:①ln1(0)xxx②ln+1(1)xxx（）③1xex④1xex⑤ln1(1)12xxxx⑥22ln11(0)22xxxx3.解题方法规律总结1.关于函数单调性的讨论：大多数函数的导函数都可以转化为一个二次函数，因此，讨论函数单调性的问题，又往往转化为二次函数在所给区间上的符号问题。要结合函数图象，考虑判别式、对称轴、区间端点函数值的符号等因素。2.已知函数（含参数）在某区间上单调，求参数的取值范围，有三种方法：①子区间法；②分离参数法；③构造函数法。3.注意分离参数法的运用：含参数的不等式恒成立问题，含参数的不等式在某区间上有解，知识改变命运学习成就未来知识改变命运，学习成就未来第2页/共10页胸中有了超越的目标，就会充满激情，学习就会充满动力，生活就会充满活力！培英堂教育个性化课外辅导含参数的方程在某区间上有实根（包括根的个数）等问题，都可以考虑用分离参数法，前者是求函数的最值，后者是求函数的值域。4.关于不等式的证明：通常是构造函数，考察函数的单调性和最值。有时要借助上一问的有关单调性或所求的最值的结论，对其中的参数或变量适当赋值就可得到所要证的不等式。对于含有正整数n的带省略号的不定式的证明，先观察通项，联想基本不定式（上述结论中的13），确定要证明的函数不定式（往往与所给的函数及上一问所得到的结论有关），再对自变量x赋值，令x分别等于1、2、…….、n,把这些不定式累加，可得要证的不定式。）5.关于方程的根的个数问题：一般是构造函数，有两种形式，一是参数含在函数式中，二是参数被分离，无论哪种形式，都需要研究函数在所给区间上的单调性、极值、最值以及区间端点的函数值，结合函数图象，确立所满足的条件，再求参数或其取值范围。一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令0)('xf得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（0,=0,0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；例1：设函数()yfx在区间D上的导数为()fx，()fx在区间D上的导数为()gx，若在区间D上，()0gx恒成立，则称函数()yfx在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，4323()1262xmxxfx（1）若()yfx在区间0,3上为“凸函数”，求m的取值范围；（2）若对满足2m的任何一个实数m，函数()fx在区间,ab上都为“凸函数”，求ba的最大值.解:由函数4323()1262xmxxfx得32()332xmxfxx2()3gxxmx（1）()yfx在区间0,3上为“凸函数”，则2()30gxxmx在区间[0,3]上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max()0gx(0)0302(3)09330gmgm解法二：分离变量法：∵当0x时,2()330gxxmx恒成立,当03x时,2()30gxxmx恒成立等价于233xmxxx的最大值（03x）恒成立，而3()hxxx（03x）是增函数，则max()(3)2hxh2m(2)∵当2m时()fx在区间,ab上都为“凸函数”则等价于当2m时2()30gxxmx恒成立变更主元法再等价于2()30Fmmxx在2m恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）22(2)023011(2)0230FxxxFxx2ba-22知识改变命运学习成就未来知识改变命运，学习成就未来第3页/共10页胸中有了超越的目标，就会充满激情，学习就会充满动力，生活就会充满活力！培英堂教育个性化课外辅导例2：设函数),10(3231)(223Rbabxaaxxxf（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的],2,1[aax不等式()fxa恒成立，求a的取值范围.（二次函数区间最值的例子）解：（Ⅰ）22()433fxxaxaxaxa01a令,0)(xf得)(xf的单调递增区间为（a,3a）令,0)(xf得)(xf的单调递减区间为（－，a）和（3a，+）∴当x=a时，)(xf极小值=;433ba当x=3a时，)(xf极大值=b.（Ⅱ）由|)(xf|≤a，得：对任意的],2,1[aax2243axaxaa恒成立①则等价于()gx这个二次函数maxmin()()gxagxa22()43gxxaxa的对称轴2xa01,a12aaaa（放缩法）即定义域在对称轴的右边，()gx这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。22()43[1,2]gxxaxaaa在上是增函数.∴maxmin()(2)21.()(1)44.gxgaagxgaa于是，对任意]2,1[aax，不等式①恒成立，等价于(2)44,41.(1)215gaaaagaaa解得又,10a∴.154a点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系第三种：构造函数求最值题型特征：)()(xgxf恒成立0)()()(xgxfxh恒成立；从而转化为第一、二种题型例3；已知函数32()fxxax图象上一点(1,)Pb处的切线斜率为3，326()(1)3(0)2tgxxxtxt（Ⅰ）求,ab的值；（Ⅱ）当[1,4]x时，求()fx的值域；（Ⅲ）当[1,4]x时，不等式()()fxgx恒成立，求实数t的取值范围。解：（Ⅰ）/2()32fxxax∴/(1)31fba，解得32ab（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()fx在[1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减又(1)4,(0)0,(2)4,(4)16ffff∴()fx的值域是[4,16]（Ⅲ）令2()()()(1)3[1,4]2thxfxgxxtxx思路1：要使()()fxgx恒成立，只需()0hx，即2(2)26txxx分离变量思路2：二次函数区间最值3aa()fxa3a2xa1,2aa知识改变命运学习成就未来知识改变命运，学习成就未来第4页/共10页胸中有了超越的目标，就会充满激情，学习就会充满动力，生活就会充满活力！培英堂教育个性化课外辅导二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为0)(0)(''xfxf或在给定区间上恒成立，回归基础题型解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集例4：已知Ra，函数xaxaxxf)14(21121)(23．（Ⅰ）如果函数)()(xfxg是偶函数，求)(xf的极大值和极小值；（Ⅱ）如果函数)(xf是),(上的单调函数，求a的取值范围．解：)14()1(41)(2axaxxf.（Ⅰ）∵()fx是偶函数，∴1a.此时xxxf3121)(3，341)(2xxf，令0)(xf，解得：32x.列表如下：x(－∞,－23)－23(－23,23)23(23,+∞))(xf+0－0+)(xf递增极大值递减极小值递增可知：()fx的极大值为34)32(f，()fx的极小值为34)32(f.（Ⅱ）∵函数)(xf是),(上的单调函数，∴21()(1)(41)04fxxaxa，在给定区间R上恒成立判别式法则221(1)4(41)204aaaa，解得：02a.综上，a的取值范围是}20{aa.例5、已知函数3211()(2)(1)(0).32fxxaxaxa（I）求()fx的单调区间；（II）若()fx在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想（I）2()(2)1(1)(1).fxxaxaxxa1、20,()(1)0,afxx当时恒成立当且仅当1x时取“=”号，()(,)fx在单调递增。2、12120,()0,1,1,,afxxxaxx当时由得且单调增区间：(,1),(1,)a单调增区间：(1,1)a（II）当()[0,1],fx在上单调递增则0,1是上述增区间的子集：1、0a时，()(,)fx在单调递增符合题意2、0,11,a，10a1a综上，a的取值范围是[0，1]。三、题型二：根的个数问题题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点======即方程